И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1, гл. Н1, $6): х — х,у — у,г — г, х,— х, у,— у, г,— г, ==О. х,— х, у,-у, г,— г< Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим урав- нение первой степени относительно текущих координат х, у, г, которому будут удовлетворять, в частности, координаты трех двинь<х точек.
В этом последнем можно также убедиться и непосредственно, если под- ставить в уравнение, записанное с помощью определителя, координаты любой пз данных точ< к вместо х, у, г. В левой час ги получаетсч определитель, у которого либо элементы первой строки нули, либо имеются две одинаковые строки.
Таким образом, составленное уравнение представляет плоскость, про- ходящу<о через три данные то<ни. ф 7. Угол между двумя плоскостями. Пусть уравнения данных плоскостей будут: А,х+ В,у+ С,г+ В, = 0 и А,х+ В,у+ С,г+ х)з = О. (20) Углом между двумя плоскостями будем называть л<обой из двух смежных двуграпных углов, образованных этими плоскостями (в случае парвллельностя плоскостей угол между ними можно счи- тать равным 0 или я по желанию). Один из этих двугранных у<лов равен углу <р между векторами (А„Вы С,) и (Аы В„С,(, перпендикулярными к данным плоскостям. Уг«л <р определяетсн согласно формуле (17') из 9 10, гл, 1!, в именно: А,А,+В,В,+СС, сов <р— <' ~', з о <- с, ус <.
в<,. с (21) 3 а ме ч анне. Вывод формулы (21) можно выполнвть, ве прибегая к нектарам, Чтобы вычислить у<ол <р между плоскостями, заданными уравнениями(20), заыетнм, что один из двух смежных двугранных утлое. образованных пласкостямн, равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям нз начала координат.
11аннсав нормальные уравнения плоскостей (20) в виде к сага<+усох(1, + г саз у, — р, =О, гааз<хе+у соз ()<+ г сов у, — р,=О, $ Щ паглллвльпость и пвипхидикз'лягность двух плоскостей 213 Соз Рг С05 ()2 + Соз 1', С05 Уз. ('72) сока,= С05 (12— С05 У2= то, похстгнляя эти значения з равенства (22), найдем: Л,Л, — О,В, +- Г:,Г.", СО5 ф = "~- )УЛ2+82+С2. ~'Лг (..82+С- (21'7 В этой формуле (21') можно брать любой знак (+ нлн — ), что соотзетстзуст выбору одного нз аеух смежных двугранных углов. ф 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
В случае перпендикулярности двух плоскостей Агх+ Ву+ С,я+ Е), = 0 и Аэл+ Вгу+ Сэя+ О, = 0 (20) угол между ними равен 90', т. е. соз ф=О. Поэтому из формулы (21) имеем условие лериендикулярносгии ллосиоапей (20): А,А,+В,В, + С С,=О. (23) Замечание. Это условие (23) получится сразу, если заметим, что скалярное произведение нормальных векторов ~лы В„ С,) и (А„Вы С,) должно быть равно нулю.
Условие париллельносиги ллоскослгей в векторной форме может быть записано так: п,=)гп„где п, и п, обозначюот векторы, перпендикулярные к данным плоскостям. Переходя к проекциям, перепишем зто условие таким образом: А,=ел„В,=ЛВы С =ХС22 что равносильно условию Л, В2 С 2 2 2 Л 82 С, (24) Замечание. Условие (24) без векторов можно устзноннть так:в случае параллельности плоскостей (20) имеем: С05 аг — С05 аг, С05 172 — "~ Соз Р2, (24') соку,= сову,. ) имеем (гл.
1, з 4Р сок 2р= сот а, сова, + Так кзк (см. формулы 8) л, СО5 а П7 Саз ~32 = С05 Уг — "' )'л',+8 +с,' л, ;12, В2 ) 02 Вг )' л,; '-„- л"; + с-; С, )7 Л;-2- В; —,— --,' (гл. Пг 214 ПЛОСКОСТЬ Заменяя здесь косинусы их выражениями через козффипнеиты уравнений (20), получим: А, А, 1 А*+ В'+С' )' А,'+ В'+ С,* ) 'А,'+ В', + С-", У"А„'+ В,*+ С,* С, С, 1' А",+ В',+С )'г1;'-!ЛВ +С', откуда находим (24) Обратно, если выполнено углоанс (24). то плоскости параллельны.
В самом деле, уравнения этих плоскостей б1дут: йл,х + йдгу+ ВСг + В, = О, А гх + В ту + С ге + Вз = Оз гзе Х обозначает величину каждого отношения равенств (24). Леля первое уравнение на Х, получим: А,х+ В,у+ С,г + — '=О. В, д Следовательно, выполняются соотношения (24'), н плоскости параллельны. !!ример 1. Показать, что плоскости х+у — г — 1=0 и 2х+2у— — 2г+3=0 параллельны между собой. Условие параллельности (24) здесь выполняется! 1 1 — 1 2 2 — 2' П р и мер 2.
Показать, что плоскости х+у+г=О и х+у-2г+3=0 перпендикулярны между собой. Условие перпендикулярности (23) здесь выполняется! 1 1+ 1 ° 1+1 ( — 2) =О. Зада ч а 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскослги. Пусть даны точка А4(хю у„г,) и плоскость своим уравнением А,х+ В,у+ С,г+ П, = О. Напишем уравнение произвольной плоскости, проходящей через данную точку А((хы у„гг): А (х — х,) + В (у — у,) + С (г — г,) = О, (17) Чтобы вта плоскость была параллельна данной плоскости, нужно выполнить условие А В С . А, В, С,' $ 8! плглллельность и пеепендикхляеность двух плоскостей 215 следовательно, можем взять: А = А„В= В„С= С,.
Подставляя зти значения А, В и С в уравненкс плоскости, найдеьм А, (х — х,)+ В,(у — у,)+ С, (х — в,) =О. Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости х+ у+ а = 1. Здесь х, = у, = г> — О н А, = В, = С, = 1. Следовательно, уравнение искомой плоскостй будет: х+у+х=б. 3 а д а ч а 1!. Сосльавитль уравнение плоскослги, проходаиьей через две данные пьочки перпендикулярно к данной плоскосгли. Пусть даны две точки М,(х„у„х,), М,(х„у„г,) и плоскость своим уравнением Атх+ В,у+ С,я+О, =О. Напипзеы урзвнение любой плоскости, проходящей через точку М, (х„у„~,): А (х — х,)+ В(у — у,)+ С(я — г,) = О. (17) Теперь напишем условия прохождения втой плоскости через точку М„ (х„ у„ х,) и перпендикулярности с данной плоскостью: А(х,— х,)+В(у,— у,)+С(я,— г,)=О, ) АА,+вв,+се,=о. ~ (25) Опрсделяя из (25) отношения двух козффиинентоп А, В н С к трстьему и подстав;щя их в уравненис плоскости, получим искомое уравнение, П р и и е р.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1, 1, 1) и (О, 1, — 1) перпендикулярно к плоскости а+у+а=о. Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет: А (х — 1)+ В(у — 1)+С(з — 1) =О. Условия прохождения этой плоскости через точку (О, 1, — !) и перпендикулярности к данной плоскости суть соответственно". А+ 2С=О н А+ В+С=О. А Из первого условия получаем — = — 2. Деля второе на С, найделп С вЂ .= — —, — 1 = 2 — 1 = 1. В А С С А В Деля уравнение плоскости на С н подставляя вместо — и — найденные С С (гл. гт 216 ПЛОСКОСТЬ значения, получим: — 2 (х — 1) + (у — 1) + (г — 1) = О, 2х — у — г=О.
плн Замечание. Задача 11 может быть решена в общем виде, сали воспользоваться определителями. Действительно, из уравнений (17) и (25), представляющих однородную систему с иеизвестныии А, В и С, получаем (ч. 1, гл. Ъ'1, 2 6): х — х,у — у,г — г, хг — Х) уг у» гг — г~ ф 9. Точка пересечения трех плоскостей. Чтобы найти координаты точки пересечены трех плоскостей, данных своими уравне- ниями А,х(- Ву+Сг+ й, =О, А х В у(-С,г Е),=0, нужно решить эти уравнения совместно относительно х, у н г, так как координаты точки пересечения должны одновременно удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.
При мер. Найти точку пересечения плоскостей. х — у+г=0, х+2у — 1=О, х+у — г+2=0. Решая этн уравнения совместно, получим координаты искомой точки: х= — 1, у=1, г=2. Полное решение втой задзчи в общем виде мажет быть дано при помопги определителей. Согласно результатам исследования, произведенного в 9 7 гл.
Ъ'1 ч. 1, имеем: если определитель А,В,С, А, В, С, А, В, С, О, отличен от нуля, то три плоскости пересекаются в единственной точке; если определитель б равен нулю, ио по крайней мере один из его миноров отличен от нуля, то три плоскости либо не имеют общей точки, либо пересекаются в бесконечном множестве точек. В первом случае среди определителей 3-го порядка, принадлежащих таблице 5 101 Расстояние От тОчки до плОскОсти 217 есть по крайней мере один, отличный от нуля, и тогда одна из плоскостей параллельна липин пересечения двух других, Во втором случае все определители 3-го порялка этой таблицы равнь~ нулю и все три плоскости проходят через одну пряную. Если, наконец, вместе с определителем Ь все его миноры равны нулю, то три плоскости либо не имеют общей точки, либо пересекщотся в бесконечном множестве точек.
В первом случае среди определителей 2-го порядка, принадлежащих выписанной таблице, есть хоть один, отличный от пуля, и тогда все три плоскости параллельны между собой; во втором же случае все определители 2-го порядка этой таблицы равны нулю и три плоскости совпадают.
5 10. Расстояние от точки до плоскости. Условимся называть отклонением данной точки от данной плоскости число Ы, рзнное длине перпендикуляра, опу- Рнс. 114. щенного из этой точки на плоскость, взятой со знаком плюс, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и со знаком минус, если Они лежат по одну сторону от плоскости; для точек, лежащих па плоскости, отклонение равно нулю„ Ясно, что расстояние от точки до плоскостп равно абсолютной величине отклонения.
Пусть требуется найти расстояние от данной точки М,)г,) до плоскости, заданной нормальным векторным уравнением гп' — р=О. Задача состоит в том, чтобы найти длину перпендикуляра М,К, опущенного из точки М, на плоскость (рис. 114). Замечая, что вектор АМ, парзллелен единичному вектору и', мы можем его представить так: КМ =АППО. 1 Числовой множитель Н, взятый по абсолютной величине, очевидно, дает пам искомое расстояние; знак же И будет положительным, если векторы КМ, и и' имегот одинаково направление 1Т, е. если точки М, и О лежат по разные стороны плоскости, кчк на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
