И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 37
Текст из файла (страница 37)
[гл. ш 198 геомятвическое значение углянений После этого данное уравнение запишется так: (х — 1)'+(у — 2)'+(г — О)'=9. Сравнивая это уравнение с уравнением (2), усматриваем, что а=1, Ь=2, с=О, Я=3. ф 5. Цилиндрические поверхности. Положим, что данное уравнение не содсрхсит переменной г: Е(х, у) = О. На плоскости координат хОу зто уравнение определяет некоторую линию й — геометрическое ыесто точек, координаты которых удо/ влстворягот данному уравнению.
Этому уравнению удовлетворяют такако координаты всех тех точек пространства, у которых две первые координаты совпадвют с координассд ге тами любой точки линии Е, т. е. тех точек пространства, которые проектируются на плоскость хОу в точки линии А, Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прн- Р' мой, параллельной оси Ог и пересекающей лил нию ь (рис.
109). ))ообще поверхность, образоРнс, )09. ванная прямыми, параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию Ь, называется цилиндрической. Ливня А называется ес направляющей, а прямые, образ)чои)ие пилнпдрическую поверхность, — образующими. Итак, уравнение Е(х, у)=0 определяет цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Ог. Обратно, всякая цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Ох, может быть представлена уравнением вида Г(х, у)=0, Действительно, направляющая линни А может быть в этом слу ие взята в площсостн координат хОу и ес уравнение, рассматриваемое в пространстве, будет опрслелять данну1о цилиндрическую повсрхнос~ь.
Точно так же, если уравнение не содержит переменного х (нли у), то оно определяст цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ох (или Оу). Прима !. У аввевле Р р х' у' а* Ь' —,+ —,=! (4) определяет ннляпдрнческую поверхность, у которой направляквиая есть эллипс, лежащий в плоскости хОу, а обравую~ние параллельны асн Ох (вллилтичесхий цилиндр). П р и и е р 2.
Уравнение хв у — ' — =1 а Ь в (о) й 6) РРлянвния линии В пРостРьнстзе определяет цилиндрическую поверхность, у которой гипербола, лежащая в плоскости хОд, а образующие (гилерболичеслий цилиндр). П р и м е р 3. Уравнение д' = 2рх направляющая есть параллельны аси Ог (б) направляющая есть параллельны оси Ог опРеделяет цилиндрическую поверхность, у каторок парабола, лежащая в плоскости лОд, а образующие (параболический цилиндр). й 6. Уравнения линии в пространстве. Всякую линию в пространстве мочкно рассматривать как пересечение двух поверхностей. Пусть у(х, у, г)=0 и У,(х„у, г)=0 (7) Уравнения х+у =0 и х †у также определяют ось Ох. Проведелг через линию Е две цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям Оу и Ог. Уравнения этих цилиндрических поверхностей будут иметь вид (З 5); Р(х, г)=0, Р,(х„у)=0.
Так как линиго 7. можно рассматривать как пересечение этих цилиндрических поверхностей, то система уравнений Р(х, г)=0, ла,(х, у)=0 (8) определяет линию Е. Каждое из уравнений (8], рассматриваемое в соответствующей плоскости координат, представляет, следовательно, проекцию данной линии Е на плоскости хОг н хОу. Аналитически уравнения (8) получаются нз уравкеннй (7) пугсм исключения переменных у и г. суть уравнения тех поверхностей, пересечение которых дает линию Х. Координаты любой точки линии 7.
удовлетворяют обоим уравнениям (7), так как эта точка лежит одновременно на обеих поверхностях. Итак, линия в пространстве рассматривается как гсометри. ческое место точек, координаты которых удовлетворяют системс двух уравнений (7). Обратно, система двух уравнений (7) определяет линию в пространстве как геометрическое место точек, координзты которых удовлетворяют этой системе уравнений.
Уравнения (7) пазывщот уравнениями линии 7. в лросглронслеве, Очевидно, можно различным образом выбирать те поверхности, пересечением которых является данная линия 7., и это обстоятельство соответствует тому факту, что вместо системы (7) можно взять любую другую систему двух уравнений, ей равносильную. Так, например, уравнения оси Ох будут: х=0, у= — О. (гл. РП 2()О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕИий Прялгер. Написать уравнения окружности, получающейся в пересече- 1 ини сферы х'+уз+ге=1 с плоскостью г= —. 2 ' Иакокле «равнения окружности будут: 1 3 хг '-у'-(-гл=), г= — или хе+у'= — ' + ' 2 4 ' 1 г= 2 Р (х, у, г)=0, Р, (х, у, г)=0, Р,(х, у, г)=0, имеют общую точку, то координаты ее удовлетворяют кюкдому из этих урав- иекий.
Очевидно, справедливо и обратное предложение в если координаты какой- нибудь точки удовлетворяют этим трем уравнениям, то эта точка принадлежит всем трем поверхностям. Поэтому, чтобы найти точки пересечения трех поверх- ностей, н«жио совместно решить соответствующие им уравнения. Каждое дейст- вительное решение этой системы трех уравнений даст точку пересечения поверхностей. Если же система уравнений несовместна илн асе рыпения ее мнимые, то точек, общих для всех трех данных поверхностей, нет. Упражнения 1.
Составить уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке ( — 1, 2„ 3). 2. Найти центр н радиус сферы хе+ уз+ гз — 2х+ 4у — 4« — 7 = О. 8. Найти центр н радиус сферы х'+у'+г' — 2х=О. 4, Найти центр и радиус сферы 2 т'+ 2у' + 2г' — бу — 3 = 0 5.:оставить уравнеияе сферы с центром в точке (1, 3, — 2), проходящей через начало координат. н.
Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и точки 12, О, 0), (1, ), О), (1, О, — 1). С Составить уравнение проекции ливии «з+уе — «=0, г=х — 1 на плоскость координат «Оу. 8. Какую линию определяет система уравнений Хг ул — + — ', =1, г=сз а' Ь' 9. Какую поверхность определяет ураьнение х'+у* — 2«=07 Одно первое уравнение последней системы иа плоскости координат «Оу ггзобрюкает окружность, являющуюся проекцией искомой окружности иа эту плоскость.
Эта проекция совпадает по размерам с искомой окружностью, тзк как последняя лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций. й 7. Пересечение трех поверхностей. Если три поверхности, выражаемые соответственно уравнениями ГЛАВА 1У ПЛОСКОСТЪ й 1. Нормальное уравнение плоскости. Положение плоскости з пространстве будет вполне определено, если заладим ее расстояние р от начала О, т. е. длину перпендикуляра ОТ, опущенного нз точки О на плоскость, н единичный вектор и', перпендикулярный к плоскости и направленный от начала О к плоскости (рис. 110).
Когда точка М движется по плоско- гм сти, то ее радиус-вектор г меняется так, 1/ что все время связан некоторым условием. Посмотрим, каково зто условие. Очевидно, для любой точки М(г), лежащей г на плоскости, имеем: и' прш ОМ= ОТ= р. (1) 0 Это условие имеет место лишь для Рнс. 110. точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости. Таким образом, равенство (1) выражает свойство, общее всем точкам плоскости н только ии. Согласно й у гл.
И имеем: пр„. ОМ= — гп', и, значит, уравнение (1) может быть переписано в виде: гп' — р=О. (1') Уравнение (1') выражает собой условие, при котором точка М(г) лежит на данной плоскости, и называется нормальным урланенкем атой ллоскоггли. Радиус-вектор г произвольной точки М плоскости называется текущим радиусом-векльором.
Уравнение (1') плоскости записано в векторной форме. Переходя к координатам н помещая начало координат в начале векторов— точке О, заметим, что проекциями единичного вектора п' на осн коордянат Ох, Оу, Ог служат косинусы углов а, (), у, составленных осими с згим вектором, а проекциями радиуса-вектора г точки М 202 (гл. !Ч ПЛОСКОСТЬ служат координаты х, у, х точки М, т. е. имеем: и'(сова, соз(), сову) и г(х, у, в). Уравнение (1') переходит в координатное: хсоз а+у сов Р+в сов у — Р=О. (2) При переводе векторного уравнения (1') плоскости в коорю!натное урзвнение (2) мы воспользовались формулой (15) $ 9 гл. 11, выражающей скалярное произведение через проекции векторов. Уравнение (2) выражает собой условие, ири котором точка Я(х, у, я) лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением втой плоскости в координатной форме, Полученное уравнение (2) — первой степени относительно х, у, в, т.
е. еслкап плоскость мозкет быть представлена уравнением первой степени относительно текущих координат, Заметим, что выведенные уравнения (1') и (2) остаются в силе и тогда, когда р =О, т. е. данная плоскость проходит через начало координат. В этом случае за и' можно принять любой из двух едииичвых векторов, перпендикулярных к плоско', гзг' сти и отличающихся один от другого !Ч 1 направлением.
,',, р 3 а м е ч а н н е. Нормальное уравнение пФ вЂ” — — —- плоскости (2) можно вывести, не пользуясь векторным методом. Р '- — 4О Возьмем произвольную плоскость н проведем через начало координат перпендикулярно к ней прямую 1, Установим на этой прямой положительное направление от паж чала координат к плоскости (если бы зы. бранная плоскость проходнла через начало координат, то капразленне на прямой можно бы.то бы взять любое). Положение этой плоскости е пространстве вполне определяется расстоянием ее р от начала координат, т. е. длиной отрезка осн ! От начала координат до точки пересечения ее с плоскостью (на рнс. 1!1 — отрезок ОТ) н углзмн а, й, Ч между осью ! и координатными осями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
