И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 36
Текст из файла (страница 36)
9. Найзи проекцию вектора А »4, — 3, 4» на направление вектора !Оа. Дан параллелограмм ОАСВ: ОА=ВС=А, ОВ=АС=В. Дать геометрическое истолкование формул: (А» В)*+(А В)а=2(А'+ В'), (А+В)' — (А — В)*=4 АВ, (А + В) (А — В) = А' — В'. Какое значение имеет последнее из этих равенств для ромба? 11. Доказать, что вектор х= Ь(ас) — а (Ьс) перпендикулярен к вектору с. 12. Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. 13. Какой угол составляют между собой два вектора: А = 1+ ) — 4й, В =-1 — 2) + 26? 14. Определить угол между векторами а и Ь, если вектор а+ЗЬ пер- пендикулярен к вектору 7а — 5Ь, а вектор а — 4Ь перпендикулярен к вектору 7а — 2Ь. 15э.
Вывести формулу для косинуса суммы двух углов. 16. Дано, что аХс=ЬХс, с ФО; можно ли отсюда заключить, что в =Ь? 17а. Вывести формулу для з(п (а — В). 18. Найти величину площади параллелограмма, сторонами когорого являются векторы а=! — 31+1г, Ь=21 — 1+Зй. 19. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (3, 4, — 1), В (2, О, 3), С( — 3, 5, 4), 20. Найти площадь треугольника АВС, если известны проекции его сторон СА»Х» г'о У,» и СВ )Лм Уа, 2,». 21. При обозначениях задачи 20 найти синус угла С.
22. Вычислить векторно. скалярное произведение Ц(1+1+ й). 23. Показать, что аЬс =аЬ(с+ Ха+ рЬ). 24. Показать, что векторы»3, 4, 5», »1, 2, 2», »9, 14, 15» компланарны. 25. Проверить, что четыре точки А(1, О, 1), В(4, 4, 5), С(2, 2, 3) к Р(10, !4, 17) лежат в одной плоскости. 26. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках; А (О, О, 0), В(3, 4„— 1), С(2, 3, 5), Р(6, О, — 3). Вычислить се объезь 27. При данных задачи 26 найти длину высоты, опущенной иэ вершины А. 28. Даны векторы в»З, О, — 1», Ь»2, 4, 3», с» — 1, 3, 2», д»2, О, 1». Вычислить (а Х Ь) Х с и (а Хс) (Ь Х 6).
29ч. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми, если одна проходит через точку Л (3, С, — !) параллельно вектору В»2, 4, 3», а другая проходит через точку С ( — 1, 3, 2) параллельно вектору Р »2, О, 1». 30". Найти расстояние от точки А (3, 4, 2) до прямой, проходящей через точку В (1, 2, 3) параллельно вектору С »5, 6, 7». ГЛАВА П! ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИИ ф 1. Уравнение поверхности. В ана.читической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек. В таком определении поверхности содержится свойство, общее всем ее точкам, Обозначзя через х, у, г координаты произвольной точки данной поверхности относительно некоторой прямоугольной системы коор- динат, мы выражаем посредством уравнения между х, у н л свойство, общее всем точкам поверхности и только им.
Таким образом со- ставляется уравнение между переменными х, у и г, которому удо- влетворяют координаты произвольной точки данной поверхности и только они одни. Это уравнение называют уравнением поверхнослли, входящие в него координаты х, у и з — плекуи(ими координатами. Получается возлюжность свести изучение геометрических свойств поверхности к изучеии!о аналитических свойств соответствующего ей уравнения. Рзссмотрим несколько простейших примеров составления урав- нений заданных поверхностей. П р н м е р 1.
Найти уравнение плоскости, делящей пополам отрезок между точками А (1, 2, 3) н В(2, — 1, 4) и перпендикулярной к нему. Очевидно, эта плоскость есть геометрическое место точек, равноудаленных от А н В. Возьмем на ней пронзвольну1о точку М (х, у, х). Тогда по формуле рас- стояния между двумя точками будем иметь: АМ = Уг(х — 1)'+ (у — 2)'+ (г — 3)', ВМ = ~' (х — 2)' + (у + 1)' + (г — 4)'. Приравнивая эти расстояния, получим; у (.
— ц' + (у — 2)л + (г — 3)л = (х — 2) + (у .(- ц* .(- (з — 4)л. Отсюда после возведения обеих частей разеяства в квадрат и упрощений— окон ~ательпол 2х — бу + 2г — 7 = О. Это н есть уравнение данной плоскости. П р н мер 2. Найти уравнение плоскости, делящей пополам дзугранный угол между координатными нлоскостямн ХО2 н у02 и проходящей через первый огаант. 196 [гл. ш геометгнческон значение угавнвинй Ясно, что данная плоскость является геометрическим местом точек, равиоудалепиых от координатных плоскостей ХОЕ и УОЯ.
Следователыю. для каждой точки этой плоское~и имеет место равенство» х)=[у». Кроме того, легко усмотреть, чзо обе зти координаты л1обой точки дац. ной плоскости имеют одинаковые знаки (и первом и пятом актантах положительные, а в третьем и седьмом — отрицательные). Поэтому у ьаждой ес точки абсцисса равна ордииате х= у или л — у= О.
Это и есть уравнение данной плоскости. Совершенно аналогично выводится н уравнение плоскости, делящей по- голам другой двуграниый угол между теме же координатными плоскостями ХОЕ и 1'ОЕ и проходящей через второй октант. Разница лиль в том, чзо абсцисса и ордииата любой точки этой плоскости, будучи равными по абсолютной величине, противоположны по знаку. Поэтому уравнение ее имеет вид: х= — у или к+у=о. Пример 3. Найти уравнение координатной плоскости гОЛ. Очевидно, зта глоскость есть геометрическое л~есто точек, абсциссы которых равны пулю.
Поэтому уравнением ее будет х=о. Аналогично уравнение плоскости ХОХ имеет вид а=о. П р и и е р 4. Найти уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости ХО)' и отстоящей от пее на расстоянии с в сторону положительных значений г. Данная плоскость есть геометрическое место точек, апплнкаты которых равны с. Поэтому уравнение ее имеет вид г = с. Пример 5. Найти уравнение сферы' ), центр которой лежит в точке С(а, Ь, с), а радиус равен )( Обозначая через х, у и г координаты произвольной точки М сферы, выразим аналитически свойство, общее всем точкам М. Из определения сферы следует, что расстояние точки М до центра С есть величина постоянная, равная радиусу )1, т.
е. СМ = )1, (1) Определим СМ как расстояние между двумя точками С и М (ч. 2, гл, 1, Э 2), ыы выразим равенство (1) с поьющыо текущих координат точки М: ф' (х — а)'+(у — Ь)'+ (г — с)'=)г. Возвышая обе частя последнего уравнения в квадрат, освободимся от ради- лала и получим уравнение сферы в окончательном виде: (» — а)'+ (у — Ь)' -»- (г — а)' = )2а. (2) В этом уравнении постоянные а, Ь, с и )» суть соответственно координаты пентра и радиус сферы, переменные х, у н г являются координатами произвольной точки сферы. В частности, если центр сферы находится в на,але координат, то а=Ь =с=о, и уравнение (2) принимает более простой вид: з+ т» т )»з (3) 9 2. Геометрический смысл уравнений.
Мы видели, что всякаи поверхность, рассматриваемая как геометрическое место точек, может быть представлена уравнением между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение между переменными х, у н г, вообще говоря, определяет поверхность как геометрическое место точек, координаты которых х, у и г удовлетворяют этому уравнению. ') Сферой называется шаровая поверхность. 197 й 3. Две основныв задачи.
Из изложенного в Я 1 н 2 вытекает постановка двух основных задач: 1. Лана поверхность как геометрическое место печек. Составишь уравнение этой поверхности. 2. Дано уравнение между координатами х. у и г. Исследовать ьдорму поверхности, определяемой этим уравнением. й 4. Сфера. Мы видели, что сфера радиуса гс с центром в точке С(а, Ь, с) имеет уравнение (х — а)'+ (у — Ь)'+ (х — с)* = !с'. (2) Раскрывая скобки, придадим уравнению (2) вид: х'+у'+ г' — 2пх — 2Ьу — 2сг+(а'+ Ь'+ с' — !ть) =О. (2') Уравнение (2'] содержит члены второго измерения, первого намеренна и свободный член (нулевого измерения) отпоситслын> х,у н г.
Такое уравнение называют уравнением второй степени. Итак, сфере соответствует уравнение второй степени относительно текущих координат. Но, очевидно, не всякое уравнение второй степени определяет сферу. Действительно, из уравнения (2') усматриваем, чтз в уравнении сферы коэффициенты при квадратах координат равны, а члены с произведениями координат (ху, уг, гх) отсутствуют.
Обратно, если осуществлены два условия: 1) равенство коэффициентов при х', у* и г', 2) отсутствие членов ху, уг, гх, то уравнение определяет сферу, так как оно приводится к виду (2') путем деления иа коэффициент при х' '). Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, определяет оно сферу или нет. Например, уравнение х*+у*+ а' — 2х — 4у — 4 = О определяет сферу, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а члены с произведенивми координаг отсутствуют. Желая узнать размер сферы и положение ее в пространстве относительно двиной системы координат, мы должны определить величину радиуса и координаты ее центра.
С втой целью данное уравнение мы приведем к виду (2), Такое преобразование есть не что нное, как представление уравнения (2') в виде (2). Возымея в да>пюм примере члены, содержащие х, т. е. х' — 2х, и дополним этот двучлен до полного квадрата разности х — 1. Получим: х' — 2х = ( х — 1)' — 1. Аналогично поступая с пщнзмн, содержащими у и г, получим: у' — 4у=(у — 2)' — 4; '=(г — О)' ') В частном случае уоавньине может определять сферу ну.>саша радиуса (т. е. точку) нли мнимое место точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
