И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 41
Текст из файла (страница 41)
114), и отрицательным, если эти векторы имеют противоположные направления 1Т. е. точки М, и О лежат по одну сторону плоскости). Таким образом, д является отклонением М, от плоскоспц Заметив это, из рис. ! 14 усматриваем: ОК= — ОМ, + М,К, 218 (гл. т плоскость нли г„=г, — дп„. Так как, с другой стороны, точка К лежит на плоскости гп' — р= О, то радиус-вектор г„этой тачки должен удовлетворять уравнению плоскости, т. е. имеем: (г, — дп') и' — р=О, или г,п' — д — р =О, а' = г,п' — р. откуда (26) Рассматривая выражение, полученное для с(, замочасм, что оно есть результат подстановки г, вместо г в левую часть нормального уравнения плоскости.
Выражая скалярное произведение г,п' через проекпии сомножителей, получим в координатах с(=х, сова+у, соз ()+г, соз у — р, (26" ) т. е. чтобы найти отклонение точки от плоскости, нужно в ле- вую часть нормального уравнения плоскости подставить вместо текущих координат координаты М/ данной точки, Лля вычисления расстояния от точки до плоскости следует взять абсолютную величину полученного отклонения. 1 БФ- — -- —---- Замечанне. Задача а расстояньи В ат точки да плоскости может быть решена и беэ применения векторного метода. Р Пусть даны уравнение плоскости в нормальном виде лк х соэ и+ у соэ () + г соэ у — р = 0 Рис.
115. и точка М,(хо да г,) (рнс, 1!5). Найдем отклонение и точки М, ат данной плоскости, т. е. взятую с надлежашнм знаком длину перпендикуляра М,К, опушенного из тачки М, на плоскость. Проведем через нзйэла координат прямую 1 перпендикулярно к плоскости и установи,г иа этой прямой положительное направление от начала координат в сторону данной плоскости. Рассмотрим ломаную ОР,Б,М,К и найдем ее проекпшо иа ось 1. Так как проекния ломаной равна праекнни эамыкаюшега отрезка (гл. 1, з 3), то пр ОР,З,М,К=пр ОК=Р. (2Л С другой стороны, проекпин ломаной равна сумме праекпий ее звеньев (гл. 1, ф 3), т. е. пр ОРЮ,М,К=пр ОР, +пр РЗ, +прЗ,М, +пр М,К.
упиажнения 219 Следовательно, равенство (27) запишется так: пр ОР, +пр Рлул +прулй(л +прМ,)(=р. Так как (гл. 1, $ 3) имеем'. пр ОР, = х, соз а, п р Рл51 =. у, соз !), яр 5',и)тл=г, сову, ярМ,I(= — и, то равенство (27') запишется таким образом: х, соз а+ у, соз 5+ г, соз у — д = р, (27') откуда б=х, сова+у, соз 5+ г, соз у — р. (2о') П р и ме р. Найти расстояние от топки (1, 2, 3) до плоскости 2х — 2у+ г — 3 = О. Напишем нормальное уравпепне данной плоскости, улн!охгив данное уравпсине па иормнрующвй множитель: 51 = —— ! ! )74+4+1 получим: 2 2 1 — — — у+ — г — 1=0.
3 3 3 2 2 1 будет: г(= — ° 1 — —, ° 2+ — ° 3 — 1 = 3 3 * 3 Отклонение точки от плоскости Упражнения 1. Проверитьч проходит ли плоскость Зх — 5у+ 2г — 17 = 0 через одну из следующих точек: а) (4, 1, 2); б) (2, — 1, 3); в) (7, 1, 2) г) (3, О, 4); д) (О, — 4, 2). 2, Найти ланку и направление перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость: а) 2х+ Зу+ бг — 35 = 0; б) 21х+ 30у — 70г — 84 = 0; в) х — 2у+2г+ 21 =О. 3.
Найти на плоскости 4х — 7у+5г — 20=0 такую точку Р, чтобы прямая ОР составляла с осями координат равные углы. 4. Найти на плоскости у+г — 2 =0 такую точку Р, чтобы прямая О!' составляла с осями Оу н Ог углы в 60'. 5. Найти уравнение плоскости, если известно, что точка (2, 9, — 6) служит основанием перпендикуляра, опушенного из начала иоординат на эту плоскость. 6*. Даны две точки: А (2, — 1, — 2) н В (8, — 7, 5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В н перпендикулярной к отрезку АВ.
2 = — —. Знак минус означает, 'что данная точка и начало координат лежат 3 ' по одну сторону данной плоскости. Искомое расстояние равно 2 ("1=- 3 ' 220 пла~ к >с гь 7. Лащ лчг та~кп: Д( — 7, 2, — 1~ и В (3, 4, 10). Н н>ти уеавнсние пло. сксгтч, прохогюнсн через тачку В и перпендикулярной к отрез.<у дд, 8.
Опредегппь величины отрезков, отсекаемых плоскостью 2х — у+Зг— — 4 =0 иа осях координат. 9. 11айти уравнение плоскости, прохадюпгн через тачку (5, — 7„4) и отсекающен на осях координат отрезки равнон величины. 10, Указать особенности в располжкещн! следующих плоскостей; а) 2х — Зу+2=0; б) Зх — 2=-0; в) 4у — 7г=О. 11. Найти >равнение н:юскостщ а) параллельной аги Оу н прохадян;гй чергз тачки (1, — о, 1) и (3, 2, -г), б) проходящей через ось Ох и через точку (4, — 3, — !). в) параллс;и ной плоскости хОг и проходящей через ю ~ку (3, 2, — 7).
12. Найти ураонспне плоскости, нроходящеч через трн ыщкн; а) (7, 6, 7), (5, 10, 5), ( — 1, 8, 9); б) (2, 4, 8), ( — 3, 1, 5), (б, — 2, 7), 13. 1!айти угол между плоскостями: а) х+у — 11=0, Зх+ 8=0, б) у — ) Зх — 7==0, у=О; в) 2х — Зу+бг — 12=0, х+2у+2г — 7=0, 14. Лана плоскость Зх — 7у+ 5г — 12=0. Найти уравнение плоскости, параллельной данной н нроходяп;ей через точку а) (О, О, 0); б) (4, — 7, 1); в) (8, О, 3); г) (3, О, 0). 15. Найти уравнение плоскости, праходщдей через точки (5, — 4, 3) и ( — 2, 1, 8) и перпендикулярной к пласкосги: а] хОу; б) уОг; в) хОг.
16. Найти ураннение плоскости, проходящей через точки (8, — 3, 1), (4, 7, 2) и перпендикулярной к плоскости Зх + бу — 7г — 21 = О. 17. Найти уравнение плосности, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям х — у+ г — 7 = О, Зх+ 2у — 12г+ 5 = О.
18. Найти точку пересечения плоскостей: Зх + 4у — Зг + 37 = О, 5х+ Зу — ! 1г + 72 = О, а) бх — 7у+2г — 96=0, б) ~ 4х — 5у+ 7г+26=0, 5х+ 2у — 8г+ 53=0; бх+ 11у — Зг + 66 = 0; в) 7х — бу — 31 = О, 4х+ 1!г+43=0, 2х+Зу+ 4г+ 20=0. 19. Определить расстояние от точки (1, 2, 1) до плоскости х + 2у + 2г — 10 = О.
20. 11айти на оси Оу точку, равноудаленную от плоскостен 2х+Зу+бг — 6=0, бх+9у — 72г+ 73=0. 21. 1!айти уравнения плоскостей, проходящих через ась Ох н отстоящих на расстоянии 8 од~ниц длины от тачки (5, 4, 13). 22. Найти уравнения плоскостей, параллельных плоскости 20х — 4у — 5г + 7 = 0 и отстоящих ат нее на расстоянии 6 единиц длины. уп паж и е и и я 23. На|1»н расстояние между параллельпымн плоскостямн а) Зх+2д — бг — 35=0, Зх+2д — бг — 56=0, 6) Зх — 4д+ 12г+ 26 = О, Зх — 4 и+ 12г — 39 = О.
24е. Найти уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями Зх+2д+бг — 35=0, 2)х — ЗОд — 70г — 237=0. 25. Найти уравнения плоскостей, делящих пополач днугранные углы между плоскостячн х — 2д+2г+21=-0, 7х+24г — 50=0. 26. Даны дае точки А (а, Ь, с) и В (а„б„с»), Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной к отрезку АВ, 27. Найти уравнение плоскости, параллельной оси Од и проходящей через тОчки (х», д», г») и (х», д», г»).
28. Йайти уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и через точку (х, д,, г,). 29. 1!айти уравнение плоскости, параллельной плоскости КОг п прохо- дящей через точку (х„д,, г,). 30. Найти уравнение плоскости, проходящей через трн точки: (1, 1, 1) (2,2,2) н (3, 3,3). 31. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (х„д„г,), (х» д», г») и псрпепдик)парной к плоскости хРд, 32.
Йайтн уравнение плоскости, проходящей через начало координат н перпендикулярной к плоскостям А,х+В у+С,г+Р,.=О, А,х+Вд+С»г+Р»=0. 33. Найти точку пересечения плоскостей х+д+г=О, 2х — Зд+4»=0, 4х — 11д+ )Ох=0. 34. Найти точку пересечения плоскостей х+д+г — 2=0; 2х — Зд+4г — 3=0; 4х — 11д+10г — 5=0. 33. Найти точку пересечения плоскостей х — у+г — 1=0, х+д — г — 2=0, бх+д — а — 7=0.
36. Составим векторное уравнение плоскости по точке М, (г,) и двум векторам а и Ь, которым плоскость параллельна. Перейти к декартовым координатам. 37. Составить векторное уравнение плоскости по двум точкам М,(т»), М,(т,) и параллельному вектору а. Перейти к декартовым координатам. ГЛАВА У ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ф 1. Уравнения прямой линии. Положение прямой линии в пространстве будет в:юлнс определено, ссли зададим на прямой определенную точку Л!, при помощи ее радиусз-вектора г, и вектор е (отлнчный от нулевого), которому прямая параллельна (рис. 116), Этот вектор и назовем направляющим вектором прямой.
Переменной точке М прямой линии соотвстствуст се радиус-вектор Ом = г и из 1 3 рнс. 116 мы получаем: Рис. 116. ОМ= ОМ,+ М,М. (1) Заметив, что вектор М,м параллелен вектору з, мы его выразим таким образом: М,м= 1а, где числовой множитель Г может прншщать любые значения в зависимости от положения точки М на прямой. Следовательно, равенство (1) можно переписать так: г=г +ге, (2) причем т играет роль переменного параметра, Уравнение (2) назовем аенлгорнмле ураанениеле лралгой линии. Желая заменить уравнение (2) равносильными ему координатными уравнениями, обозначим декартовы координаты точки М, относительно системы с началом координат в точке 0 через а, Ь, с (зто будут проекции радиуса-вектора г,), текущие координаты точки М— через х, у, я (проекции радиуса-вектора г) и, наконец, проекции вектора з †чер ги, л, р, Тогда, написав уравнение (2) в проекциях, получим: л=а+тГ, у=Ь+лт, г=с+ру, (6) 223 УРАВНРНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 5 1! Г=Г,+1З', (2') х=а+Гсозп, у=о+Гсоз(), я=с+Усову, (3) причем в этом случае параметр Г имеет простое геометрическое значение: Г обозначает рзсстояннс псреиснной точки М от точки М,(а, о, с), взятое со знаком + или — в зависимости от того, будет ли направление векторз М,М одинаково илн противоположно направлению вектора в'(М,М=Гз').
Другими словами, в уравнениях (2') и (3') Г есть величина направленного отрезка М,М рассматриваемой прямой, считая, что положительное нанравленйе прямой совпадает с направлением вектора в'. Посмотрим, возможно ли определить сова, соз Р, соз у, зная лг, п, р. Очевидно, имеем: в = вв Ф где в обозначает длину вектора я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
