И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Плоскость и прямая 28. Найти координаты точки пересечения прямой х+2 у — 2 г+1 3 = — 1 2 и плоскости 2х+Зу+Зг — 8=0. УПРАЖНЕНИЯ 29. Найти координаты точки пересечения прямой (: у= — 2х+9, г=9х — 43 и плоскости Зх — 4«+7г -33=0. ЗО. Найти угол между прямой Зх — 2«=24, Зх-г= — 4 и плоскостью Ох+158 — 10г+81=0, 31. Найти уравнения перпе|щикуляра, опущенного из точки (1, 2, 3) на плоскостьг а) 4х — 5у — 8г+21=0; б) Зх+11у=О; в) г=8. 32. Через точку (3, — 2, — 1) провести плоскость, перпснднкулярпуго к прямой х — 1 « г+1 — 3 ЗЗ. Найтв кратчайшее расстояние от точки А(1, 2, 3) до прямой х+р — г=1, 2х+г=З. 34*.
Найти кратчайшее рассгоянгге между двумя прямыми х+р — г=1, 2х+г=З и к=у=а †. 33. Каково должно быть значение коэбгфггниеггта р, чтобы прямая х — 1 у+3 г —.2 р была параллельна плоскости Зх — 4«+ 7г — 33=0? 38. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку ( — 1, — 2г 3) и параллельной прямым х — 2 р г — 5 х у+2 г — 3 3 — 4 0 ' ! 2 — 8 37. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2, — 3, 1) и через прямую х — 1 р-(-3 г 5 1 2 38. Составить уравпеннс плоскости, проходящей через прямую х+у=О, х †у+а †параллельно прямой х = у = г.
39. Провести через прямую гг д г — 1 2 — 1 2 плоскость, параллельнуго прямой х — 1 у г 0 1 — !' 40. 1!айти уравнение плоскости, проходящей черсз параллельные прямыа х — ! «+! г — 2 х р — ! г+2 ! — 2 3 ' Т вЂ” 2 3 ПРЯЗ!АЯ ЛИНИЯ (гл, т 41. Через точку (-1, О, 4) провести прямую, параллельную плоскости Зх — 4у+г — 10=0, так, чтобы она пересекла прямую х+1 у — З З 1 2' 42. Составить уравнение геомстрнчгско о места всех прямых, проходящих через начало координат перпендикулярно к прямой з .= у= я.
1з. нанти уравнение плоскости, проходящей через точку (а, ь, с) и парах. лсльяой пРямым с !гапрапляговимн ковер;ициегпамп (и, з„р,), (им л„р,). 14. Составить уравпсаие плоскости, проходящей чгрсз тзчоку (а, Ь, с) и срез пряпую х — а, у — Ь, г — с, гл, л, р, 4Б. Составить уравнение плоскости, проходящей ~ггргз прямую Ля+ ау+ Сг+0=0, А,х+В,у+С,г+(Р =0 пзргллельно прямой х и г аг л р 40.
Провести через прямую х — а гт — Ь г — с и л плоскость, параллельную прямой х — ах у — Ь! г — с, и, л, р, 47. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые х — а, у — Ь, г — с, х — а, у — Ь, г — сз и л Р и л р 48. Через точку (а.
Ь, с) провести прямую, параллельную плоскости Ах+0у+Сг+В=О, так, чтобы она пересекала прямую х — аг г(г — Ь, г — с, лг, и, р, 49. Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку (а, Ь, с) перпендикулярно к пгямой х у г и л р ' ГЛАВА У! ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАШЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА й 1. Классификации поверхностей. Так жс как и линии на илоскости, поверхности разделан>тся цо нх уравненная н декартовой сне>смс координат на алгебраические и траисцсидснтныс, Ураннеюю алгебраической иовсрхности после ирсобразояаний может быть ирнведецо к виду г (х, !>, х) = О, гле левая часть уравнения есть целый многочлсн относительно х, у, х.
Степень этого мно>очлсна относительно х, у, лзег порядок алгеб! аиаеской поверхности. М»ясно наказать, что порядок поверхности юс зависит от выбора координатных осей. Л!ы знаем, что иоасрхности 1-го порядка суть плоскости. !1е касаясь исследованию общего урзвцсння поверхностей 2-го нарядна, мы н В>й 5 — 11 этой глаглю разберем вес возможные типы таких поверхностей, огирзвляясь ог нх яростей>инх уравнений. Я 2 — Ф будут посвящены разбору уравнений некоторых часто встречающихся иоверхностей, которыс могут быть как з;и ебраическнми, так и трансцсилснтныюн. тТ 2. ЦилиндРические повеРхиости (общий слУчай). Мы Рассмотрели (гл. !!1, $5) уравнение цилиндрической новерхностн з том частном случае, когда образующие параллельны одной из оссИ координат, Рассмотрим теперь оощнй случай.
Как уже было отмечено (гл. !11, !) б), Лилиндричеосой поверхностью нозывпетсл поверхность, образованиия прятыюаи,— образу>ощилш,— ппраллельныти некоторой данной пря,ион и пересеки>ощи.ии >)онкую л>гнию А — напрпвля>ощую. Пусть иаиравляюигая цн:ищдрзчсской >нюгюрхносж! Оирсде>щетсн ураннсшгячч р(х, у, «)=О, р,(х, у, х)=О.
!>. Н. »р>ь>льь повеехности 2-го поеядка (гл. у< Положим, что т, и и р суть направляю<пис козффипиентн образующих цилиндрической поверхности. Канонические уравнения образующих будут: Х вЂ” к !' — у Л вЂ” г (2) <и я р где (х, у, г) есть точка, принадлежащая направляющей, а Х, 1; Х— текущие координаты.
Искл<очая х, у и г из четырех уравнений (1) и (2), подучим искомое уравнение цилиндрической поверхности. Пример. Составить уравнение пилнпдрической поверхности, образующие которой параллельны прямой х=у=г, а направляющей служит прямая х+у †г †, х — у+г=б. Канонические уравнения образующих будут: Х-х ~ — у 2 — г 1 1 1 Исключим х, у н г нз последних четырех уравнений. Обозначая через О величину каждого нз последних отношений, найдем: х=-Х вЂ” О, у=)' — О. =2 — ц. Подставляя зтп значения х, у н г в данные урви<ения направляющей, получим< Х+К вЂ” г-Π— !=О, Х вЂ” г'+г — О=О.
Искл<очаа, наконец, О, паадем: 2!' — 2ь" — 1 = О. ф 3. Коикческие поверхности. !<оникскои поверхносл<ью называется поверхность, образовпняая прятылт — обраэуюитил<и конуса,— проходящими через данную точьу — вершину конуса — и пересемаюисил<и данную линию — направляющую конуса.
Пусть иаправлюощая конуса имеет уравнения Р(х, у, г) = О, г", (х, у, г) = О, (3) а верп<пна конуса имеет координаты х„ у„ г,. Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку (хю ую г,) и чсрез точку (х, у, г) направляющей, будут; Л вЂ” х, г' — оь Š— г„ у уь г гь (4) Это, очевидно, есть уравнение плоскости, проходящей через данную напра- вляющую н параллелы<ой прямой х=у =г. поввехности вгхщвния 243 Исключая х, у и г нз четырех уравнений (3) и (4), получим искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает весьма простым свойством: оно однородно (т.
е. все сто члсны— олного измерения) относительно разностей Х вЂ” х„ г' — у„ Х ч. В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится н начале координат (х, =у, =г, = 0). Пусть Х, у и Š— координаты любой точки конуса; опи удовлетворяют, следовательно, уравнению конуса, После замены в уравнении конуса Х, )' и Е соотащствснно через )гХ, )гг, )ыг, где Х вЂ” произвольный множитель, уравнение должно удовлсгворяться, так как )гХ, лг и )Л суть координаты точки прямой, проходящей через начало координат в точку (Х, у, Е), т. с. образуюпгей конуса.
Следовательно, уравнение конуса ме изменится, если все текущие координаты умножим на олпо и 'го же число )г. Отсюда следует, что зто уравнение должно быть однородным относительно текущих коорднпат. В случас, если вершина конуса лежит в точке (х„у„г,), юг перенесся начало координат в вершину, и по доказанному преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно новых координат, т. е.
относительно Х вЂ” х„ г' — у„ Š— г,. Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и паправлягощей х' у' — + — =1, г=с. а' Канонические уравнения образую~них, проходящих через вершину (О, О, О) конуса н точку (х, у, г) направляющей, будут: Х 1' 3 х у г Исключим х, ун г нз четырех данных уравнений. Заменяя г черезс, определи» " н у нз последних двух уравнений; Х х=с — —, у=с —. 2' Д' Подставляя этн значения х н у в первое уравнение направляющей, буде» иметь: с* Х' с* 1'г — — + — —.=1, и* йя Х' — + — — — =О.
а' Ь' с' (б) ф 4, Поверхности вращения. Положим, что в плоскости уОг нам дана линия Е, имеющая уравнение Г(Г, Л)=0, Прн а=Ь направляющей конической поверхности будет окружность, и мьг получим круговой конус. 244 повгвхиости 2-го погадка (гл. и! Найдем уравиеипс повсрхпости, полученной от вршцсиия этой лиипп вокруг осп Оу (рис. 119). Козьчья> и ро и з воль >г у ю то ~ку Л4(х, у, в) нашей иг>всрхвог>п и проведем чсосз исс плоскость псрпсидпкудярио к осп вращения Оу, Очсвпдпо, в пересечении агой плоскости и пашей повсохпостя ш>ду пжся г>круяг>п>с> ь с цситрг»> )ч> иа осп вращения.
!(ооодппаты >о ~>гн >>г будут О, у, О. !'адпус о>грува>ости Л!Ж как рассгояппс пеклу ~очгачи йй и .!1 раасн 1' х +2'. С другой сторо~пг, >миг>, что этот радиус яв:шстся абсодап>шй всгшчипой аппдпк,жы >ой точки Л!, дшпшй липин 7, ордшшта к >- '1 торой сеть у. Слгдоватсдгп>о, полег,ш в запиши уравнении 1'=-. у, е =-+- )> х'-+ -' 'Хе '.Г >> (коордипаты точки М,),ь>ы полу >им пско- мос уравнение поверхности вра~>!с>г>ги: .г Р(у, -'.— !' х'+2']=О.
Рис. 119. Таким образом, мы приходим к слсдукм щсму правилу: с!тобы получи>ль уравнение поверхности, образованной арап!ениелс линии Е, лежащей в плоскости у02, вокруг оси Оу, нужно в уравнении этой линии залгенить 2 на -)- !г х'+я'. Лаяло>.ичиые правила будут иметь ь!есто и по отношению к поверхностям, полученным вращением плоских линий вокруг другах координатных осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
