И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 49
Текст из файла (страница 49)
22а х = а (1 — я!и (), у= =а(1 — соя(). 3(кивание. Из рис. 146: х=ОР= = ОЯ вЂ” Р0 = Д(0 — Д(й( = а( — а мп (, у = РЛ4 = Рис. 146, Рис. ИЗ. — ОФ.= Ос — л с = а — а гоз (, где ( — угол поворота окружности (сч(мая у( 4'ь О нрн новороге по часовой стрелке). 24. к=а! соаи, у=о(зши — —, ответы 261 К стр. 68 — 72 (гл.
П1, ч. !) 1 а) у=х+5; б) у=)сгЗ х+5; в) у= — х+5; г) у.=5. й. ггЗх— — Зу — 9=0. 3, а) у=х; б) у= — х; в) у=О. 6 4х — Зу — 12=0. 7 45'. 1Π— + — = 1, — — + — =- 1, — + — ' =- — 1; — — — = 1; или — + — = 1, 4 3 ' 4 3 '4 3 '4 3 * 3 4 — — + — =1, — + — '= — 1, — — — '=1.
11 ° 20 кв. ед. $2 45/, кв. ед. 3 4 ' 3 4 ' 3 4 18, а) и= — Ь; б) и= — —; в) и=В. 16, к — у+1=0. 16 7х — 2у— ьуз 3 — 20=0. 17. Зх+у — 5=0. 10, (4'/хо "/и). 19. а) —; б) 0; в) —; г) 0; 4 ' 5п Ззт 1 1 д) —; е) —; ж) 181= — 7; з) 181= —,; н) 1нВ = — (ссли рассматривать 6' 4' ' 2' 4 каждусо пару прямых в порядке их задания). 20.
90". 21. 9х+у — 30=0, к — 9у+ 24 = О. 22. 26"30'1 71'30'; 82'". 23 1, Ггб, Тс 2, 135', агс !8 з/,; агстйт/з. 24. (4, 1). 26. а) у=2х; б! у+Зх=О; в) 2у=-х и у= — 2х. 26, а) у=З; б) у=х+5; н) у=4х+11; г) (2 — 7 3) х — (1+2 г 3) у+ +7+4 Т 3=0, илн (2+)/ 3) х — (1 — 2)с 3) у+7 — 4 7 3 = — 0; д) у+2х+ +1= — О. 27. 5х+25у+1=0; х+Зи — 5=0.
26. Зх — 4у — 16=0. 29. х+Зу — 1=0. 80. 53х+202у=-О. 31 х+у — 6=0; х — у=О. 82. 4х — Зу — 17=0. 33. Зх — 2у — 7=0. 34. х+у=О, 36. гс// — 9=0; 9х — !8у — 8=0; 9х — Зу — 33=0. 36. х — 7у+10=0; х+3 =О; к — у+4=0; ( — 3, 1). 37. у+2х — 2=-0; х+2у=2; у=х, 33. х — у+3=0; х+2у — 4=0; 7к — у-!-7=0; ( — '!з, зсз). 39'. Из уравнений сторон треугольника нахадилс координаты его вершин А (3, 1), В(0, 4), С( — 1, 0).
Определяем, далее, середину сторапьс АВ; координаты зтаи точки равнлс ('/„'/,). Так как медианы треуголшиска пересекаются н одной тачке, которая делит каждую медиану в отссашесссси 2; ! (считая ог вершины), то длн нахождения точки пересечения медиан пользусчсн формулами деления отрезка в данном атнснпсяии; таким образом найдем точку пересечения медиан ('/„ '/,). Теперь остается провести нряссую через (О, 0) н (з/„згз). для чего следует применить уоависние прямой, и!заходящей через дне дан:сыс зачин.
Следовательно, окончательно имеем: —;= — „, или 5х— у /з Сз — 2у= О. 40. Зх — 4у=О. 41". (2, 0). Указание. Искомая точка является точкой пересечения с данной нрямои перпендикуляра, носгтанаилсннога к отрезку, соединяющему данные точки, в е а ссрсдине. 42. (1, !). 43, ("с„'/,). с$4 х+у — 11=0; Зх — у — 16=.0. 46 (2 2 АЗ, 3). 47. х — Тс Зу+ +14=0.43,х+)с ЗУ вЂ” !О= О 60* 3 (2зз/ !з/з). 7 ( бзс 4з/з) Укизиние. Приведя уравнение данных пряных н нормальначу виду, получаем: "/„х — "/„у — 3=0 и — з/,х — '/,у — 7=0, откуда всссснлс, па нскомыс х длины перпендикуляров равны соответственно 3 и 7, Так как салех= — н Р Мни= —, где х н у суть координаты основания перпендикуляра Р, опущеп- Р ного пз начала координат па примуса, и и — ус ол, образучвсый пернепди. кулярам с осью Ох, то нскочые координаты будут пайде,сы из формул к.=.Р сссл и, у = Р Мп а.
Зссачзсзч в ианом сиуч сс коордссссазьс оснований буу — 7 ( — "с..) = — 1'/,. 61 ° 5, 2. 62. ( —, — —; ~ н — — *, — с 63*, Зх— — 4у — 25=-О н Зк — 4у+ 5= 0. Указание, !!резкие нес 'а с чеисдно, чта отпиты задача имеет два ответа, так как прям>ю параллельную данной прямой и отстоящую от нес на расстоянии 3 единиц, можно провести как по одну, так и по др>тую сторону от данной прямой.
В одном случае отклонеш»е любой точки искомой прямой от данной прямой будет равно — 3, а в другом случае +3. Следовательно, подставляя п формулу (29) (гл. 1П, 4 15) координаты произвольной точки (х, р) искомой прямой получим: Зх — 4у — 1О )»»3» + 4' Зто и будут уравнения искомых прямых, так как х н р явля»отса текущими координатами точки, лежащей пз искомой прямой. Простые преобразования приводят иас к ответу, данному выше. 64* Бх+ !2у — 37=0 и Ох+129+ + 41 =0. 66*.
(»( ! = 7. Указание. Лля определения искомого расстояния следует на одной иа прямых выбрать фиксированную то»ку и опрсдслить расстояние от этой точки до другой прямой, В данной задаче удобно, например, иэ уравнения первой прямой, положив у= О, определить точку (5, 0). Тогда отклонение этой точки от второй прямой выразится числом = — 7.
66 (»() = 1. 67 О,ЗК 5. 66* Зх — 49 — 7= 0; — УхЗ»+4* 5х+ 129 — 49=0. Указание. Уравнение искомой прямой берем в форме уравнения прямой, проходящей через данную точку (5, 2) по паправлепжо й» р — 2=й(х — 5), Таким образом, задача сводится к нахождению углового конрфициеита й.
Так как искомая прямая должна проходить иа расстоянии 4 единиц от точки ( — 3, 1), то для определения й можно воспользоваться формулой, выражающей отклонение данной точки от прямой. Лля этого надо уравнение прямой привести к нормальному виду и вместо текущих координат подставить координаты ( — Ь, 1). Таким обра- 1 — Яа ЗОЛ» будем иметь: . = ». 4, отк>да и найдем значения углового ко- .171,» вффипиепта; 7»» =»!»; а»=- — »гие Подставляя эти значения в уравнение искомой прямой, мы найдем уравнения двух прямых: Зх — 4у — 7 =0: Бх+ 12у— А, — !9=0.
66. 7х — бд — 19=0 и 9х+ О)г»У», -1- 2у — 5 = О. 66". Зх — Зу+ 19 =- О; Зх+ Зу — 5= 0. Указание. Биссектриса А, есгь геометрическое место точек, равнодл удаленных от сторон угла. Следова- 1»11ы»О, Отклонении»(» н»(»,1юбой» точки Гисссктригы от сторон угла будут раины ,,г-! ' но абсолютной величине.
Лля всех точек ь х 0»пссектР~!сы Углов, в котОРых лежат А, Р и Л» (рпс. 147), зти отклонения оди- наковы и по величине, и по знаку, т. е. 1»ис. И7, координаты точек биссектрисы А,А удоилетвооя»от уравнен»*н» »(» — »(»= О, Лля биссектрисы »ке смежных >тлоо уравнение будет н»ють Оид »(» + »), = О, так квк отклонения»(» и»1, будут р»11»ны по асколютпои величине, по противоположны по знаку. Следовательно, в июнем случае зля искомых биссектрис получим ураопеияя; Зх+4у — 9 12х+Ои — 8 Зх+ ля — 9 !2х+91 — 3 =-Оп ' = — + — ' — =О, 5 !О П.тн Зх — ду ч- !9= 0 ь Зх -1-39 — 5=0.
263 отняты Угловые коэффициенты 1 и — 1 найде!шых прямых удовлетворяют услоьию перпендикулярности. 61. Зх — у+ 55 = 0; 5х+ 15у+ 3 = О. 62. х+ у =О. 63 (1, — 4) и (3 —, -1 — ). 64. х+Зд+7=0; Зх — у+9=0 и Зх— б 15 — у — З=О. 66. Зх+д — 14=0 и х+2У вЂ” 2=0; х — Зу+ 2=0 и х+ +2у — 14=0. 66 Прямая, перпендикулярная к прямой, соединяющей заданные ~очки.
67. Прямая. К стр. 99 — 105 (гл. 117, ч. 1) 1 ° а) (х+ 2)'+(у+3)'= 9; б) (х — 2)'+ (у+ 3)'= 25; в) (х — 5)«-( + (у — б)' = 13. 3" (х — 3)'+ (у -)- 5)« = 100. Указание. Урав1« пню окружности (х — а)'+ (д — Ь)' = »' должны удовлетворять коордиааэ ы данных точек. Подставляя последовательно змее|о текущих координат координаты этик точек, получим трп уравнения относительно неизвестных величии а, Ь н»'! решив»ту сис.ему, найдем искомое ) рависнна 3". В = О, С= А, Ст= — ЗА, Е = — 4Л, г = — 12А. Указание. Уравнение окружиосэи радиуса 5 с пентром в точке (3, 2) может быть написано в виде (х — 3)'+(д — 2)'= .-=25, п»1и, 1)вскрывая скобки и перенося ясе члене~ з левую часть уравнсцня'. х«+ у — бх — 4У вЂ” 12 = 0.
Так как уравнение Ах'+ Вху+Су'-1- +(»к+Еу+» =0 должно выражать эту же окружность, то коэффнцпепгы э~ого уравнения должны быть прогорциональиы коэффициентам написанного 5 2 в шс уравнения. 4«. а) (2, — 1), г= 2; б) (-«»«, ",,), г= —; в) (3, 0), 3« 3 »=4; г) О, — — ), г= —. Указание. а) Приведя данное уравнение к виду 2)' 2' (х — 2)'+(у+1)'=4, заключаем, что координаты центра (2, — 1) н радиус ранец 2. б) Предварительно разделить уравнение па 2, а затем поступигь подобко тому, как зто сделано в п. «аь 6. х'+ у' — 2ах — 2ау+ ад= О. 6.
х'+ у' — Ох= О. 7. х'+ д*+ Зу = О. 6. (х+ 5)'+ (у — 3)'= 9 и (х+5)'+(у+3)" =9. 6*. (х — 4)'+(у — 7)'=9. Указание. Длина радиуса равна расстоянию центра окружности о~ данной прямой. 16*. (х — а) (х„— а)+ +(у — Ь) (у, — Ь) = г"". Указание.
Возьмеьг искомое уравнение касательной а форме: у — у, = й (х — х ). Вля того ч«обм определить угловой коэффициент й касательной, дифбкрспцируеь«уравнение окружности: 2(х — а)бх+ «(у х — а /«!д х + 2(у — Ь) «(у= О, откуда — = — —, следовательно: й= ( — ) »)х у — Ь* ~бх)х=х„ У=У« х,— а — Подставляя найденное значение коэффициента й в уравнение д„— Ь' насательной, приводя все члены уравнения к общему знаменателю и прибапляя к лсвой части сумму (х — а)' +(д, — Ь)", а к правой — равную этой сумме « а вели пшу» (точка (х, д,) лежит на окружности, а потому координаты ее удовлетворяют уравнейию окружности), после элементарпык преобразований получим уравнение касательной: (х — а((х, — а) +(у — Ь) (у„— Ь) = »'.
11 хх+уу=»'. 16. 4х+Зу — 30=0. 13 ° х — Зу — 10=0 й Зх — у+ +10=0. Указание. Уравнение касательной возьмем н фооме х,х+у,у=10, где (х„у,) суть координаты точки касания. Значения этик координат найдем из двух условий: 1) координаты (х, у,) должны удовлетворять уравнению окружности (точка касания лежит на окружности) и 2) точка ( — 5, — 5) лежит иа касательной, а потому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
