И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Возьмем вместо окружности (22) эллипс х' у* 2рл 2 ел — + — =-1, г=Ь (р, гу н Ь вЂ” полохпгтсльпые числа), лежащий в плоскости г=Ь, параллельной плосьощн хОу, ~голуоси которого сугь. ~' 2рЬ, )Г22!!. (25) 250 повегхности 2-го погядкл (гл. п Прн изменении Ь от 0 до + оо этот эллипс описывает поверхность 2-го порядка, называемую эллиппьическиль параболоидоль, уравнение которой получим, исключив й из лвух уравнений (24): х' чь х' Кь — + — = 1, или — + — =- 2г. (!Ч) 2пг юг ' р Ч Пересекая эту поверхность плоскостями координат з= О, у =О, х= О, получим в сеченяи соответственно точку и две параболы: хь=2рз, у=О; у*=2!!г, х=О. (26) У Из предыдущего усматриваем, что эллиптический параболоид можно рассматривать как по.
верхпость, образованную движущимся эллипсом, Рас. 12З. который остается себе подобным и концы осей которого скользят по параболам (26) (рис. 123); плоскость эллипса при движении остается параллельной плоскости хОу. Уравиеньье (!Ч) содержит только квадраты координат х и у, а потому плоскости хОа и уОз являются плоскостями симметрии поверхности. При р =ь7 уравнение (!Ч) определяет параболонд вращения с осью враиьения Ог, 9 9. Гиперболический параболоид, Простейшее уравнение гиперболического париболоида имеет внд: х' уь — — =-2я (р) О, 7) 0), (Ч) р ьг т.
е. отличается от уравнения (!Ч) только знаком прн у*. Плоскость координат хОя пересекает эту поверхность по параболе х' = 2рг, (27) для которой ось Оя является осью симметрии и которая расположена в полозснтельном направлении оси Ое. Плоскость х=)ь, параллельная плоскости уОз, пересекает поверхность (Ч) по параболе, уравнения которой будут: у'= — 2ь)я+ е = 7ь, пли (28) Из уравнения (28) усматриваем, что эти параболы, расположенные в плоскостях х=й, имеют один и тот же параметр, их оси симметрии находятся в плоское~и хОх и параллельны оси Ох, ветви парабол направлены вниз (в отрицательном направлении оси Оя), конто 2-го погадка 25! й 10) !р а их вершины гщеют координату в= ~ .
Так как уравнение парз- 2р ' болы (27), расположенной в плоскости хОг, ири к=й дает то же значение для х, то отсюда заключаем, что вершины парзбол (28! расположены на параболе (27) (рнс. 124). Таким образом, гиперболический парзболонд (Ч) можно рассматривать как поверхность, образованную движушейся пзраболой, ось симметрии которой остается в плоскости хОз, а вершина движется по параболе (27). Плоскость параболы остаетси параллельной плоскости уОг.
Пересе- ! кая гиперболический параболоид (1!') плоскостью г=)1, получим в сечении гиперболу, уравнения которой будут: — — — = 26, г=й. я Р Ч При Ь) 0 действительная Рнс. 124. ось симметрии гиперболы будет параллельна оси Ох, при лч 0 действительная ось симмегрни гиперболы будет параллельна оси Оу. Плоскость хОу дает в сечении с поверхностью (Ч) лини!о х' ьл — — — ==О, х= — О, Р е урзвпення которой распада!отса на две пары уравнений: х = — —.=-О, а=0 )р г'е Г н х Г! = — —:--О, г = — 0 и, слсдонзтельно, это сечение есть совокупность двух псрссскзюнгихся прямых. Прямыс сечен!ш плоскостью а=0 служат как бы переколем от одшно семейства гипербол (получа!ощихся в сечсшн плоскостью з=й нри й)0) к другому семейству.
Тзк кзк уравнение (т') содержит только квадраты координзт х и у, то плоскости хОг и уОх язл!но!ся плоскостями снмчстрнн длн поверхности, й 1О. Конус 2-го порядка. В примере ф 3, гл, к'1 мы состзви:ш уравнение конуса с вершиной в начале коордшип и оаправлшощен лпниеп х' р' а'+ ь =1 об2 поввгхпости 2-го погядкл (гл. щ 11олучснное уравнение х' д' г' (ч!) опрелеляет конус 2-го порядка. Поверхность симметрична относительно начала координат, а плоскости координат суть ес плоскости г симметрия (рис. 125). ф 11.
Цилиндры 2-го порядка. В примерах % б гл. Ш г1 мы рассмотрели уравнения цилиндров 2-го порялка: у Р х* аг+ ь 1 (ЧП) 3 3 х д й 3 У у — —.„= 1, (ЧШ) у'= 2рх. (!Х) Направлщощне липин втнх — — - —.-Й'-- ' г' ццлинлров, лсткащне в плоскостп хОу, суть соответственно эллипс, гипербола и парабола. Рнс. 125. Образуащгнс ятях щ~.тпндров параллельны осн Ог. цилиндры, которые опрелеляются уравнепнямн (Ч11) (Ч111) (1Х) носят названия гллилглиаегкого цилиндра(рис. 126), гипероолигесного !'нс. 126 Рис, 127, Рнс, 126. цилиндра (ряс.
127) н парабо тичггкого цилпндра (рис, 128). Прн а=6 эллнпгнчсскнб цилиндр сгеновнтся поверхностью вращения с осщо вращения Ог. 9 12) пгямолинейныа овгхзтющие повягхностей 2-го погядка 253 й 12, Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. 1(онструкции В. Г. Шухова. Поверхность, образованная двияьепием прямой, называется линейсаглой, а лежащие на пей прамые— ьь)ьлльолинеььньчьми обРазУющи.ии. Примерзни таких поверхностей моь'ут слухьнть пнлиндрнческав н коническая, Среди поверхностей 2-го порядка прямолплсйпьщн образующпчп обладакьт (кросьс конусов и цилиндров) однополосцньн гиперболоид и гиперболический параболоид.
Рассчогрпп одпополостпый щтсроолоил Его уравнение можно записать в вяло х' ех у' г' с' рг илп (29) Составим систему уравнений первой степени: (30) глс Й вЂ” произвольное число. При определенном значении й эти уравнения определяют прямую линию. Меььяя параметр й, мы получим совокупность прямых (семейство прямых), Уравььсььня (30) составлены так, что почленпое переьшожспие нх дает уравнение поверхности(29). Следовательно, всякая точка (х, у, г), координаты которой удовлетворяют системе (30), лежит на поверхности (29). Такнхь образом, каждая из прямых семейства целиком располагается на поверхности однополостного гиперболоида. ьььожььо показать, что на поверхности одпополостного гиперболоида располагается еще одно семейство прямолинейных образуьощих, оюьичное от уже рассмотренного.
Опо определяется урзвненипми где 1 — пропзвольнын параметр, 254 повягхности 2-го погядка 1гл. чг Кроме того, можно доказать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной пряной из каждого из этих семейств (рис. 129 и 1301. Рис. 130, Рис. 129. Прн помощи аналогичных рассуждений момщо убедиться, что ни поверхности гипеоболнчсского параболоида х' у' — — — =2х Р У также располагаюгся два семейства прямолинейших образующих (одно из ннх изображено на рис. 131).
Их уравнения х у =+ =2йг, х у 1 Ь5 1г х у 1 — — + —;= — ° Ур р'у х у — — — = 21г, Р с. 1З1 где и и С в произвольные параметры. Через каждую точку поверхности проходит по одной прямой каждого семейства. Наличие прямолинейных образующих у однополостного гиперболоида используется в строительной технике. Идея такого использования и практическое осуществление ее принадлежат известноиу упглжннння 255 русскому инженеру, почетному члену АН СССР Владимиру Григорьевичу Шухову (1853 — 1939). В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор, составленные из металлических балок, располагающихся по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Первая такая конструкция была осуществлена В.
Г, Шуховым при сооружении опоры высотою в 26 м для водонапорного резервуара 11896). Высокая прочность таких конструкций в соединении с легкостью определила их большое распространение в нашей стране и за рубежом. Упражнения 1. Составить уравнение поверхности, полученной от вращения прямой линии у =х вокруг оси Ох. Хг и т 2. Составить уравнение линии пересечения конуса — + — — — — О а' а' с' с плоскостью г=с. 3.
Составить уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и с направляющей Ах'+ 2В«у+ Суа + 2О« + 2Еу + Е = О, г = Д. 4. Какую поверхность определяет уравнение х'=да+ге? З. Какую поверхность определяет уравнение Ах'+ 2В«у+ Су*+ 2О«г+ 2Еуг + Егг = О? О. Какую поверхность определяет уравнение «'+ р'+ 4«т — 1 = О? 7. Какую поверхность представляет уравнение х'+ у'- г' — 1=0? З.
Какую поверхность определяет уравнение х' — р' — г' — 4 = О? Я. Какая поверхность определяется уравнением г = х' + у'? 10. Составить уравпспие пнлипдрической поверхности, образующие кото. рой параллельаы прямой хо й =г, а паправлюсщей слуткит линия х'+у'+ +г'=1, х+р+«=0, ОТВЕТЪ| К стр. 33 — 35 (гл. 1, ч. 1) 2. (5, 2).
3. ( — 4, 2). 4.(а, — Ь). 6. ( — а, Ь). 6. ( — и, — Ь). 8. (О, О), (2, 0), (2, 2), (О, 2) илн (О, 0), (О, 2), ( — 2, 2), ( — 2, О), и..н (О, О), ( — 2, 0), ( — 2, — 2),(0, — 2), или (О, 0), (О, — 2),(2, — 2), (2, О).9. (Ь 2, 0), (О, |г"2 ), ( $/ 2, О), (О, — '$/ 2 ), 16. (3, О), (О, 4), ( — 3, О), (О, — 4) или (4, О), зг а а~~Ззз гг а аг"3| (О, 3), ( — 4, 0),(0, — 3). 11 (а, 0), ( †, — ), ( — †, , — ), ( — а, О), '(,2' 2 з)'~ 2' 16.
д' А — тупой. 16. 10+ 2Г'5. 16 |'!3, |' !О, 1. 17. х= — 14, у=17. 16, ( — 3, 4; О). 19;(!5, 15), или (3, 3). 26.(1, 1О), или ( — ! 1, 10). 21,( — 3, 9). 22. (4, 5); ( — 2, — 3), 26, (г,м М ), 24„( — 3, — 5) кли (2, — 7). -~- (а -~- |' Ь' — Ьа) й 26. х=,. —, у== з †. 26*. Обозна шя координаты середним 2 ' стороны ЙС через а и Ь, полу ~асм а= — 1, Ь= 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
