И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 46
Текст из файла (страница 46)
П р и и е р !. Урааг>евие поверхности, обрааовапиой вращением эллипса К 2 г+ г а' с' вокруг пси Ох, будет: Х г/+2 — + — =1. а' с' (б) Если тот же эллипс воащае>ся вокруг оси 02, то урааиеипе получепцой таким образом псверхвости вращепия будет иметь апд: Х'-,Ы Д' 2' гг с г Если аьс, то а первом случае имеем удливеппый, а во втором случае сжатый эллипсоид ела>агния. При а=с полтаве>г сферу.
П р и и е р 2. Урааисш>е поверхности, обраэовапиой вра:цецием гвсербо>ы Х' 22 а' сь вокруг оси Ох, будет> Х' У>+2' — — =!. а с ь г (7) с'то — так называемый дедпслосгпаыи гиперболоид аратечак. 945 эллипсоид Если ту же гиперболу будем вращать вокруг осн Ог, то полученнал такам образом поверхность будет иметь уравнение «'+ у' а' с' Это — так называемый сднспслесглиай гиперболоид врлииенил.
Пр име р 3, Уравнение поаерхвостн, образованной вращением параболы у'=2рз еаьруг осн Ог, будет: х'+ уе = 2р«. Это — так называемый параболоид ершцепип. ф 5. Эллипсоид. Л!ы видели (гл. т(, 5 4), что уравнение поверхности, полученной врантеннсм эллипса х' з' а' + ат С' вокруг оси Ог, будет: х' + у' г' 1 ! у=1' Это уравнение определяет поверхность, называемую эллплсопдолл зрел<ските. Пересекая этот эллипсоид плоскостью «=Ь (!!л( с), параллельной плоскости хОу, получим в сечении окружность, уравнения которой булуг: х'+ у' = 1 — —, г=!ь (9) н радиус которой равен Следовательно, при изменении Ь от аначсния — с до значения + с окружность (9) описывает эллипсоид иран!синя.
Возьмем теперь вместо окружности (9) эллипс «т у* Ль ал + бт с' лежзецнй в плоскости г=Ь, параллельной плоскости хОу, полуоси которого суть: а~/ 1 — — „и Ь~/!— (1! ) Прн изменении Ь от — с до +с этот эллипс описывает повсрхиосггп уравнение которой подучим, исключив Ь пз двух уранненпй (1О): (!) гл ~ б' с" ' ' ил ' бе ~ с" (гл.
ю повеехиости 2-го погадка 246 Как мы уже видели, в сечении эллипсоида плоскостью х=й, параллелыюй плоскости хОу, получается эллипс (10) с полуосями (11). 1!рп изменении Ь от — с до +с эти полуоси изменяются, оставаясь нронорциональныяи полуосям а и Ь эллипса, лежащего в нлоа скости хОу (рис. 120).
Два эллипса с пропорциональными полуосвми называются подобными. Таким образом, эллипсоид можно рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом ;о(----- 2 (плоскость котоРого остаетсЯ паРал° , ,-.' , ', у лельной плоскости хОу), который при движении остается себе подобным и концы осей которого скользят по эллипсам (12) в плоскостях хОг и уОг. Рнс. 120. Не уменьшая общности, мы можем считать а р= Ь ~ с. Если а=Ь=с, то уравнение (!) определяет сферу; если а)Ь=с, то уравнение (!) определяет удлиненный эллипсоид вращения с осью прещения Ох; если а=Ь) с, то уравнение (1) определяет сжатый эллипсоид вращения с осью нращения Ох.
Если среди чисел а, Ь н с нет равных, то эллипсоид называется глрехосиыле. Уравнение (1] содержит только квадраты координат, откуда следует, что эллипсоид симметричен относительно начала координат, а плоскости координат суть его плоскости симметрии, так как если некоторая точка М (х, у, х) находится на эллипсоиде, то н точки ( †; х Ч-у, (-г) находятся па эллинсоиде при произвольном выборе знаков у координат. й 6. Олпополостный гиперболоид.
Уравнение полученной от вращения гиперболы х' е' а' с' поверхности, около оси Ог, будет: хел-ае — — — —.=:1 ае Сз Поверхность 2-го порядка, определяемая уравнением (1), называется эллипеоидоле, а вели шны а, Ь, е — полуоеллеи эллнпсоида. Пересекан эллипсоид плоскостями координат г= О, у =-О, х =О, получим в сечении эллипсы: '+ Ь' =1, х=О; —,+ —,=1' у О' ь* + =1, х=О. (12) % 61 однополостный ГипеРБОлОид (гл, Ч), й 4), Это уравнение определяет поверхность, называемую однополостным гиперболоидом враиггния.
Пересекая его и:нюкостью г =й, параллельной плоскости хОу, голучим в сечении окружность, уравнения которой будут (13) н радиус которой равек Ла а ~/ 1+ —. с' Оледовательно, при изменении й от — оо ло +ос окружность (13) описывает од~и>поааостааый гиперболоид вращения. Возьмем теперь вместо окружности (13) эллипс (14) лежащий в плоскости г=!г, параллельной плоскости хОу, полуоси которого суть: (15) !!ри изменении Ь от — со до + оо этот эллипс описьпюет поверхность, уравнение которой получим, исключив й из двух уравнений (14): х' у' га к' Л» г* — -1- — — = 1 + — или — + — — — „= 1. ааа ! би ~ с» а ' аа.+Ьа !!онерхность 2-го порядка, определяемая уравнением (!!), называется однополоипным гиперболоидом, а величины а, Ь, с — его полуосями, Пересекая поверхность (В) плоскостями координат Е=О, у = О, х =О, получим в сечении соответственно эллипс и две гиперболы: х» .
оа о' а» „» а — — — =1 х=О. Ьа с' (16) Как следует из предыдущего, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью г=7», параллельной плоскости хОу, получается эллипс (14) с полуоснми (15). При изменении й от — оо до + оо эти полуоси изменяются, оставаясь пропорцноиальнымн полуосям а и б эллипса, лежащего в плоскости хОу, н мы можем однополостный гиперболоид рассматривать как поверхность, образованную движущимся эллипсом (плоскость которого остается паралйельной 248 повегхиости 2-го погадка (гл. щ плоскости хОу), который при дяпигепии остается себе подобным и коппы осей которого скользят по гиперболач (16) в плоскостям хОг, уОг (рис, 121), !".ели а = Ь, то урависиис (!!) определяет одиополостшгй г! гиперболоид яращсипя с осью вращения Ог.
Уршпщиие (1!) содермги г только кв щ- ! раты координат, откуда следует, что одпополостиый гипсрболош! сщщстричси отиоспгельпо пача;ю коор !плат, а плоскости коорлшшт являютсг! сто илоскостяяи симметрии. й 7. Двуполостиый гиперболоид. луаулаггостнмг) гиперболоид аргги!гнил иы получим, сс.ш гиперболу гг х' —.- — — -=.. 1 гд а" будем вращать вокруг оси Ог. Гго уравиеиие будет (гл, Ч), Ч 4): г' хм+ фг с' Рис. !2!. Пересекая его плоскостью г=-и() й) ~ с), перпеидикуляриой к оси вращения Ог, получим в сечении окружность, урависния которой будут — .=ь (17) и радиус которой ревев а ~l —,— 1 (!8) При пзмеиеиии й от с до -1-со окружность (17) описывает отиу полость гиперболоида, а при изиеиеиии Ь от — с до — со окружность (17) описывает другую сго полость. Возьмем вместо окружности (17) вллиис х' ггг л' -г+ ь =.-- —.— 1, г=!г, (19) лежащий в плоскости х= й, параллельной плоскости хОу, полуоси которо.о суть: и Ь ~/ — '„— 1.
а ~/ —, — 1 (20) Пр!! изиснеиии й от — со до — с и от + с до + оо этОт вллипс описывает двуполостиу!о поверхность, урависпие которой получим, исключив й пз двух уравнений (19): х' рг г' х' , и' г' (! и) ач Ьг см ' а' ' Ь" Сг $8) эллиптичгский илгхволонд Поаер: нос~в 2-го парилка, опрсдсчвсман уравнением (!1!), называет«а бвупологглны,и гапврболоидонб а величины а, Ь, с — сто полуосл«ни, Пересекав эту поперхносп плоскосчзич кооодппвг г = —.
О, у = О, х = О, впа получим в сечении соотнесет г«ппо мппчое место н дэе гиперболы: гч — у=б; - —., — ~:,-=-1, х==б. (2!) !«ак бы.ю вы:ие сказано, а сечении лнупо:пюгпого гпп«ро пюпда плоскостью г = — Ь, параллельной ! плоское|и хОу, получаетсн эллипс (!9) с полу- , и осташ (20), когда !Ь~ == с, Отсюда пыгскаст, что „.пупол" стаый юшерболоид мы ьннксм рассматривать как пов рхвость, образованг|ую движущимсн эллипсом (пло«кость его остаетсп параллельной плоскости хОу), когорый при движении остаегси себе подооиым и копны осей которого скользят по гипербол;вг (21) н плоскостах хОг и уОг (рис. 122).
По- рас. !22. нерхкос1ь симметрична относительно начала координат, а плоскости координат суть ее плоскости симметрии, Прп а=1 уравнение (И!) опрсделнет двуполостпый гиперболоид вращении с осью вращении Ог. ф 8. Эллиптический параболонд. Парабо.вопд вращения иолучаегсв вращением параболы у' = 2рг вокруг оси Ог. Его уравнение будет (гл. Ч1, ф 4)! х'+у'=2рг. В сечении его плоскостью г=Ь (Ь= О), перпеплпкулврпой к осн вращении Ог, получаетсв окружность, уравнении которой булуг: х'+у'=2рЬ, г=-.Ь (22) и радиус которой равен 1" йрЬ. (23) Следовательно, при ивмспепнп Ь от О до + оо окружность (22! описывает параболоид вращение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
