И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Переписав последнее равенство в проекциях, получим: ел=Усова, я=асов(), р=гсозт, (4) т. е. Лг, л, р пропорциональны нзправляющим косинусам прямой линии, причем множителем пропорциональности служит длина *=1'ь тT т7 ° * ~ ( .. и. Таким образом, из равенств (4) находим: т т соз и= — = р т'+»'+ р' созр= — = созу= — "= Tю'+»1+ р* л (4') Следовательно, направление прямой в пространстве определяется отношениями лг:л:р ее направляющих коэффициентов, что дает возможность считать длину вектора в(т, и, р) произвольной, Когда параметр т' изменяется, точка с координатами х, у, е, определяемыми нз уравнений (3), движется по данной прямой.
Уравнения (3) называют лар метричеекилси уравнениями прямой линии. Так как гл, и, р — проекции направляюгцего вектора в, которому прямая параллельна, то числа лг, п, р характеризуют направление прямой линии в пространстве и нх принято называть налраеляалиими Аозффиииенлгами этой прямой. Заметим, что при единичном векторе в =в' коэффициенты Ри, », р становятся косинусами углов и, (), у, образованных данной прямой (направлением вектора в') с осями координат Ох, Оу, Ог.
В этом случае уравнения (2) и (3) примут вид: 224 (гл. ч нгямля линия Вместо параметрических уравнений (3) и (3') обьшно определяют прямую линию посредством системы двух уравнений первой степени между текущими координатами. Зги уравнения получаются из уравнений (3) или (3') путем исключения парометра т, '1'ак, из уравнений (2) пахолизп х — а р — Ь л р или х — а и — Ь 2 — с (о) т л р Уравнения (5\ назовсч каноиаческажи уравнениях и лрллгай линии.
В частности, прн та=сони, а=сок(5, р=сох) уравнении (5) примут внд: х — а о — Ь .' — с сока соз р соз у ' Система двух уравнений (5) прслставляет нашу пряную липшо гсак пересечение лвух нлоскостсй, определяемых ураииенннми «-а з — с у — Ь « — с т р ' а р Заметим, что в канонических уравнениях все коэффициенты в, л, р одновременно не могут обратиться в нуль, тзк как а-т=О. По некоторые из них могут быть равны нулю. В этом случае запись (5) понимают услояно, в том смысле, как это разъяснялось в й 13 гл. В. Пусть, например, аз= О, а и ~Ь О.
Тогда в соответствии со сказанным в $13 гл, И л(х — а)=О (у — Ь), т, е. х — а=О. Тот же результат мы, конечно, получим и из уравнений (3). Заметим, что равенства аз=О и х †а означают геометрически одно и то же: первое из ннх показывает, что прямая перпендикулярна к оси Сгх, а второе, что прямая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Ох.
3 а и е ч а н и е. можно вывести урзнпспня прямой линии, не прибегая к векторам. Возьмем на прямой линии определенную точку д(„(а, Ь, с) и переменную точку М (х, у, х). Обозначим ~срез и, (), у углы данной прямой (определенным образам выбранного направления этой нрятчй) с осями координат Ох, Оу, Ог, а нерва Π— расстояние ЬЧ„М, взятое со знаком+ или — н завнснмости От таго, будет ли напрзпленис отрезка ЛЬНИ одинакогю или противо. положпо выбранному направлению па прямой. 225 $ 2) ОБГПИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ Проекции отрезка М,М иа оси ксорлпнат бж Оу п с>е (Рес.
117) суть соответственно: х — а, у — Ь, е — с. По фсрмуле, выражающее проекнн>о отрезка (гл. !, й 3), имеем; х — а = о соз а, у — Ь = О сщ (), г — с= Е соз у. !(сктючая о из трех последних уравпепай, запшоем уравнения прямой лшшн е енсе х — а у — Ь з — с (5') сиза сок(! стет умножая знаменатели отношенн>т (Г>') на одно и та же произвольное число, нредстаеич урае. псина прямой линни в воле к — а у — Ь г — с (5) и п р Р>'.с ! ! 7. тле и, и н р суть количества, пропоршюпеллные косин;сам углов прямой линчи с гсямн координат, т. е.
выл:р = сиза:соз Й; соз у Втн уравнения (б) называют нинсническими урасненилли прилад линии. 2 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнении прямой, Пусть в канонических уравнениях прямой х — а у — Ь 2 — с (5) >и и р коэффициент р отличен от нуля, т. е. прямая не параллельна плоскости хОу, Запишем эти уравнения раздельно в таком виде: х — а е — с у — Ь е — с и> р ' и р При нашем условии уравнения (6) вполне определюот прямую. Клеклое из пих в отдел>,ности выражает плоскость, причем первая из них параллельна оси Оу, а вторая — оси Ох.
Таким образом, прелставляя прямую линию уравнениями вида (6), мы рассматриваем ее как пересечение двух плоскостей, проектирующих эту пряму>о па плоскости координат хОЯ и уОЕ. Первое из уравнений (6), рассматриваемое в плоскосгп хОх, определиет проекцию данной прямой линии на эту плоскость; точно так >ке второе из уравнений (6), рассматриваемое в плоскости уОЯ, опрелсляет проекцию данной прямой линии на плоскости уОЕ. Итак, можно сказать, что дать уравнения прямой лпнпн в вндс (6) — это значит дать ее проекшш на плоскости координат хОЕ и уОЯ.
Если бы направляюп>пй коэффициент р бь>л равен нулю, то обязательно хоти бы одни нз двух других к»эффпциснтов, например т, был бы отличен от нуля, т. с, прямая ис была бы параллельна плоскости уОЕ. В этом случае ны могли бы выразить пряную 1гл. т 226 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ уравнениями плоскостей, проектирующих ее на координатные плоскости хОу и х02, записав уравнения (5) в виде х — а у — Ь х — о 2 — с Таким образом, любая прямая может быть выражена уравнениями двух плоскостей, проходящих через нее и проектирующнх ее па координатные плоскости. Но определять прямую совсем нс обязательно именно такой парой плоскостей. Через каждую прямую проходит бесчисленное мнонгество плоскостей. Любые две нз ннх, пересекаясь, определяют се в пространстве.
Следовательно, уравнения любых двух тш<их плоскостсй, рассматриваемые совместно, прсдставлиют собой уравнения этой примой. Вообще всякие дне не параллельныс между собой плоскости с общими уравнениями (7) определяют прямую их пересечения. Уравнения (7), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой. От общих уравнений прямой (7) можно перейти к ее каноническим уравнениям. Для втой цели мы должны знать какую-нибудь точку прямой и направляющий вектор. Координаты точки легко найдем из данной системы уравнений, выбирая одну из координат произвольно и решая после этого систему «вух уравнений втносителюю оставшихся двух координат. Для отыскания напранляющего вектора прямой заметим, что этот вектор, направленный по линни пересечения данных плоскостей, должен быть перпендикулярным к обоим нормальным векторам п,(АМ В„С,), и п,(А„В„С2) этих плоскостей. Обратно, всикнй вектор, перпендикулярный к п, и и„ параллелен обеим плоскостям, а следовательно, и данной прямой.
Но векторное произведение п,р' ,пт также облздает этим свойством. Поэтяму за направляющий вектор прямой можно принять векторное пранзведение нормальных векторов данных плоскостей. Пример !. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х — Зу+2 — 6=0, Зх+у — 22 — 4=0. произвольно одну из координат. Пусть, например, е = 1. Выберем Тогда 2х — ау=4, Зх+у=6, откуда х=2, у=О.
Итак, мы нашли точку (2, О, 1), лежащую на прямой, 2 2) овп[не угзвиенпи пгямой (6) (6') где положспо т соз гз М= — = Э Р сазу и соз () сазу' тс пс ь ров Уравнения (6') называются уравнениями прямой в проекциях на плоскости хОг и уОг. Установим геометрический смысл постоянных М и У: М предстзвляет собой угловой коэффициент проекции данной прямой на плоскость коорди- нат хОг (таигенс угла этой проекции с осью Ог), а У есть угловой коэ)фн. ц сит проекции данной прямой иа плоскость координат уОг (тангенс угла этой проекции с осью Ог). Таким образом, числа М и У определяют направления проекций данной прямой липни на две плоскости иоординат, а значит, они характерна)чот и направление самой данной прямой.
Поэтому числа М н У называют угловыми коэффициентами данной прямой. Чтобы выяснить геометрический сл1ысл постоянных хэ и ум положим в уравнениях (6') прямой линии г=й; тогда получим: х=хм у=ум т. е. точка (х„у„, 0) лежит на данной прямой. Очевидно, эта точка есть точка псрссечейия данной прямой с плоскостью хОу. Йтак, хч и дз суть координаты следа данной прямой липин на плоскости координат хОд, Теперь легко сделать переход от уравнений в проекциях к каноническим. Пусть, например, даны уравнения (6'). решая этп уравнения относительно г, найдем: к — х„ г =.- —, М откуда непосредственна получаем канонические уравнения в виде х — х, д — у, г М У Т Пр им ер 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
