И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Таким образом, получаем систему двух уравнений относительно х„у«: хе+У«=10 бх«+Зу«= — 10. Рсшнн этУ сисгемУ, найДем Две паРЫ значенирл х, = 1, у, = — 3 и х, = — 3, у, = 1. Подставляя эти значения 264 ответы в ураннгнис касательной, гюлучич каснтс.п яые: х — Зу — 1О = 0 н Зх — у + +10=0. 14 х+2д+ 5=0 и 2х — 11д+25=0. 16' ° а) 2х ' Зу 13=0. Указание. Координаты гочки касания найдутся из двух условий: 1) з~а точка де кгг~ на окружности и 2) угловые комр(ягинеиты касатсл ной н данной прямой равны, 6) Зх — '-чу+20=.0 н Зх+4д — 5 — О.
16» г(=6. Указание. Ллнна (г() касательной ген катег нрязюугольного трс)зольника, вершины которые лежат: !) н центре окружности, 2) н дашюй точке ~11 н 3) в у! точке каса&их. !1оэгоз!у вешшина г(' он!кмслигся ьак разность между квадраточ ~ иоо1снузы (расстояние между центроз! окружности и данной тожойг г!1) и кондратом Г радиуса окружное~и. Такнч образом, бугах~ иметь: гР ==((7 — 2)' —,(8 — 3)т! — !4, откуда г(= б. 17.
а) Окружное~ ь (х — 3)т ~- дз = 9.6)Окружаем ь (х — 2о)з + ут = 4а'. 46. ),'-+У =1; б) " У =-1,) 25 16 ' 2о 9 ' 13 ! 0 хт "- «т дз те ) — †, †' .= !! д) — + : т = 1; ) †, . + '— !00 ' 64 ' 100 30 ' 23 9 ж) †, . +-6 = !.!9.а) Бг1льшая ось эллипса равна 10,а малан ось 8, Р, (3, 0); Р, ( — 3, 0); с=0,6, б) Большая ось зллйиса равна 12, а малая ось 4; 2) 2 Рнс.
148. Р, (О, 47 2); Р,(О, — 4 рг2) (!нш. !48), а= 3 66. а) —; б) ~,' —, в) —,; г) 0,8. 61.— = у! — я". 66. ' ) 2 - Г2 2ТР2 Ь; „(х — 5)' + — =1, нди + —,, =! в зависимости от того, лежит ли на оси Оу у' (х — 5)' уз (х — 8)' (у+ 5)' (х — 8)' малая нли большая ось эллипса. 68 — + —,— =1. 24. 61 25 ' 64 + + '„, =1.
66. Ни одной; две; одну. 66. х — ЗУ+ 12=0. 67. (5, — 4). (д — 5)' еее( 66*, к+у — 3 =0 и х — бд — 9 =-О. Указание. Обозначим координаты точки касания через хн д,. Теда уравнение касателыюй будет иметь вид: †' + д; -' = 1. Таким образаи, задача сводится к нахождению координат 6 3 тожи касания. Так как касательнан проходит через точку (4, — 1), то координаты з„д, должны удовтетворять уравнени1о — — — '=1. С другой сто4х> у1 хе 1 роны, координаты хо у, должны удовлетворять уравнению эллипса: — + — — =!. Рсшая полученную с,н:гену уравнений относительно х„ун наход" 3 ,нш координат | точек касания (2, 1) и ('!и — т(,).
Подставляя найти нные з ~аченнн кнор!вжат х„у, н ураш!еннс касательной, получаем касатсльньы х+у — 3.=0 и х — бу — 9=0. 69* х+3 = О и х — бу -)-9=0. 66*. Зх— — д -~- 7 = — О. указание. Координаты точки касании можно определить из условий; 1) онн должны удовлетворять уравнению зллииса н 2) углоные коэффициенты кскотнгх касательных должны быть равны уг,юному козффи. хт цясдгу данной прямой, 31 х+у 3=0. 32 х= 12. ЗЗ. — +; — =-. 1, ОТВЕТЫ 36. — +-,'- =1 Х /! 141 80 ырсз 1очк» (1, 1/ (ои сопряжец хордач, нчевтшцц папРавлсццс Ьь и слс/вжат ельца, дпл.ю и ц( оходпгь через сер лицу искомой хор ы), кпор,нюансы (1, 1) /юг;ю'.ы уцпцлст порить»рамп пшо у= Ьзх, пгк»да ппл» чаем: Ьт=) и /г,.=.— ",.
Следошпелыю, урапцеиие пскоиоп хорды б»дет: у — 1 =: — ' „(х — 1), или 5х+бр — 11 =0. 39 бх — 4у — 14=0, 48) 2 46.— . 41 ° Концы диаметра симметричны от" 1с. 5 цосятельпо ца шла коордииац т. е. коо!дппаты концои одццакопы по абсолют- ной величине, но цротипоположиы цо знаку, Пцэюму, если координаты одцо~о пз копцов диаметра обозна цш через х„уь то координаты другого конца б»д» г — хь — у,. Следовательно, ураяпсиия касательных, проведенных хх, уу, хх, уу, в концах диаметра, будут имсгь пид — ',— + — ''„= — 1 и —,'!+ — =-.— 1, отс' /т" а' Ь' куда видим, что угловые коэффициенты этих прямых равны.
49 у = -~ Зх. 43. 60-'. 44. Ь,='/8 у,= — !; 4 ),г —,; —.. 45. 2')''3, 44л2.46'.у= Г5 8 !' 3 Ь вЂ” х, Ухаюниз. Пусть у=й,х и у=у„х будут уравнения искомых диаметров. Оба диаметра располагаются снмметри пю отцосительпо координатных Ьт осей. Следовательно, й,= — й,. Поэтому й,/г,= — Ь' = — —, откуда а' ' Ь Ь Л й,-т+ — и /те= — —. 47. у= Зх, 48. — ',--. 49* ° Эллипс.
3/хпзапие, а ' а' ' 3' Слороиы прямого угла црицимаем за оси координат, Полагаем АМ=а ц Л Л ВЛ1=Ь. РП рпс. 149 ьы имеем: — =-з(п МАЬ/, — =сов МАЬ/, отктзп у а Ь х' у' — + — = —:1, т. с. точка М описывает эллипс. Если тоже М совгадает с се. ат Ь" рединой отрезка АВ, то а =Ь, и мы имеем окружцосты х'.)-у*=аз. 56. г= .... 51. а) —,— — — '. =-1; б) .- — — =1; в), - — — =1; )/ 5 соз~р ' 2о 1б ' 36 13 ' 2ц 24 х' уэ х' у' г) , — — †' = 1; д) — — — = 1; е) †, — — †' = 1.
53. а) /(ействи1ельная 30 28 ' 15 6 ' 25 75 1,1 ось гиперболы равна 24, а мнимая ось 10; у,(13, О); у,( — 13, 0); е=— б/ Яействнтсльпая ось гиперболы равна 6, а мнимая ось 8; г,(О, 5); /гт(0, — 3) 5 а Ь (рис. 150); е=--. 53. а) всоз —,=1; б) — = )'е — 1. 54*. 5у. 2х=О. 2 х, и у Т'3 или — --, 1. 3* = -)- — — 1. 35. 40 24 хт ут 37. ---'-'— =1.
38ч бх+бу — 11=0. »хазанпе. Если обозиачпм через /г, 25 !1 Угловой коз р,.'ч/ццш,т искомой хпР; и, а чепца Ьт — Углоисй) кцэ)гйицце, г даат~стра, сопри,ьсчпого хордам, цисюыич паправлсппе йп то, как извес ~ ь » ц~ жыс коьц)чцш циз й, и /г, буду ~ связаиы соотцошеинсм Ь, = —. —, Ой, ' Тпк ьше емю,цй дппиы/т проходит че)тез начало коордпча, то уртвцечие Л.аметрп, ю ыигло паправлепцс уь мокша предстпе~ т~ и инзс у — /г х. Вследс~ие то,о, чю диаметр должен проки!пть 266 отвкты Указание.
Координаты точек пересечения диаметра с гиперболой найдутся из двух условий: 1) эти точки лежат па гиперболе и 2) расстояния этих точек от центра хе уе гиперболы равны)/29. 55 г,=б; ге=14. 56 — — — =1. 57. х — у — 2=0; 5 х — у+ 2 = О. ВВ. х — у — 1 = О; 9х+ бу — 23 = О. 59 Зх — 2у -1- 4 = О. 6й*, 1) Ь. 2) Обозначая через (х, у) координаты произвольной точки гипер- Рис. !50.
балы и через «(, и б, отклонения этой точки от асинптот, будем иметьс д,= --. и Йе=== —,, откуда (а, ае(= Ьх+ ау Ьх — ау 65, а=, Ь===. 64 — — -~ — =1. 65. 2х — 7-~-1=0. р 66, — — — =1. 67. е="ггЗ . 69 2х — у=О и х — Зу=О, а такеке 10 2х+у=О н х+ За= О. 69. у=-~- — х.
79 у= — х. 71. а) х* — у'=8; 4 5 3 ' 3 б) — — — = 1; в) — — — = 1. 79. Правая ветвь гиперболы х' — — = 1. у 25 9 3 73, х* — у' = а', если координаты заданных е очек (а, 0) и ( — а, 0). 74 глх+ху=2глхе. 75, а) у'=(бх; б) у'=8х; в) у'=- — бх; г) х'=12у; д) х*=8у; е) х'= — бу; ж) у'=бх — 9; з) х'=бу — 9. 76. а) (у — Ь)'— =2р(х — а); б) (у — Ь)'= — 2р(х — а); в) (х — а)е=йр(у — Ь); г) (х — а)'= = — 2о (у — Ь).
77 у'= — 4х. 75. (х+ 2)' = — 32 (у — 1). 79. 2р. 99*, Зх — у — 11=0. Указание. Уравнение хорды напишем в виде: у — 1= =а(х — 4), Уравнение диаметра, сопряженного хордам, имеющим направле- 3 ние Ь, есть у= —. Так как этот диаметр должен пройти через точку Ь' 3 (4, 1), то будем иметь: 1= —, отнуда определяем Ь=З. Таким образом, Ь ' получаем искомое уравнение хорды: у — 1=3(х — 4) или Зх — у — 11=0. 91 4х+у+3=0. Вй.
у= 4. 95 2х-2у+5=0 и бх+4у+5=0. 267 отпгты 84 (9, 6 )/3), 85. х+У+1=О н х — ', Зу+9== 0. 86, а) 2х гу 1-2=0 б) х+ у+ 4 = О. 87 1)арабола, фокус которой лежит в ди1ной точке и директрисой которой служит данная прямая. К стр. 126 — 117 (гл. Ч, ч. !) 1. а) ( — 2, — 6); б) ( — 2, 4); в) (6, — 6); г) (6, 4) 9. (!2, — 22); ( — 12, 22). 3 (3, — 3); ( — 3, 3).
4. ( — 7, 6). 5 а) х = Х; У = — У; б) х =-:: — Х; у = — У, 6. х=.у; У=Х. 7. Х=-.+2, )с=О. 8. Па угол в 136' или в 3162 Тогда координаты точки М будут соответственно: Х= — )/ 2, у= — у 2. =+ г/ 2, )с=+ 3' 2. 9. Уравнение не изменит своего вида 19, Ху— 2 ' П, Х' — ул = 2. 12. )с = 4Х'. Вершина О, (1, 1). Новые осн координат имеют направления старых осей. 13, У= — ЗХ, Вершина О, л /6 2оЛ (,6 ' 12)' Новые оси к«юрдинат имеют иаправленнк старых осей. 14. Ху = — 6, Центр (-4, 2). Новые оси координат нме«ст направления старых осев.
3 /11 3 '! 15* а) ул= — —,Х, новое начало О ~ —, — — )! б) 1'1=4Х, новое нача;1о 6 '«г 1 / 4МР— «Чл'« О ( — 4 4) 16 ~у+~~~ ) =М ~х — 4М ); координаты вершины, ( ' ) ° 4МР— !Чг «Ч '« — — ), ось симметрии парачлельна оси Ох. 17 а) (х — 1)'— 4М ' 2М)' 1 = 2- (У вЂ” 6); б) (х + 3)' = — (У вЂ” 2); в) (У + 4)л = 2 (х + 2); г) (У + 1)' = 2 4 = — — (х+4). 18, а) +у'=1; эллипс с центром ( — 2, 0) и полу- 1 (х+2)' (х — 2)' (у — 3) осями 2 и 1; б) — + =1; эллипс с центром (2, 3) н, полу.
8 . 16 (с — 4)л у' осями 2 4 2 и 4; в), — — '=-1; гипербола с цшпоом (4, 0), действа. 16 4 тельная полуось равна 4, мпи«1ая 2; г) (у — 3)' — (х — 1)'=8; равносторонняя гипербола с центром (1, 3), полуоси равны 2)' 2, действительная ось парал- лельна оси ординат. 19.
а) х' — д'=1; б) — — —.=1; в) у'= —, х; х* д' У' 2 4 9 х' у' х' у', 108 г) + —.=-1; д) — + — =1; е) 131/' — — —. х=О, (Вс«аду х и у означакп координаты в окон 1ан:.и иьж осях.) 96. Второго, К стр. КЯΠ— 16! (гл. Ч1, ч. 1) 1. — 4; Я; — '18; о6, — 2(х'+у'); (х — у) (у — г)( г — х), Й.
а) х=!; У=О; г=1, б) х=о; у=!; г= — 1; н) х=7й, у= — 2д; г= — ЯА, где 4 произвольно: г) я= ус=г=О! д) л= В« (9 — 7г) У=«!«(1-,'-2г), г произ вольно; е) Система несовместна. 3. 4 кв. ед. 4 да, лежат. 5. х+4У вЂ” 11=0. лл у, 1 х, у, 1 6. й= ! х,д,1 х, 16 1 с 7, хл ./1, 8. Против часовой 7 (х, — хг)с+(у« — да)' 2, х, д„1, стрелки. 9, а) сов (и+(1); б) з«г (и+(1)! в) О. 16 ЛСГ+2ВОà — Л(1 — С01 — Рм", П. а) л, = 2, х,=- 3; о) х,=2, та= — —; в) .«=-2, И 1 "л 7 ОТВЕТЫ К стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
