И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 51
Текст из файла (страница 51)
162 — 163 (гл. 1, ч. 2) й. Точка лежит: а) па оси Ох; б) па осн Оу; в) иа плоскости уОг; г) на плоскости хОг. 3. а) Относ. плоскости хОу: (2, — 3, !1; (а, Ь, — с); силос. плоскости уОг; ( — 2, — 3, — 1), ( — а, Ь, с); отпос. плоскостй ХОг: (2, 3, — 1); (а, — Ь, с); б) отпос. оси Охс (2, 3, 1); (а, — Ь, — с); относ. оси Оу: ( — 2,— 3,1); ( — а,Ь,— с); отиос.
оси Огс ( — 2,3,— 1); ( — а,— Ь,с); а а) относ. начала координатс ( — 2, 3, 1); ( — а, — Ь, -с). 4. 8( О. О, )/ 2) Р,( —, —,0),Р~( — —. — 0) Р«~ — — — —,0),Р„( — — —,О). 6 ОА=«г/60; с(х=т«/34' с(«=у 41! с(«=6 6' /(=3.6* г=г! . Указание. Определяем сперва коордипатй неитра сферы как точки, равноудаленной от данных точек. 9. (1, '!„'!«) Уй )/149, 2) Г4; 13;(6, 3, «,). 11. В(!О, О, 1«/«), 12 Относительно одной системы ( — 3, — 1, 3); относительно другой системы (3, 1, — 3), 13. Не существует.
14. Соза=соа()=сову= —., 16. сова=- 1 Т/ 3 1 — — — со5 (1 = соз у == . 16. 005а = ='- /„ со5(1 = — ",, соз у = — ", . 17. еаза=сов()=сазу= — /«У 3 16. /С=11, со50= — ",„; сов(1=- — ",„, соз у=«/„. 19. у=60', А(3, 3 )/ 2, 3). 26. г= !О )/ 3; г = — Т~ 11, сов()= — «! 5 У 3, соБУ= — ~)««УЗЗ.
21 ° созф«=~!~УЗ, созф ='/ )'13, соз«Р — «/,)/ !О, 22«, с(= 13, соз а= '/ «, т 5 (1 =.«- «Аы соз у= = '«', . Указание. для опоеделеиня напрзвчтощих косин)сов прямой, проходящей через этн точки, переносим начало координат в точку Л, сохраняя неизменными па- пранления осей. Определяем координаты точки В относительно новой системыс /( — й 2 = 3, )« = 1 — б= — 4, 2 = 11 + 1 = 12. Теперь легко вндетсь что воза=-~-«(1«, со«()= «-~)1«, сазу«= ««/'«, 23 с(=6, сова= «(«, совр= =-':, «!«, сову=О. 2* 60'. 29.
90', К стр. 193 — 194 (гл. 11, ч. 2) 1 г=г,+г«, иля х=х, +а, у=у, +Ь, е=г, +с. й* х= =х,сиз (х, 21)+ус со5(х, уД+г, соз(х, 2), у=х,соз(у, х)+ л-рссоз(У, Ус)+21 соз (У, 21), 2 =х«соз (г х«)+У«сов (2, 1/1)-.-21 с05 (2 2 ), Указание, 1х+)у+ 92=1«х«+!у, +М ги где °, 1, 1с — тр11 основных единичных вектора старой системы, а 1„11«й« — единичные векторы павой 3. х=х,соз(х, х,)+1/,соз(хь у,)+г,соз(х, 21)+а, у= =х, соз(у, х)+у, соз(у, у)+г, со5(у, г )+ Ь, г=х, соз(г, х )+ Нс 1 Хс + сн«Х«1 !П«Х«т1 1/1 ! 1П«1/«+ 1П«у«тс 1 + Н1«2«+ си«2« т,+сп«+пс« ' т, +т«+т ' т, -,'-т +т 6 Л = )/ 3, а = 3 = у = згс соз —. 9.
2. 16«, Указание. Л11вго1/алн паралт/ 3 3 лелограмма СС=А+ В и АВ=.  — А. 13. 130«.!4.60'. 13'. Указание, Взять в плоскости ХОу дна единичных вектора а и Ь, составлякжснх с осто абсписс соответственно углы а и — (), и составить аЬ. 16. Нельзя. 12«, Указание. рассмотресь иекторноо произведение двух единичных векторов, лежащих атвиты 269 в плоскости хОд и сосгавляющнх с осью х соответственно углы а и 16 3 )/ТО.
19. чр) 1о62. 29. ~ (гг ~ 1,' т' ~ +(~' д' ~ -+~ (' А-; „1 — . 2-,' ( Л,Р—, У„- -(- 2,„" — ! (А — С) (В г.' О) ! 27. РРпрр ) 109. 26. — 581 — 20!. -к: — 80. 29*. Указание. 11сксонр расстояние Оуж.г представлять высот) нярзллелпппеда, основание ьогорого есть параллелограмм, опрсдслящпкй нскз зрячи — сторыщп,. В и О, а трет~с ребро изображается всьтороч А — С, 36*. —, ' ' ' = —:. Ь казарще. Искочас расстояние б) дет прсд- !( — А) .'С' 20! 2 С !! сгаилять высог) чара„щслогразща, основание которого есть вектор С, а дрзгзк сторона нзобра'кается вектором А — В. К стр. 200 (гл. П1, ч.
2) 1. х'+д'+ г'+2 — 4У вЂ” бг — 2=0. 2. (1, — 2, 2), )7=4, 6. (! О 0) )с=! 4 О, —, О, )(= — З 89. 6. х'+у'+г' — 2х — бу+4г=О /' 6. х'+ у'+ г' — 2х=.О. 7. х'+ у' — х+ 1 = О. 8. Эллипс. 9. 1~ррлизгдр с образующими, параллельными осн Ог, и направляющей х'+у' — 2х= О, г — О, К стр. 219 — 221 (гл. 1У, ч. 2) 1. а) Иет; б) проходит; в) иет; г) проходит; д) пет. й, а) сояп='н соя 5='/„соя у=-'(р, р=5; б) соя п="(рр, соя()="/рр, созу= — ";„, 4 ( р-)Г 2, 1, !). 6, 2х+9у — бг — !21 =0.
6Р, Указание. Уравнение искомой плоскости будет: А,(х — 8)+В,(д+7)+С,(г — б)=0, причем вектор п (А„Вр, Ср( можно припять равным вектору АВ (6, — б, 7(, т, е. А, =6, В, = — 6, С, =7. 11одставляя последние числа в уравнение плоскости, получим: бх — бд+ 7г — 125= 0. 7. !Ох+ 2у+! 1г — 148 =0, 8. 2, — 4, р),. 9. к+у+ г — 2=0.
!6. а) Плоскость параллельна осн Ог; б) плоскость параллельна плоскости уОг; в) плоскость проходит чсрез ось Ох. 1!. а) Зк+2г — 5=0; б) у — Зг=О; в) у — 2=0. 12. а) Зх+5у+ +7г — 100=0; б) 15х+17у — 42г+ 238 =0. 13.
а) 45"; б) 60"; в) соя рр="!рр, !4. а) Зх — 7у+5г=О; б) Зх — 7у+5г — 66=0; в) Зх — 7у+5г — 39=0; г) Зх — 7у+5г — 9=0. 16. а) 5х+7у+ 3=0; б) у — г+7=0; в) 5х+ +7г — 46=0. 16, Зх+у+2г — 23 =0. 17, 2х+ Зу+ г =О, !8, а) (5, — 7, В); б) ( — !О, О, 2), в) (3, — 2, — 5). 19. )г(!=1. 28. (О, — РР)рр„О) и (О, "(„, О), й!. 35у+ 12г=-0 и ЗУ -4г=О.
22. 20х — 4у — 5г+ 133 = 0 и 20х — 4д— — бг — 119.=0. 26. з) 3; б) 5. 24*. 45х+184у )-482г — 553=0 и 96х — 13д — 4г — 1106 =О. Указалие, Искоьгые плоскости являются геометрическими местами тачек, равиоудатенных от двух данных плоскостей.
Для тачек одной нз искочых плоскостев отклонения от данных пгискосыч) одинаковы по абсол~отной нелнчнне и по знаку, а для точек другой— отклонения раины по абсожотиой величине, по нмсюг противоположные Зх+ Зу+ бг — Зо знаки, Позтому уравнение одной плоскости будет: )' 9+4+36 21х — 3011 — 7йг — 237 „Зх+2у+бг — 35 21х — 30д-70г — 237 -=, а другой )' 4и -(-900.
!- 1900 )х9+ 4+ 30 '1 44!+900+491!н 270 отняты !1осле элементарных преобразований получим уравнения, данные в ответе. 23, 4х — 50У вЂ” 22г+ 675 = 0 и 46х+ 50у + 122г + 375 = О. 26, (а,— а) (х — а) + !х г ! +(Ь, — Ь)(у — Ь)+(с,— с)(г — с)=0. 27. х, г, ! =О. 26. г,у — у,г=О. хл гл ! 26* У вЂ” У,=О. 36. Ах+ВУ вЂ” (А+В)г=О, где А и В произвольны (но ху 1( (х у г пе равны одновременно нулю). 31 ° х, у, ! =О. 32 А, В, С, = О. к,у,1 А,В,С, 9 — 7г 33.
х=тй, у= — 2й, г= — 5й, где й произвольно. 34. х= — У= х 1+ 2г , а г произвольно. 33. Нет точки пересечения. 36, (г — г,) аЬ=О; 5 ! ! л — х,у — у,г — г, ал и Р О. 37, (г — г,) (гз — г,) а=О; гал и, р, ! х — х, у — у, г — г, х, — х, у, — у, г, — г, = О, ал и р К стр. 236 — 240 (гл. У, ч.
2) 1 ° а) Прямая проходит через начало координат; б) прямая параллельна оси Ог; в) прямая параллельна плоскости хОг! г) прямая параллельна оси Ох; д) прямая совпадает с осью Од; е) прямая перпендикулярна к оси Ох и пересекает ее; ж) прямая лежит в плоскости УОг. 2". О =3. Указание. Координаты точки, в которой прямая пересекает ось Ог, будут (О, О, г,), где г, — неизвестная координата, Эти координаты должны удовлетворять обоим данным уравнениям, так как обе плоскости должны пересекать ось Ог в одной и той же точке. Подставив значения (О, О, г,) вместо текущих коордииат в данные уравнения, получим два уравнения относительно г, и О: 2г, — 6=0, — г,+0=0, откуда найдем; Р=3. 3, В= — 6, О= — 27.
Указание. Так как прямая должна лежать в плоскости хОУ, то она пересекает оси Ох и Оу. Координаты точек, в которых пряллая пересекает эти оси, соответственно будут: (х„О, 0), (О, У„О). Подставляя эти значения в данные уравнения, плллучаем четыре уравнения относительно неизвестных хо у,. В и О; х, — 9=0, Зх, +О=О, — 2у, — 9=0, Ву, +В=О, откуда находим: В= — 6, О= — 27.
4 ° а) 0=0, Ол=О! б) А=О, А,=О; В О в) — = —; г) С=))=0, С,=Ол=О. Указание. в) Лля того чтобы пря. О,' мая пересекла ось Оу, нужно, чтобы обе плоскостн пересекали ось Оу в одной и той же точке, т. е. чтобы координаты (О, У„О), где у, — неизвестная координата) удовлетворяли обоим уравнениям. Подставляя эти значения в уравнения прямой, получаем: Ву, + Р =О, В,у, + Ол = О, откуда О !), ' В д = — †, у = — †', и следовательно: — = — . 3. Точка А лежит, а В, О,' точка В не лежит на данной прямой. 7* 4х +5д — 32 =О, 1!х+ 10г — 78 = О, !1д — 8г — 8 =О. Укаюииг. 11лоскость, проектирующая прямую на координатную плоскость хОУ, должна удовлетворять двум условиям.' 1) она должна проходить через данную прямую и 2) она должна быть перпендикулярна и плоскости хОУ, или, что то же, параллельна оси Ог.
Исключим из двух данных уравнений иоординату г, для чего умножим второе уравне. 271 ответы х — 2 е-г-3 г+! * 2 '-1'б Уб 26. х=бг — 1, у= — 5г — гг/, х — а у — Ь е — с 26. и, л, Рг =О, а,— а Ь,— Ьс,— с х — а л — Ь г — с 26 ар, Ь», —,аи, +Ьи,> 2Ч у — пг — Ь вЂ” (х — иг — а) т л гп, и, ! у — лг — Ь, — (х — тг — а) (х т л тг л, ! х — а у — Ь г — с( и. лг р, =О. а,— а Ь,— Ьс,— с (х — а> п — (у — Ь) и( ! =О, ! — а>а,— (у — Ь)т, ~ ! ~=о. 1 нис на 2 н сложкм с первым. Такцл> образом, получим уравнение 4х+ +5у — 32 =О.
Полученное уравнение является уравггсннслг проекти!укяцел плоскости, так как: !) оно является следствием двух дзпиых уравнений, а потому значения координат (х, у, г), удовлетворяющие двум данным уравнениям, удовлетворяют и полученному уравнешно, что свидетельствует о том, что эта плоскость проходит через данную пряму>о, и 2) полученная плоскость параллельна оси Ог (в уравнении отсутствует координата г). Уравнения плоскостей, проеитирующих прямую на другис координатные плоскости, ! 9х — 4у+ 13=0, ! 15х — 8г+3=0, найлутся аналогичным образом. 6. г," ' г + 5 — бг — 14 — 0 9* х+у+г=О, у — г — 1=О. Указание. Уравнеплс всякой плоскости, проходящей через данную прану>о, л>ажно написать в виде х+у — г — 1+Л(х — у+г+1)=0, или (1+Л)х+(1 — Л)у->- +( — 1+ Л) г — (! — Л) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
