И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Так как медианы треугольника пересекаются в точке. и которой казкдая пз ппт делится в отношении 2:1 (считая от нержины, нз которой проводится медиана), то координаты (х, у) искомой тожгг по форзгулам (5) и (7) будут: х= !+2 ( — 1) 2+1 1 2+ 24 10 3* 2+! 3' — — у=, =,—. 27. (3, — 1), (4, — 2), (3, — 0), (2, — 4). 28.х= '+ + ', у= '+' ' ' ''.
66. '(з ко, о!., 31. 335 нв. сд. 62. Лежат. 66. Р=13, ф=агс12 "(и 64. à — (5+|'17); — (7+)')7)~ . 'Ь4 ' 3 й (2Ь+и) 36. Расстояние певтра тяжести от большего основания раино З(а+ 5) ' аг+аЬ ~ Ьз а от стороны, пгрпепдикулярвой к основаниям, —,; —, . 66 А (1, 1), 3(а+ Ь) С( — 4, 4), О()' 3, — 1), ))(2, 2 РгЗ), 67.
А(гг13, агс12( — —,— П' |' à — — ), С(З, О), О 4,— я ) . ответы 257 К стр. 44 — 48 (гл. 11, ч. 1) !*. Из уравнения кривой непосредственно видно, что кривая симметрична относительно оси 0(б перемена знака при х ие изменяет значении д так как х содержится в уравнении по второй стспеии. Так как значение у =0 не удовлетворяет уравнению кривой, то кривая ие пересекает оси ()х, Зпв Решим теперь уравнение кривой относительно йт у= , , Считая 4о'+ х' постоянное а ) О, замечаем, что при всех значениях х ордциата у ) 0 зто означает, что кривая целиком расположена в верхней пол)плоскости. Из этого же выражения видно также, что с воарастаиием аб- У солютиой величины х ордииата у уменьшается.
При хссо ордипатз у = 2а. Произведя такое исследование уравнения кривой и построии некоторое количество точек кривой, коордипаты которых определим непосредственным вычислением о иой пз д текущих координат ио данным Рпс. 132. произиольпым значениям другой, убедимся, по кривая имеет такой вид, каи изобрикепо иа рис. 132, При построении кривой слсдзет постоянному а дать некоторое произвольное значение. Э*. Полярный радйус г достигает наибольшего значения, когда З(п 2ф пмссг паиболыпее зиачсцке, что паступаг"г, когда зп| 2ф = 1. т, е.
когда Э= 43'", 228" и т. д.; тогда «= 10. Полярный радиус г принимает иацмсиьшес значение, когда зй1 2тр полу«аст наименьшее .тиз гипс, ~то имеет ьксто. когда ап2ф.—.— 1, т. е. когда <1.'=133*, 318' и т. д. Эпг наименьшее значение г есть — 1О. Когда ге=О', 90', !80' и т. д., тогда г . О. Теперь слеиус~ погтрпить ряд то ~ек кривой, координаты которых можно определить псшкрелствеппым иахождс:пп и одной пз пих по данным произвольным зпачеитшм другой.
Кривая состоиг из четырех псгслгь как пок 1зывает прилагаемый рис. !33, и по этой при*пще и называется чгтырехлспестковой х' розой. Э. Зх — 30+17=-0. Т. у= — -(-2. В. Ок- 8 Э х р рухсность х" + ут 12х. Э 4 1 - 1 (зта крива и называется эл.пшсом). 1Э*. Прежде чем составлигь уравнение кривой, нужно оыбрзть систему координат. От выбора системы координат зависит больпиш или меньшая сложность искомого уравнении. Так, ранее мы видели, по если начало координат Рис. 133. пг1мсстить и пситре окружности, то уравнение ее бу- дет иметь более простой иид, чем при друг~ю выборе системы координат.
Правил, которыми можно было бы руководствоваться при ьыборс системы координат, пе сушестиует, и уменье делать наиболее удобпып шабер дастся только опытом. Для составления искомого уравнения в дапиоч случае оказывается удобным за ось Ох принять прямую, проходящую через то ~кп Р и О (тогда будут весьма просты координаты ~очек Р п (7), за ось Оу припять прямуки делящую пополам отрезок РО (рпппопраипость точек Р и О позволял предполагать силвютрию кривой).
Пусть х и у будуг координат ими произвольной то|и:и М, лежащей иа искозюй кривой (рпс. !34). Это зиа щт, что х п у будут текущими координатами. Составить уравнение крипоп 0 еометрического места) — это значат выразить про помощи формулы (урзш.шши) ~еоь1етричсское свойство кривой. Это достигается ьрп помощи 258 атвкты установления соотношения между текущими координатами и постоянными величинами, характеризующими данную кривую. В данном случае, следова. тельно, нам нужно установить соотношение между х, у и постоянными т' и я. из определения геометрического места следует (рис.
134): Рм Ям = тз. Выражая длины отрезков РМ и ]гМ по Формуле расстояния между двумя точками (координаты точек Р и ];] по отношению к выбранной нами системе координат будут Р ( — и, О), ];]( + л, 0)), получаем: Т'(х+п)2+у2 тг"(х — п)2-(-уз=т'. Это и есть уравнение данного геометрического места; но, очевидно, его следует упрастить2 оевабаднть ат радикалов, произвести возможные сокращения и т.
п, Произведя с этой целью элементарные преобразования, полу. чаем: (х'+ у'+ я'+ 2лх) (х'+ у'+ л' — 2лх) = тч. яли (х'+ у'+ и')'— — 4лгхг=т4, или (хз+ у*)2+ 2пз (хе+ уе) — 4лгхз =т4 — п4 и окончательно: у Рнс. 134, Рис, 135. (ха+уз)' — 2л'(х' — у')=т4 — и". Для построения кривой исследуем найденное уравнение. Так как замена произвольного значения х в уравнении кривая значением, пративаположныч по знаку, но равным по абсол1атной величине, ие изменяет значения у и, аналогично, замена произвольного значения у значением, равным по абсолютной величине, на противоположным по знаку, пе изменяет значения х, то кривая симметрична относительно осей координат. Далее, из геометрического определения рассматриваемого геометрического места непосредственно очевидно, что эта кривая есть замкнутая кривая.
Положив у= О, а затем х=О, найдем точки пересечения кривой с осями Ох и Оу. Построив ряд точек кривой, координаты которых можно найти, вычисляя вз найденного уравнения одну из координат по данным произвольпыч значениям другой, н соединил нк плавной линней, получим (при т ) и) кривую, изображенную па рис. !35. И' я) При выборе осей 1,оординаг, как в упражнении 10*, уравнение лемнискаты принимает внд: (хе+ у']* = 2те(х* — у').
б) Если полюс совместить с началом прямоугольной г системы координат, а полярную ось савв местить с осью Ох, то уравнение лем. ннскаты будет иметь вид1 г'=2т'соз21р Рпс. 130. Указание. Для вывода уравнения в поляр. вых координатах устаазвлнвасм прежде всего па:юженне систе21ы координат: полюс совмещаем с пачэлоч координат выбранной нами прямоугольной системы, а полярную ась совмещаем с осью Ох. Тогда будем иметь (рис. 136): ЬМ ()М = т*. Выражая о1резкн БЫ и 9М по известной формуле трягонометрии, приходим к уравнению 1~2. '~'~ ' 1 ' 1- ' — 2 Производя элементарные преобрзз нация получаем: (г'+т']' — 4т'г'сазе 1р= =лг4, г4= чтгг'соз2 22 — 2тегг, нгц2 г'=2тгг'(2 соз" 1р — 1), и оканчтельно; отатты 41 д Рис.
138, Рнс. !37. чертеже изображен зид кркной для случая а ч. Ь. Кривые для случаев а) Ь и а=-Ь вычертите самостоятельно. Весьма полезно убедиться н у Рис. 139. справедливости полученных графиков путем исследовакия уравнении конхоидьт, 1 О+к У ОВ 1В',уз=хз —. указание.
Из рис. 140 имееи1 — = —, А171=а-(- а — х АЛ/1 А О' + х, АО =а, ОВ' = ВМ,' = х'+ (у — ОВ)', откуда х'+ У* У ОВ = †. Подставляя найденные значения а гу 1 составлекйую выюе пропорцию, после злечентзр- В р ных преобразований приходим к уравнению уа = = хь †.
Вид строфоняы указан на рис. 141, а+х а — х' из которого виден н способ построения кривой. 1 14* ха=уз(2а — х). Указание. Из рис. 142 имеем: Рис. !40. ОР = 3l й+у*, ЕЮ1=ОЕ ВЕ, откуда ЕВл ВЕ= —; ЕО=2а !йф=2а ° —, ОЕ ' 2а 2а )гх'+у' созчз х г'=2лР сов 2~р. Эта кривая изображена на рис. 137. 121. л"''' —. =(у+а)'(Ь* — у'). Укаэаное. Из подобия треугольников ВМгу1 и ВАО а (рис. 138) имеем'.
У = — Так как ОВ=х — ВВ и ВХ = тгЬ' — у', ВМ, ОВ. 1 1= у о то получаем следующее уравнение илп )ГЬ вЂ” у" х — ггЬ' — у' ху =(о+ у) ггЬ1 — у', н окончательно: х'уз=(а+ у)'(Ь* — у'). Способ построения криной (рис. !39) яссп нз ес геометрического определения. Нз у ! 9 260 ОТВЕТЫ Так как ОР ВВ, то — 4а'у'х Т х ту'=- т' 2а )г ха + у" и оконштслыю: г'= — у'(2а — к!. Крнаая изобралш(з на рнс. !43. Пз етого ~ертснсз «. ~ и сиогоб пост!пения кривой.
!9*. г —.— т+2асозф Указинпг. !(ринги г ш, 5 0 за полз.с, з полярную ось сончестим с диаметрам ОО. Из ирю о! ~ тзиого трьу ггшьиика ОВО (рис. 144) ннееч: г = О !1, = =. В 11, - - г(В =(и-!-2а соз ф Следователыш, исконно уравнение есзгк г =-гя+ —;2астф. Криная „(зна на рнс.
113, нз которого ясен у и способ вычерчивания 51 ой кривой. На ~сртсжс нзобр.ьксп случай т < 2и. Кризис для случаев т = 2а и / ~ т ". 2а построизь самос~оягельно. !9. 4пх+ Ят — гт; О, ! гг,ш ~а ось Ох принять лнншо поиграв, а ось Оу ироиссзи через середину отрезка. сосл(н~яюшего венгры окружностей. 19. Гслн за полюс пр(шить вершину прямого угла, а за полярную ось од- ь' рис ! !!. 1'ис. 144.
Рсс. 142. Рис. 143. иу из его сторон,то уравнение геометр ичсского места будет иметь вид гааа я!п 2ф (см. 2а соз ф задачу 2*). 29 Окружность. 2!.г = — —.. 22, а) (х'+ ц' — 2ах)' = соз ф яптф =-т' (х' + г(з); б) (х'+ у')'= 4а'х'у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
