И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 7
Текст из файла (страница 7)
19. Найти точку, находящуюся на рваных расстояниях от осей координат н то (3, 6). 20. Найти точку, находящуюся на расстоянии 1О единиц от оси абсцисс н от точки ( — 5, 2). 21. Прямая линия проходит через точки А(2, 4) и В(5, 1). Найти иа ней точку, агкцнсса которой равна — 3. 22. Расстояние между точками (х, 5) и ( — 2, у) делится в точке (1, 1) пополам. Найти эти точки. 23.
Разделить отрезок между точками (О, 2) и (8, 0) в таком же отпо. шенин, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат. 24. )Тве вершины треугольника даны координатами х, = 3, д, = 7 и х,= — 2, у,=5. Найти третью вершину при условии, чтобы середи1гы проходящих через нес сторон лежали на осях координат 25. Основание треугольника равно а, высота равна Ь и одна из двух других сторон равна Ь. Принимая основание и высоту за оси координат, найти координаты середины третьей стороны 26ь. Определить точку пересечения медиан треугольника, вершины которого суть А (1, 2), В(О, 5), С( — 2, 3).
27. Вершины треугольника суть (5, 0), [3, — 8), (1, — 4). Найти точки„ в которых медианы его делятся на три равные части. упгджнпния 28. Выразить координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин, 29. Показать, ио если системасостонтна и материальных точек А,(хо у,). А,(лм У,), ..., А„(х„, У„), в которых сосредоточены соответственно массы т„шм т„..., ш», то каор»ипаты центра тяжести этой системы определягся формулами х~»г~ ) лт»г»+ ° ° ° +х»Ш» угг»~+у~же+ ° ° .
+и„"~„ гл, +гл»+... +т„' щ,+т,+... +т„ 30. Определить площадь треугольника с вершинами в точках А(0, 1), В (3, 4), С( — 1. — 1). 31. Вычислить площадь четырехугольника с вершинами в точках А ( — 2, — 3), В( — 1, 4), С(3, 3) и 0 (5, — 1). 32. Узнать, лежат лн точки (2, 3), (5, 7), (!1, 15) на одной прямой. 33. Определить величину и направление силы Р, зная, что ее проекции на оси координат равны Р„ = 5, Р, = 12. 34. Найти центр тяжести проволочного треугольника, вершины которого лежат в точках 0(0, О), А (4, О) и В (3, 4). 33. Однородная доска имеет иид прямоугольной трапеции, большее основание которой равно а, меньшее Ь н нысота 6.
Нчйти положение ее центра тяжести (тожциной пренебречь). 36. Найти декартовы координаты точек, полярные координаты которых следующие: А~)г 2, 4 )' В(4, '3 )1 С(4К2, — ); 0(2, — — ~1 Е( — 3,— ), 37. Найти полярные координаты то гек, декартовы координаты которых следующие: А(3, — 2), В( — 1, — 1), С(З, О), В(0, — 4). ГЛАВА 11 ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ ф 1. Составление уравнений заданных линий. В предыдущей главе было показано, что в декартовой системе координат каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой такой паре чисел соответствует определенная точка плоскости.
Теперь установим, что линиям на плоскости соответствуют уравнения с двумя переменными. Эта сввзь между линиями и уравнениями позволит свести изучение геометрических свойств линий к исследованию аналитических свойств соответствующих нм уравнений. В аналитической геометрии нсякун> линию рассматривают как геометрическое место точек, В определении линии как геометрического места точек содержится свойстно, общее всем ее точкам, Так, например, окружность с цен>ром в точке С и радиусом Н можно рассматривать кэк геометрическое место точек плоскости, отстоящих от С на расстоянии 11. Это значит, что для всякой точки М, лежащей на окружности, МС=1с, если же точка М не лежит на окружности, то МС4=>с.
Возьмем на плоскости каку>о-нибудь линн>о, выберем в этой плоскости декартову систему координат и рассмотрим произвольную точку указанной линии, Если зта точка будет перемещаться по данной липин, то ее координаты х и у булут меняться, оставаясь, однако, связанными некоторым условием, характеризующим точки линни. Таким образом, мы получаем некоторое соотношение между х и у, которое будет выполняться только при движении точки по линии и нарушится, если точка сойдет с линии, Следовательно, линии нэ плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными х н у. Такое уравнение между переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворя>от координао>ы ни одной >ночки, не лежащей на ней, называется уравнением данной линии.
Входящие в зто уравнение координаты х и у произвольной точки линни называются текущими координатами. Рассмотрим несколько простейших примеров составления уравнений данных линий. 3 2) ГеометРический смысл уРаанений Пример 1. Найти уравнение прямой, делящей пополам отрезок между точками А(1, 2), В(-3, 4) н перпенднкулярной к нему. Будем рассмагрнвать зту прямую как геометрическое место точек, ранпоудазенных от точек А н В. Пусть М(х, у) — произвольная тоша )казанной прямой.
Равенство АМ=ВМ (1) выражает общее свойство всех. точек атой прямой (еслн же М не будет лежать на данной прямой, то АМ Ф ВМ). 1(ля составления уравнения прямой остается выразить рассгояння АМ н ВМ через коорзняаты точки М н полученные вы. раження подставить в равенство (!). Тогда У(х-1)'+(д-г)*=У(х+3)'+(у-4)з, Это уравнение н является уравнением данной прямой Возводя обе части его в квадрат, после упрощений получим: 2х — у +5=0. П р н мер 2. Составить уравнение окружности радиуса )7. Выберем произвольно осн координат.
Тогда центр С окружности будет нметь некоторые координаты а н Ь. Обозначая через х н у координаты пронзвольвон точки М окружности, выразим аналитически свойство, общее всем точкам М. Из определения окружностн сл дует, что расстояние точки М от центра С окружносгн (рнс. 27) есть величина постоянная, равная радиусу )г, т. е. СМ =)с.
(2) 0 у камн С н М (гл. 1, $5), мы выразим равенство (2) с по- мощью текущих координат точкн М: Рнс. 27. У(х — а)'+ (у - ~'=)с. (2') Возвышая обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравненне окружности в окончательном виде: (х — а)*+ (у — Ь)' = )1 з. (3) В атом уравпеннн постоянные а, Ь, )7 суть соответственно координаты центра н радиус окружности; переменные х н у являются координатами пронзвольной точки окружностн. В часшостн, если начало координат выбрана в центре окружкостн, то а=Ь=О, н уравнение (3) принимает более простой внд: х' + у* = )се. (3') 2 2. Геометрическим смысл уравнений.
Мы видели, что всякая линия, рассматриваемая как геометрическое место ~очек, Определяется уравнением между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение между двумя переменными х н у, вооб~це говоря, Определяет линию как геометрическое место точек, координаты которых х и у ему удовлетворяют. В самом деле, рассмотрим какое-нибудь уравнение между переменнымн х н у. Перенося все его члены в левую часть, прндаднм уравнению внд: то(х, у) = О, (4) где )о означает символ функции двух переменных. Пусть прн любом фиксированном числовом значении х уравнение (4), рассматриваемое ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ (гл. и как уравнение относительно неизвестного у, имеет, например, два действительных корня, Дадим переменному х произвольное числовое значение х = а и найдем из уравнения (4) соответству1ощне значения у.
Для определения у получаем уравнение с одним неизвестным: Р(а, у) = О. (5) Пусть зто уравнение имеет корни, например, у =Ь„ у = Ь,. Отметим на рис. 28 две точки М, и М„ координаты которых (а, Ь,) и (а, Ь,) удовлетворяют данному уравнению (4). У' Дадим теперь переменному х другое л М , числовое значение х= а' к определим соответствующие значения у из уравкения Р'(а', у)=0. (5').
ЕЬ~ Пусть корниэтогоуравпення будуту=д„ 0 ( у=6,. Отметим на рис. 28 две точки х' М, и М„ координаты которых (а', Ь,) и Рнс. 28. (а', Ь,) удовлетворяют данному уравне- нию. Если переменное х мы будем непрерывно изменять от значения а до значения а', то прямая ь1Ч будет перемещаться параллельно самой себе, отправляясь от положения Р(! и приходя в положение Р'гд', причем в любом ее положении иа ней будут две точки, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (4), Таким образом, точки М н М' описывают линюо. Эта линия получается в результате двух движений: с одной стороны, движения прямой ь)Ч парзллельно самой себе (изменение х), а с другой — движения точек М и М' по этой прямой (изменение у). Итак, уравнение (4) между координатами х и у олределнет линию как геометрическое место тех точек плоскости, координаты которых удввлетворнюгл даннолсу уравнению.
д У В Рассмотрим несколько примеров па построение линий, задзнных уравнениями. Пр нме р 1. Построить линию, определяемую уравнением х — у=о. Уоавнение можно переписать в виде: у=х Очевидно, геомгтпичгское место точек, для которых абсинсса равна ордннаге, представляет С собой биссектрису ЯВ ! н П! координагных углов (рнс. 29). Уравнение х — у= О определяет, следо- Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
