И.И. Привалов - Аналитическая геометрия (1109875), страница 5
Текст из файла (страница 5)
15). Ьудем рассматривать этот отрезок Ю т а т Рнс. 14. Рнс. !5. как путь, проходимый движущейся точкой М. Прн движении точки М по отрезку АВ ее проекция т на ось опишет некоторый направленный отрезок ад, называемый геометрической проекцией направленного отрезка АВ на ось, Однако в дальнейшем основную роль будет играть не геометрическая проекция огрезка, а ее величина, называемая проекцией отрезка на ось. Итак, проекцией направленного отрезка на ось называется величина направленного отрезка оси, началом которого является проекция начальной точки проектируемого отрезка, а концом— проекция конечной точки этого отрезка. Заметим, что проекция направленного отрезка является число.н (положительным, отрицательным нс!и равным нулю).
Условимся проекцию направленного отрезка АВ на ось 1 обозначать пр, АВ или, короче, пр АВ. Установим основные положения теории проекций. Проекция направленного отрезка АВ на ось 1 равна произведению длины АВ этого отрезка на косинус угла и между осью проекций и данным отрезком." пр,АВ=АВ сова, (9) Справедливость формулы (9) достаточно доказать в предположении, что ось проекций проходит через начало т!роектируемого отрезка, действительно, проекция отрезка АВ не изменится, если ось проекций перенести параллельно саьюй себе.
При зточ угол осповныз положения тяогни пгозкций между осью проекций и направленным о~резком также сохраннг прежнее значение. Пусть ось проекций 1 проходит через начало проектируемого отрезка АВ (рис. 16). Йля доказательства равенства (9) построим тригонометрическую окружность с центром в точке А радиусом, равным длине отрезка АВ, и буден считать, что ее начальный диаметр направлен по оси 1 (рис.
16). По определению косинуса имеем: вел АЬ соз и АЬ Так как вел АЬ=пр,АВ, то прг АВ соза= —, АВ откуда пр, АВ=АВ сов а. Рнс. 16. Равенство (9) доказано. Предположим теперь, что напрзвленный отрезок АВ лежит ин некоторой оси и; пусть <р — угол между ~кью проекций т и осью и. Г!роекция направленного отрезка АВ на ось 1 равна произведению величины етого отрезка на косинус угла гр льелгду осью проекций 1 и осью и, на которой дан отрезок: пр,АВ= вел АВ сов ф. (10) Заметим, что в этой формуле проекция выражена через величину направленного отрезка, расположенного на некоторой оси, тогда как в формуле (9) используется длина Рис. !7.
отрезка. Йокажел| равенство (1О). В том случае, когда направление отрезка АВ совпадает с положительным направлением оси и (рис. 1у), равенство (1О) непосредсгвенио следует нз уже доказанного равенства (9). Действительно, в рассматриваемом случае угол гр является в то же время углом а между осью проекций и отрезком; следовательно, п р, А В = АВ соз а = АВ соз ф.
Учитывая, кроме того, что в данном случае вел АВ=АВ, получим: и р, АВ = вел АВ соз гр. МЕТОД КООРДИНЛТ [гл. г Если же направление отрезка ЛВ противоположно направлению оси и [рис. 18), то угол а между осью проскпий и отрезком ЛВ равен ~р + и [действительно, если повернуть ось 1 сначала на угол гр, а затем в дополнительно на угол п, то ее цоложн! 1 тельное направление совпадет с отрнца[ тельным направлением оси и, т. е. с нар 1 правлением отрезка АВ). Следовательно, а Рнс.
1З. пр,ЛВ= АВ соз и = =АВсоз [гр+и) = — АВ сов <р. Учитывая, что в рассматриваемом случае вел А — — — АВ, получим: пр, АВ=вел АВ сов гр. Таким образом, равенство [10) доказано полностью. Возьмем теперь произвольную ломаную линию АВСОЕЕ [рис. 19). Будем рассматривать эту ломаную как траекторию точки М, описы вающей последовательно все звенья ломаной от начальной ее точки А В до конечной Р. При этом на ломая ' г" пой установится направление об- А ,' Ю хода, а звенья ее можно будет рас- ~ [ 1 ' Е сматривать как направленные отрезки. Такую ломаную будем называть направленной ломаной ').
Направленную ломаную, соединяющую последовательно точки А, В, С, сг, Е и Г, обозначим через ЛВШЕГ. Прн перемещении точки М по направленной ломаной АВСВЕЕ проекция т этой точки нв ось переместится по оси из точки ив проекции точки А — в точку 1' — проекцию точки Р. Направленный отрезок ау" оси проекций называется геометрической проекцией на- правленной ломаной АВСсЗЕЕ на ось.
Величину геометрической проекции направленной ломаной назо- вем проекцией направленной лоианой. Таким образом, проекцией направленной ломаной на ось называется величина направленного отрезка оси, началом которого является проекция начальной точки проектируемой лолсаноа, а концом — проекция ~онечной точки атой ломаной. Заьсетии, что проекция направленной ломаной на ось является числом. а т Ь й с г е Рнс. 19. ') Направленную ломаную а дальнейшем мы будем иногда называть просто ломаной, опуская слово чнаправленнаяв, если это не может повести к недоразумению.
5 91 птовкции нлпглвлгпиого отгезкл иа оси коогдиилт 27 Легко показать, что проекция направленной ломаной равна сумлсе проекций ее звеньев. Действительно, проектируя па ось каждое звено ломаной АВСОЕЕ (ряс, 19), мы получим: вел аГ= вел ай+ вел йс+ вел со+ вел ае+ вел ег (гл, 1, 9 1) нли, сслн обозначить проекцию ломаной через пр АВСОЕЕ, пр АВСОЕЕ=пр Ай+ пр ВС+пр СО+ пр ВЕ+прЕЕ.
(11) Далее ясно, что проекция направленной ломаной не зависаю ою ее формы, а зависилг лишь от положения ее начальной и конечной точек; поэтому проекции двух направленных ломаных с общими началом и концом равны между собой (рис. 20). я„ \ 4 1 Г Рнс. 20. Ряс. 21. 9 9. Проекции направленного отрезка на оси координат. В этом параграфе прежде всего мы дадим формулы, выражающяс проекции направленного отрезка иа коор- У динатиые оси, Пусть известны длина И направлен- йг $ ного отрезка АВ и угол а между осью 1 Ох и этим отрезкам (рис. 22). А оь Проекцию отрезка АВ на ось Ох получим непосредственно по формуле (9) $8: пр„АВ= с( соя и, Чтобы выразить й р 3' проекцию отрезка АВ на ось Оу, замеРнс. 22 тим, что угол между осью Оу и оти резком АВ равен а — — (действительно, если повернуть ось Оу Назовеы замыкающим оюрезко и ломаной линни направленный отрезок, началом которого является начальная точка рассматриваемой ломаной, а концом — конечная ее точка, Очевидно, проекция направленной лолщной ровна проекции ее замыкающего вырезка (рис.
21). Если ломапая линия замкнулга, т. е. ее начало и конец совпадают, то ее проекция равна нулю. (гл. в матов коогчинат спа валз на угол — — а затем еше на угол а, то ее положите.чь- Л 2 ' ное направление совпадет с направлением отрезка АВ), Тогда I пч пр АВ=в( соз в(а — — в=вв'авпа. Таким образом 2,) пр А В= в( соз а, ( (12) пр АВ=в1звпа. ( Предположим теперь, что направленный отрезок АВ расположен на некоторой оси и.
В таком случае проекции этого отрезка на оси координат можно выразить также через его величину в угол вр между осью Ох и осью и. По формуле (1О) будем нметьв пр АВ=велАВсоавр, (13) пр АВ=велАВшпвр У пр„АВ.=х,— х,, ) пр АВ=-у,— у,. ) (14) Заметим, ччо, проектируя на координатные оси направленный отрезок, идущий из начала координат в произвольную точку М(х, у) плоскости, по формулам (14) получимв пр„ОМ= х, прт ОМ=у.
Таким образом, координаты х, у ~очки М можно рассматривать как вроекции направленного отрезка ОМ на оси координат В да,чьпейшем нам понадобится формула, выражаювцая тангенс угла между осью Ох н направленным отрезком АВ через координаты его начала и конца. Эту формулу легко получить, используя приведенные выше выражения проекций отрезка АВ на оси координат. так как угол между осью Оу и осью и равен вр — — и, следова( Я и 'в тельно, соа (вр — — ) = ввп вр) .
Если же направленный отрезок АВ задан координатами его на- чала А(х„у,) и конца В(х„у,), то проекции отрезка на оси ко- ординат можно выразить через координаты ограничивающих его точек. Проекввия отрезка АВ на ось Ох равна величине направленного отрезка Р,Р, оси Ох (рис, 22). Так как вел Р,Р,=х,— х, (гл. 1, ч 3), то пр„АВ=х,— х,.
Совершенно так же пр АВ=у,— у,. Таким образом, 5 10! ПЛОН1АЛЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Сравнивая между собой формулы (12) н (14), получим: гт соа а = х, — х„ даша=у,— у„ (15) откуда 1па= —— У1 х,— х 1 (16) Формула (16) определяет тангенс угла между осью Ох и направленным отрезком АВ. Если изменить направление отрезка на прямо противоположное, то угол между осью Ох и отрезком изменится на и, но тангенс угла, очевидно, сохранит прежнее значение и будет, следовательно, определяться той же формулой (16) ф 10. Плошадь треугольника. Даны вершины треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
