В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 21
Текст из файла (страница 21)
x = R cos t, y = R sin t, z = ht — винтовая линия. Пусть0 t 2π (один виток), тогда2πl=R2+h2 dt= 2 π R 2 + h2 .0§ 2. Криволинейные интегралы первого родаПусть L — простая спрямляемая кривая на плоскости, заданная параметрически:x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β ,2. Криволинейные интегралы первого рода145Рис. 13.7.(то есть ϕ(t) и ψ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β], иразличным значениям t из сегмента [α, β] соответствуют различные точки M (ϕ(t), ψ(t)); если A (ϕ(α), ψ(α)) = B (ϕ(β), ψ(β)),то кривая — замкнутая.) Пусть на кривой L задана ограниченнаяфункция z = f (x, y).
Разобьем сегмент [α, β] на n частей точкамиα = t0 < t1 < ... < tn = β . При этом кривая L разобьется на nчастей точками A = M0 , M1 , ..., Mn = B (рис. 13.7). Точка Miимеет координаты (ϕ(ti ), ψ(ti )). Обозначим через Δli длину части Mi−1 Mi кривой и положим Δl = max Δli . Выберем на каж1inдой дуге Mi−1 Mi какую-нибудь точку Ki (ξi , ηi ) (см. рис. 13.7) исоставим интегральную суммуI (Mi , Ki ) =nf (ξi , ηi )Δli .i=1Предел интегральных сумм I (Mi , Ki ) при Δl → 0 (если он существует) называется криволинейным интегралом первого родаот функции f (x, y) по кривой L и обозначается так:f (x, y)dlилиf (x, y)dl.LИз этого определения следует, чтоABf (x, y)dl не зависит от того,Lв каком направлении пробегается кривая L, то естьf (x, y)dl =f (x, y)dl.ABЕсли f (x, y) ≡ 1, тоBAdl = l — длина кривой L.Lплотность вФизический пример: если ρ(x, y) — линейнаяточке (x, y) материальной кривой L, то m = ρ(x, y)dl — массакривой L.L146Гл.
13. Криволинейные интегралыВычисление криволинейных интегралов первого рода спомощью определенных интегралов.Теорема 2. Пусть1) простая кривая L задана параметрически уравнениямиx = ϕ(t), y = ψ(t), α t β ,и пусть функции ϕ(t) и ψ(t) имеют на сегменте [α, β] непрерывные производные ϕ (t) и ψ (t), одновременно не равные нулю,22то есть ϕ (t) + ψ (t) = 0 (в таком случае кривая L называетсягладкой);кривой L.2) функция f (x, y) непрерывна вдольТогда криволинейный интеграл f (x, y)dl существует, и спраLведливо равенствоβf (x, y)dl = f (ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.αLti(13.7)Доказательство.
Разобьем сегмент [α, β] на n частичных сегментов точками α = t0 < t1 << ... < tn = β. При этом криваяL разобьется на n частей точками A = M0 , M1 , ..., Mn = B , гдеMi = (ϕ(ti ), ψ(ti )) (рис. 13.8).Введем обозначения:Δti = ti − ti−1 , Δt = max Δti ,1inРис. 13.8.Δli =ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt — длина i-ой части кривой,ti−1Δl = max Δli .1inОтметим, что Δl → 0 при Δt → 0 (это очевидно), и обратно,Δt → 0 при Δl → 0 (это следует из того, чтоϕ 2 (t) + ψ 2 (t) min[α,β]ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) = m > 0,2.
Криволинейные интегралы первого рода147и поэтому Δli m · Δti ; следовательно, Δti ΔliΔlи Δt ).mmНа каждой дуге Mi−1 Mi возьмем произвольным образом точкуKi (ϕ(τi ), ψ(τi )) (рис. 13.9) и составим интегральную суммуI(Mi , Ki ) =nРис. 13.9.f(ϕ(τi ), ψ(τi ))Δli =i=1=tin i=1 tf (ϕ(τi ), ψ(τi ))ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.i−1Требуется доказать, что lim I (Mi , Ki ) при Δl → 0 (или, что то жесамое, при Δt → 0) существует и равен определенному интегралуβI = f (ϕ(t), ψ(t))ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.αПредставим интеграл I в видеI=tin i=1 tf (ϕ(t), ψ(t))ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dti−1и рассмотрим разностьI (Mi , Ki ) − I =tin 2=ϕ (t) + ψ 2 (t) dt.(13.8)f (ϕ(τi ), ψ(τi )) − f (ϕ(t), ψ(t))i=1 ti−1Нам нужно доказать, чтоlim (I (Mi , Ki ) − I) = 0, то естьΔt→0∀ε > 0 ∃δ > 0, такое, что для любого разбиения сегмента [α, β],у которого Δt < δ , и любого выбора точек Ki выполняетсянеравенство|I (Mi , Ki ) − I| < ε.Функция f (ϕ(t), ψ(t)) непрерывна на сегменте [α, β] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом сегменте.
Поэтому148Гл. 13. Криволинейные интегралы∀ε > 0 ∃δ > 0, такое, что если Δt < δ , то ∀τi и t ∈ [ti−1 , ti ]выполняется неравенствоεl|f (ϕ(τi ), ψ(τi )) − f (ϕ(t), ψ(t))| < ,где l =β ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt — длина кривой L. Из (13.8) полу-αчаем, что если Δt < δ , тоε|I (Mi , Ki ) − I| <lni=1 tti ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt =i−1εε=Δli = · l = ε.llni=1Итак, если Δt < δ , то |I (Mi , Ki ) − I| < ε, что и требовалосьдоказать.Замечания.1. Выражение dl = ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt представляет собой дифt ференциал функции l(t) =ϕ 2 (s) + ψ 2 (s) ds, которая назыαвается переменной дугой и при каждом t ∈ [α, β] равна длинекривой AM , где A(ϕ(α)), ψ(α)), M (ϕ(t)), ψ(t)).Если кривая L задана уравнением y = y(x), a x b (вдекартовых координатах), причем функция y(x) имеет непрерывную производную y (x) на сегменте [a, b], тоdl = 1 + y 2 (x) dx,bf (x, y)dl = f (x, y(x)) 1 + y 2 (x) dx.aLЕсли кривая L задана в полярных координатах уравнениемr = r(ϕ), ϕ1 ϕ ϕ2 , причем функция r(ϕ) имеет непрерывнуюпроизводную r (ϕ), то dl =ϕ2f (x, y)dl =Lϕ1r2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ иf r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕr2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ.2.
Криволинейные интегралы первого рода1492. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кривых, называется кусочно гладкой (рис. 13.10). Если кривая L —кусочно гладкая, а функция f (x, y) — кусочРис. 13.10.но непрерывная вдоль кривой L, то формула(13.7) остается в силе.3. Криволинейные интегралы первого рода обладают такими жесвойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, оценка по модулю, формула среднего значения).4. Криволинейные интегралы первого рода в пространстве вводятся аналогично тому, как это сделано на плоскости.
ЕслиL = {(x, y , z) : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β} —кусочно гладкая кривая в пространстве, тоβf (x, y , z)dl = f (ϕ(t), ψ(t), χ(t))ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + χ 2 (t) dt.αLПримеры.xdl, где кривая L задана уравнением1. Вычислить интегралy=x2 ,L0 x 1.1 √3 1112 22xdl = x 1 + 4x dx =1 + 4x =5 5 −1 .120Lxyxydl, где L — дугаL2эллипса 2 + 2 =1, x 0, y 0 (рис. 13.11).abЗапишем уравнения L в параметрическом виπде: x = a cos t, y = b sin t, 0 t . Тогда2π2xydl =L122.
Вычислить интеграл200Рис. 13.11.ab cos t sin t a2 sin2 t + b2 cos2 t dt =150Гл. 13. Криволинейные интегралыπab=22sin 2t0b2 − a2a2 + b2+cos 2t dt =22ab(a3 − b3 )= (проведите вычисления) =.3(a2 − b2 )§ 3. Криволинейные интегралы второго родаПусть L : x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β — простая незамкнутая спрямляемая кривая, на которой заданы две функции: P (x, y)и Q(x, y).Разобьем сегмент [α, β] наn частичных сегментов точками α = t0 < t1 < ... < tn == β . Кривая L разобьется приэтом на n частей точкамиA = M0 , M1 , ..., Mn = B в направлении от A к B (рис.13.12).
Обозначим координатыточки Mi через (xi , yi ), гдеxi = ϕ(ti ), yi = ψ(ti ), и положимРис. 13.12.Δxi = xi − xi−1 , Δyi = yi − yi−1 ,Δli — длина части Mi−1 Mi кривой, Δl = max Δli . На каждой1inдуге Mi−1 Mi возьмем произвольным образом точку Ki (ξi , ηi ) исоставим две интегральные суммы следующего вида:I1 (Mi , Ki ) =nP (ξi , ηi )Δxi , I2 (Mi , Ki ) =i=1nQ(ξi , ηi )Δyi .i=1Если существует lim Ik (Mi , Ki ) = Ik (k = 1, 2), то он называΔl→0ется криволинейным интегралом второго рода и обозначаетсятак:I1 =P (x, y)dx, I2 =Q(x, y)dy.ABСумма I = I1 + I2 =ABP (x, y)dx + Q(x, y)dy называется общимABкриволинейным интегралом второго рода.3.
Криволинейные интегралы второго рода151Из определения следует, что криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении пробегается кривая L,то есть от того, какая из точек Aи B считается начальной, а какаяконечной. Если двигаться от B кA, то все Δxi и Δyi в интегральных суммах изменят знак и, слеРис. 13.13.довательно, интегралы также изменят знак, то естьP dx = − P dx, Qdy = − Qdy.ABBAABBAФизический пример. Пусть материальная точка движется по кривой AB из точки A в точку B под действием силыF (x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j (рис. 13.13).
Тогда = P dx + Qdy — работа силы при перемещении точкиF · dl = dx · i + dy · j , а =на вектор dlP dx + Qdy —F · dlABABработа силы при перемещении точки по кривой AB из точкиA в точку B .Вычисление криволинейных интегралов второго рода с помощью определенных интегралов.Теорема 3. Пусть1) гладкая незамкнутая кривая AB задана уравнениями x = ϕ(t),y = ψ(t), α t β ;2) функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны вдоль кривой AB .Тогда криволинейные интегралы второго рода от функцийP (x, y) и Q(x, y) существуют, и справедливы равенстваABABβP (x, y)dx = P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ (t)dt,αβ(13.9)Q(x, y)dy = Q (ϕ(t), ψ(t)) ψ (t)dt.αДоказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.152Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
