В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Открытые круг и прямоугольник — односвязные области.Кольцо, круг с выколотой точкой (рис. 13.24) не являются односвязными областями.Теорема 5. I. Пусть функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны вобласти G. Тогда следующие три утверждения эквивалентны (тоесть из каждого из них следуют два другие):1. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L ⊂ G выполняется равенствоP dx + Qdy = 0.L2. Для любых двух фиксированных точек A и B ∈ G криволиней-P dx + Qdy не зависит от пути интегрированияный интегралAB(то есть от кривой, соединяющей точки A и B и лежащей вобласти G).3.
Выражение P dx + Qdy является полным дифференциалом, тоесть существует функция u(x, y) = u(M ), такая, чтоdu(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy.При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB ⊂ G выполняется равенствоP dx + Qdy = u(B) − u(A).(13.17)ABII. Если, кроме того, область G — односвязная, а функции P и∂P∂QQ имеют в области G непрерывные производныеи, токаждое из условий 1-3 эквивалентно условию∂P∂Q4.=в области G.∂y∂xДоказательство проведем по схеме:I. 1 → 2 → 3 → 1;6 В.Ф. БутузовII. 3 → 4 → 1.∂y∂x162Гл. 13. Криволинейные интегралыI.
а) 1 → 2. Пусть выполнено условие 1. Рассмотрим две произвольные точки A и B ∈ Gи две произвольные кривые, соединяющиеэти точки: ACB и ADB (рис. 13.25). В силуусловия 1P dx + Qdy = 0, то естьРис. 13.25.ACBDAP dx + Qdy = 0,P dx + Qdy +ACBBDAоткудаP dx + Qdy = −ACBP dx + Qdy =BDAP dx + Qdy.ADBТаким образом, выполнено условие 2.б) 2 → 3. Пусть M0 (x0 , y0 ) — фиксированная точка области G,а M (x, y) — произвольная точка. В силу условия 2 интегралP dx + Qdy не зависит от выбора кривой M0 M , а зависитM0 Mтолько от точки M (x, y), то есть является функцией от x и y .Обозначим эту функцию u(x, y):u(x, y) =P dx + Qdy.M0 MДокажем, что∂u= P (x, y)∂xи∂u= Q(x, y).∂yОтсюда, так как P и Q — непрерывные функции, последует, чтоu(x, y) — дифференцируемая функция, причемdu =∂u∂udx + dy = P dx + Qdy ,∂x∂yто есть выражение P dx + Qdy является полным дифференциалом.5.
Условия независимости интеграла второго рода от пути ...163Зафиксируем точку M (x, y) и дадим приращение Δx переменной x (рис. 13.26). Функция u(x, y) получит частное приращениеΔx u = u(x + Δx, y) − u(x, y) =P dx + Qdy − P dx + Qdy =M0 M1M0 Mx+Δx=P (x, y)dx = P (ξ , y)Δx,P dx + Qdy =xM M1где ξ ∈ [x, x + Δx] (последнее равенство получено с помощьюформулы среднего значения). Отсюда следует, чтоΔx u= P (ξ , y) → P (x, y) при Δx → 0,Δxто есть функция u(x, y) имеетв точке M (x, y) частную производную по переменной x и∂u= P (x, y).
Аналогично до∂x∂uказывается, что= Q(x, y).∂yДокажем, что верна формула (13.17):P dx + Qdy =P dx + Qdy+AB+Рис. 13.26.AM0P dx + Qdy =M0 BP dx + Qdy −M0 BP dx + Qdy = u(B) − u(A).M0 Aв) 3 → 1. Пусть выполнено условие 3, и,следовательно, верна формула (13.17). Возьмем произвольный замкнутый контур L ⊂ G(рис.
13.27, A = B ). По формуле (13.17) получаем:P dx + Qdy = u(B) − u(A) = 0,Рис. 13.27.Lто есть выполнено условие 1.II. г) 3 → 4. Пусть выполнено условие 3, то есть существует6*164Гл. 13. Криволинейные интегралыфункция u(x, y), такая, что∂2u∂2u∂P∂Q=и=.∂y∂x∂y∂x∂y∂x∂2u∂2u,=функции, то∂y∂x∂x∂y∂u∂u= P (x, y) и= Q(x, y). Тогда∂x∂y∂P∂QТак каки— непрерывные∂y∂x∂P∂Qто есть, и, значит, выпол=∂y∂xнено условие 4.Замечание. Односвязность области G здесь не использовалась.д) 4 → 1.
Пусть выполнено условие 4, то∂P∂Q=естьв области G, и G — од∂y∂xносвязная область. Возьмем произвольныйзамкнутый контур L ⊂ G (рис. 13.28). Всилу односвязности области G область D ,ограниченная контуром L, целиком принадлежит области G. По формуле ГринаРис. 13.28. ∂Q∂Pdxdy = 0,P dx + Qdy =−∂xL∂yDто есть выполнено условие 1.Теорема 5 доказана.Замечание. Аналогичная теорема имеет место для криволинейных интегралов второго рода в пространстве, то есть для инP dx + Qdy + Rdz , где P , Q, R — функции оттегралов видаABx, y , z .
В частности, условие 3 принимает вид: существует функция u(x, y , z), такая, что du = P dx + Qdy + Rdz , а условие 4содержит теперь три равенства:∂P∂Q ∂Q∂R ∂R∂P=,=,=.∂y∂x ∂z∂y ∂x∂zУтверждения 1 −→ 2 −→ 3 −→ 1 и 3 −→ 4 доказываются так же,как и в теореме 5, а для доказательства утверждения 4 −→ 1нужна формула Стокса. О ней речь пойдет в следующей главе.Примеры.
1) Вернемся к примеру из §3:B(1,1)I=A(0,0)2xydx + x2 dy.5. Условия независимости интеграла второго рода от пути ...165Так как 2xydx + x2 dy = du, где u = x2 y , то интеграл I не зависитот пути интегрирования: I = u(1, 1) − u(0, 0) = 1 − 0 = 1.2) Если область G не является односвязной, то из условия 4может не следовать условие 1. Приведем пример.yxЕсли P = − 2,Q=, то222x +yx +y22∂P∂Qy −x== 2, то есть вы∂y∂x(x + y 2 )2полнено условие 4.
При этом P ,∂P∂QQ,,определены и непре∂y∂xрывны всюду, кроме точки (0, 0).Рассмотрим область G с выколотой точкой (0, 0). Она не является односвязной. Возьмем окружностьL : x = R cos t, y = R sin t, 0 t 2π(рис. 13.29). Так какРис. 13.29.2πP dx + Qdy =2π0Ldt = 2π = 0,[− sin t(− sin t)dt + cos t cos tdt] =0то условие 1 не выполнено.3) ВычислитьABxdx + ydy, где AB —22x +yкривая, расположенная в кольце междуконцентрическими окружностями радиусов a и b с центром в начале координат(рис. 13.30).В данном примереP (x, y) = xx2 + y 2, Q(x, y) = yx2 + y 2.Рис. 13.30.Проверим, выполнено ли условие 4 теоремы 5:− 3∂P∂x1 == − x x2 + y 2 2 · 2 y = −∂y∂y2x2 + y 2∂Q∂=∂x∂xyx2 + y 2= −xyx2 + y 232xy 232 2x +y, x2 + y 2 = 0.,166Гл.
13. Криволинейные интегралы∂P∂QИтак,=при x2 + y 2 = 0, то есть условие 4 теоремы 5∂y∂xвыполнено в любой односвязной области, не содержащей началакоординат, и, следовательно, в любой такой области существуетфункция u(x, y), такая, что∂u∂u= P (x, y),= Q(x, y).∂x∂yКак найти u(x, y)? В данномпримереее нетрудно «угадать»:u = x2 + y 2 . Поэтому I = u(B) −− u(A) = b − a. Но можно найти u(x, y) и без угадывания (см.рис. 13.31):Рис.
13.31.xu(x, y) =P (x, y0 )dx +P dx + Qdy =x0ACBx=x0yxQ(x, y)dy =y0yydx + dy + C =x2 + y 2x2 + y02y0y +C ==x0y0222= x2 + y0 − x0 + y0 + x2 + y 2 − x2 + y02 + C == x2 + y 2 − x20 + y02 + C.Если взять C = x20 + y02 , то u = x2 + y 2 .4) Физический пример. Пусть в области G задано векторное→−поле, то есть в каждой точке M области G задан вектор F (M ).→−Если F (M ) — вектор силы, то говорят о силовом векторномполе.Примеры силовых векторных полей: поле тяготения точечной→−γm →массы F (M ) = − 3 −r , электростатическое поле точечного заr→−ke →ряда E (M ) = 3 −r (см.
§ 6 главы 9).rx22x + y0 + x2 + y 25. Условия независимости интеграла второго рода от пути ...167Векторное поле называется потенциальным, если существу→−ет такая функция u(M ), что F (M ) = grad u(M ) (понятие потенциального поля уже упоминалось ранее — в главе 9). Функция→−u(M ) называется потенциалом векторного поля F (M ). Пусть→−→−→−→−F (M ) = P (M ) · i + Q(M ) · j + R(M ) · k — потенциальноесиловое поле в пространстве. Тогда→−→→ ∂u −→ ∂u −∂u −F (M ) = grad u(M ) =· i +· j +· k,∂x∂y∂zи, следовательно,P =∂u∂u∂u, Q=, R=.∂x∂y∂z∂u∂u∂uПоэтому P dx + Qdy + Rdz =dx + dy + dz = du — пол∂x∂y∂zный дифференциал.Криволинейный интеграл →→ −−F · dlP dx + Qdy + Rdz =ABAB→−есть работа силового поля F (M ) при перемещении материальнойточки по кривой AB из точки A в точку B .
Так как P dx + Qdy ++ Rdz = du — полный дифференциал, то по теореме 5P dx + Qdy + Rdz = u(B) − u(A),ABто есть работа потенциального силового поля не зависит от пути,по которому материальная точка перемещается из точки A вточку B , а зависит лишь от начальной и конечной точек A и B :она равна разности потенциалов в точках B и A.→−γm →В частности, если F (M ) = − 3 −r — поле тяготения точечr→−mной массы m, то F = grad u(M ), где u(M ) = γ — ньютоновrский потенциал, и для работы этого силового поля получаемвыражение →→ −−11F · dl = γm−.ABrBrAЗдесь rM — расстояние от точки M до точки, в которой находится масса m.Г л а в а 14ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1. Площадь поверхностиВ отличие от кривой, длина которой определялась как пределдлин вписанных в нее ломаных, площадь поверхности нельзяопределить как предел площадей вписанных в поверхность многогранников. Подтверждением этому служит известный примерШварца (см. [1]).Пусть поверхность P задана уравнениемz = f (x, y), (x, y) ∈ G,Рис.
14.1.и пусть функция f (x, y) дифференцируема в области G. Тогда вкаждой точке поверхности существуют касательная плоскость инормаль.Разобьем поверхность P с помощью кусочно-гладких кривыхnна n частей: P =Pi . Проекциюi=1Pi на плоскость Oxy обозначим Gi (рис. 14.1): G =n2i=1Gi .На каждой части Pi возьмем произвольную точкуMi (xi , yi , zi ) (zi = f (xi , yi )) и проведем через нее касательнуюплоскость к поверхности P . Пусть Si — площадь той частикасательной плоскости, проекцией которой на плоскость Oxyявляется область Gi .Составим суммуS(Pi , Mi ) =ni=1Si .1.
Площадь поверхности169Пусть di — диаметр Pi , d = max di .1inОпределение. Число S называется пределом сумм S(Pi , Mi )при d → 0, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что для любого разбиенияповерхности P , у которого d < δ , и для любого выбора точек Miвыполняется неравенство|S(Pi , Mi ) − S| < ε.Если существует lim S(Pi , Mi ) = S , то число S называетсяd→0площадью поверхности P , а сама поверхность P называетсяквадрируемой.Теорема 1. Пусть поверхность P задана уравнениемz = f (x, y), (x, y) ∈ G,где G — ограниченная замкнутая область, и пусть функцияf (x, y) имеет в области G непрерывные частные производныеfx (x, y) и fy (x, y) (такую поверхность назовем гладкой).Тогда поверхность P квадрируема и ее площадь выражаетсяформулой S=1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) dxdy.(14.1)GДоказательство.
Разобьем поверхность P кусочно-гладкими криnPi . При этом область G разобьется навыми на n частей: P =i=1n частей Gi (i = 1, 2, ..., n), где Gi — проекция Pi на плоскостьOxy .На каждой части Pi возьмем произвольную точкуMi (xi , yi , zi ), где zi = f (xi , yi ), и проведем через точку Miкасательную плоскость к поверхности P . Уравнение касательнойплоскости имеет видz − zi = fx (xi , yi )(x − xi ) + fy (xi , yi )(y − yi ).Вектор ni = {−fx (xi , yi ), −fy (xi , yi ), 1} является вектором нормали к поверхности P в точке Mi . Обозначим через γi угол междувектором ni и осью Oz (рис.
14.2). Тогдаcos γi = 1+1fx2 (xi , yi )+fy2 (xi , yi ).170Гл. 14. Поверхностные интегралыПусть Si — площадь той части касательной плоскости, которая проектируется на частичную область Gi . Воспользуемся тем, что площадь S(Gi ) областиGi и площадь Si связаны равенствомS(Gi ) = Si · cos γi ,откуда следует, чтоРис. 14.2.Si =1 + fx2 (xi , yi ) + fy2 (xi , yi ) · S(Gi ).Суммируя величины Si по i от 1 до n, получаем:nSi = S(Pi , Mi ) =i=1n 1 + fx2 (xi , yi ) + fy2 (xi , yi ) · S(Gi ).i=1(14.2)По определению площадь поверхности P — это предел суммS(Pi , Mi ) при d → 0, где d = max di , di — диаметр Pi .1inПравая часть в равенстве (14.2) является интегральной суммой для двойного интеграла по области G от непрерывной функции1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) .При d → 0 максимальный диаметр областей Gi такжестремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
