В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда, перейдя в равенстве (12.7) к пределу при d → 0 (d — максимальный диаметрgij ), получим равенство (12.4): D(x, y) dudv.f (x, y)dxdy =f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) D(u, v) Gg4. Замена переменных в двойном интеграле125Рис. 12.18.Замечания.1. Равенства (12.3) можно рассматривать как формулы, задающие отображение области g на плоскости (u, v) на областьG на плоскости (x, y) (рис. 12.18).Область g — прообраз области G, область G — образобласти g при отображении (12.3).2. При f (x, y) = 1 из формулы (12.4) следует: ,y)D(x dudvdxdy = P (G) =gGD(u, v)— формула площади области G в криволинейных координатах. Произведение dxdy можно назвать элементом площади в декартовых прямоугольных координатах: ds = dxdy , D(x, y) dudv — элемент площади в криволинейа ds = D(u, v)ных координатах.Рис.
12.19. D(x, y) : модуль якобиГеометрический смысл якобиана D(u, v) ана — коэффициент растяжения площади при отображении(12.3) (рис. 12.19).126Гл. 12. Кратные интегралы3. Если условия I или III нарушаются на множестве точекплощади нуль (например, в конечном числе точек или кривых), то формула (12.4) остается в силе.4. Если область g — прямоугольник, а ϕ и ψ — линейныефункции u и v : ϕ = a11 u + a12 v + b1 , ψ = a21 u + a22 v + b2 ,то проведенный вывод формулы (12.4) становится строгим(все приближенные равенства становятся точными).Примеры.1.
Полярные координаты.Формулы, связывающие декартовы прямоугольные координаты (x, y) и полярные координаты (r, ϕ):x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (r 0, 0 ϕ 2π)Рис. 12.20.(12.8)Рис. 12.21.Пара чисел (r0 , ϕ0 ) — полярные координаты точки M0(рис. 12.20). С другой стороны, равенства (12.8) задаютотображение заштрихованной полуполосы на плоскости (r, ϕ)(рис. 12.21) на всю плоскость (x, y).
cos ϕ −r sin ϕ D(x, y)=r.= sin ϕ r cos ϕ D(r, ϕ)Якобиан равен нулю на отрезке [r = 0, 0 ϕ 2π] — множестветочек площади нуль, поэтому формулу (12.4) можно применять;ds = rdrdϕ — элемент площадив полярных координатах. 22. Вычислить I =x + 2y 2 dxdy , гдеGG = (x, y) : a2 x2 + y 2 b2 — кольцо (рис. 12.22).Замена переменных: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ; (r, ϕ) ∈ g == {(r, ϕ) : a r b, 0 ϕ 2π} — прямоугольник (рис. 12.23).4.
Замена переменных в двойном интегралеРис. 12.22.I=Рис. 12.23. 2r cos2 ϕ + 2r2 sin2 ϕ rdrdϕ =gb= dr · ra12732π 1 + cos 2ϕ021 − cos 2ϕ3π 4b − a4 .dϕ =+2243. Площадь криволинейного сектора.Рис. 12.24.Рис. 12.25.Область G на плоскости (x, y) — криволинейный сектор(рис. 12.24). Ее прообраз на плоскости (r, ϕ) — криволинейная128Гл. 12. Кратные интегралытрапеция g (рис. 12.25).P (G) =dxdy =G(делаем замену переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ)r(ϕ)ϕϕϕr(ϕ)222r2 1=rdrdϕ = dϕrdr = dϕ · =r2 (ϕ)dϕ.gϕ102ϕ120ϕ14. Найти площадь фигуры, ограниченной кривойx2y2+ 2a2b2=xy(a > 0, b > 0).abdxdy.P (G) =GЗамена переменных:Рис.
12.26.x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ(обобщенные полярные координаты).Уравнение кривой в новых координатах: r4 = r2 cos ϕ sin ϕ,√π3π, . 12.26).откуда r = cos ϕ sin ϕ (0 ϕ , π ϕ D(x, y)Так как= abr, тоD(r, ϕ)√π/2P (G) = 22π/2cos ϕ sin ϕdϕ02abrdr = ab0cos ϕ sin ϕdϕ =0ab.2§ 5. Тройные интегралыТройные (и также n-кратные) интегралы вводятся аналогично двойным интегралам. Понятия кубируемости и объематела (области) в трехмерном пространстве вводятся аналогичнопонятию площади плоской фигуры с использованием множестввсевозможных вписанных и описанных для данного тела многогранников.5.
Тройные интегралы129Пусть в кубируемой области T ⊂ R3 задана ограниченнаяфункция u = f (x, y , z) = f (M ). Разобьем область T на n кубируемых частей без общих внутренних точек у любых двух частей:nT =Ti , в каждой части Ti возьмем произвольным образомi=1точку Mi (ξi , ηi , ζi ) и составим интегральную суммуI(Ti , Mi ) =nf (ξi , ηi , ζi ) · V (Ti ),i=1где V (Ti ) — объем Ti . Пусть di — диаметр Ti , d = max di .1inПредел интегральных сумм при d → 0 называется тройныминтегралом от функции f (x, y , z) по области T и обозначаетсятак:f (x, y , z)dxdydz илиf (M )dV.TTДля тройных интегралов имеют место теоремы, аналогичныетеоремам3 – 6 для двойных интегралов.
Если f (x, y , z) = 1, тоdxdydz = V (T ) — объем тела T .TФизический пример: если ρ(x, y ,z) — плотность материальρ(x, y , z)dxdydz = m —ного тела T в точке (x, y , z), тоTмасса тела T .Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как идвойные интегралы.Вычисление тройных интегралов с помощью повторногоинтегрирования1) Рассмотрим областьT = {(x, y , z) : (x, y) ∈ G, z1 (x, y) z z2 (x, y)} ,где G — квадрируемая область на плоскости (x, y), z1 (x, y) иz2 (x, y) — непрерывные в области G функции (рис.
12.27). Пустьв области T задана ограниченная функция u = f (x, y , z).5 В.Ф. Бутузов130Гл. 12. Кратные интегралыРис. 12.27.Рис. 12.28.Теорема 8. Пустьf (x, y , z)dxdydz ;1) существует тройной интегралT2) ∀(x, y) ∈ G существует определенный интегралz2 (x ,y)I(x, y) =f (x, y , z)dz.z1 (x,y)Тогда существует повторный интегралинтегралу:f (x, y , z)dz ) и он равен тройномуdxdyGz1 (x,y)z2 (x ,y)f (x, y , z)dxdydz =TI(x, y)dxdy (его запи-Gz2 (x ,y)сывают в видеf (x, y , z)dz.dxdyGz1 (x,y)Теорема 8 доказывается аналогично теореме 7 .5. Тройные интегралыСледствие.
Если для двойного интеграла131I(x, y)dxdy вы-Gполнено условие теоремы 7 , то его можно представить в видеповторного интеграла (см. рис. 12.28):by2(x)I(x, y)dxdy = dxaGy2(x)bI(x, y)dy = dxy1 (x)az2 (x ,y)dyy1 (x)f (x, y , z)dz.z1 (x,y)Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этомслучае к трехкратному вычислению определенных интегралов.Пример 1. Область T ограниченаповерхностямиx2 + y 2 = z 2 2и z = 1 (рис. 12.29). Вычислить I =(x + y 2 )dxdydz .TРис.
12.29.I=G1dxdy√ 2x + y 2 dz = 2dxdy x + y 2 1 − x2 + y 2 ,Gx2 +y 2где G — круг радиуса 1 с центром в начале координат наплоскости (x, y).В двойном интеграле по области G перейдем к полярнымкоординатам: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, 0 r 1, 0 ϕ 2π .Получим2πI=05*1dϕ r2 (1 − r)rdr = 2π01r4r5 π−= .45 010132Гл. 12. Кратные интегралы2) Пусть в сечении кубируемой области T плоскостью x = const получаетсяквадрируемая фигура G(x),a x b (рис. 12.30). Пустьв области T задана функцияf (x, y , z).Рис. 12.30. Теорема 9. Пусть1) существует тройной интегралf (x, y , z)dxdydz ;T2) ∀x ∈ [a, b] существует двойной интегралI(x) =f (x, y , z)dydz.G(x)Тогда существует интеграли записывается в видеbaвенствоbI(x)dx (он называется повторнымadxf (x, y , z)dydz ) и выполняется ра-G(x)bf (x, y , z)dxdydz = dxaTf (x, y , z)dydz ,G(x)то есть тройной интеграл равен повторному.Следствие. Если f (x, y , z) = 1, то по данной формуле получаем:bdydz = P (x)dx,dxdydz = V (T ) = dxaTbG(x).
/0 1aP (x)где P (x) — площадь фигуры G(x).Пример 2. Тот же интеграл, что в примере 1:I=T1 2 2x + y 2 dxdydz = dzx + y 2 dxdy (рис. 12.31).0G(z)5. Тройные интегралы133Во внутреннем интеграле перейдем к полярным координатам: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,0 r z , 0 ϕ 2π . Получим 2x + y 2 dxdy =G(z)2π=0zdϕ r2 · r · dr =0πСледовательно I =210π 4z .2z 4 dz =Рис. 12.31.π.10Замена переменных в тройноминтегралеРассмотрим тройной интегралf (x, y , z)dxdydz . ПерейTдем от переменных (x, y , z) к новым переменным (u, v , w) спомощью формулx = ϕ(u, v , w), y = ψ(u, v , w), z = χ(u, v , w), (u, v , w) ∈ g. (12.9)Пусть выполнены условия:I.
Если точка (u, v , w) пробегает область g , то соответствующаяточка (x, y , z) = (ϕ, ψ , χ) пробегает область T , причем различнымточкам (u, v , w) ∈ g соответствуют различные точки (x, y , z) ∈ T(иначе говоря, каждая точка (x, y , z) из области T соответствуеттолько одной точке (u, v , w) из области g ).II. Функции ϕ, ψ , χ имеют непрерывные частные производныепервого порядка в области g .III.D(x, y , z)= 0 ∀(u, v , w) ∈ g.D(u, v , w)Из условия I следует, что задание тройки чисел (u, v , w)однозначно определяет точку M (x, y , z) = M (ϕ, ψ , χ) из областиT . Поэтому тройку чисел (u, v , w) можно назвать новыми (криволинейными) координатами точки M .Зафиксируем значение координаты u, положив u = u0 == const.
Из уравнений (12.9) получим:x = ϕ(u0 , v , w), y = ψ(u0 , v , w), z = χ(u0 , v , w).134Гл. 12. Кратные интегралыЭти уравнения являются параметрическими уравнениями некоторой поверхности в области T (в качестве параметров выступают переменные v и w). Естественно назвать эту поверхностькоординатной поверхностью.Аналогично, положив v = v0 , или w = w0 , получим другиекоординатные поверхности.Зафиксируем теперь значения двух координат, положив u == u0 , v = v0 . Из уравнений (12.9) получим:x = ϕ(u0 , v0 , w), y = ψ(u0 , v0 , w), z = χ(u0 , v0 , w).Это — параметрические уравнения некоторой кривой в областиT (параметром является переменная w). Естественно назватьэту кривую координатной w-линией.
Аналогично определяютсякоординатные u-линия и v -линия.Рис. 12.32.Формулы (12.9) можно рассматривать как отображение области g в пространстве переменных (u, v , w) на область T впространстве переменных (x, y , z) (рис. 12.32).Пусть g и T — замкнутые кубируемые области, а функцияf (x, y , z) ограничена в области T и непрерывна всюду в этойобласти, за исключением, быть может, множества точек объемануль. Тогда справедлива формула:f (x, y , z)dxdydz =T=g(12.10) D(x, y , z) · dudvdw.f (ϕ(u, v , w), ψ(u, v , w), χ(u, v , w)) · D(u, v , w) Формула (12.10) называется формулой замены переменных втройном интеграле.5. Тройные интегралы135Рис. 12.33.Если f (x, y , z) = 1, то из формулы (12.10) получаем выражение объема тела в криволинейных координатах: ,y,z)D(x dudvdw.dxdydz = V (T ) =tgD(u, v , w)dV = dxdydz — элемент объема в прямоугольных координатах, D(x, y , z) dudvdw — элемент объема в криволинейныхdV = D(u, v , w)координатах (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
