В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 20
Текст из файла (страница 20)
12.33).Модуль якобиана — коэффициент растяжения объема приотображении (12.9).Замечание. Понятие множества точек объема нуль в пространстве вводится аналогично понятию множества точек площади нуль на плоскости. Формула (12.10) остается в силе, еслиусловия I или III нарушаются на множестве точек объема нуль.Примеры наиболее важных криволинейных координат1) Цилиндрические координаты.Тройка чисел (r, ϕ, z) называется цилиндрическими координатами точки M (рис. 12.34).Координатная поверхность r == const — цилиндрическая поверхность. Формулы, связывающие декартовы прямоугольныекоординаты (x, y , z) и цилиндрические координаты:Рис. 12.34.x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z(r 0, 0 ϕ 2π , −∞ < z < +∞)136Гл.
12. Кратные интегралыD(x, y , z)= r; dV = rdrdϕdz — элемент объема в цилиндричеD(r, ϕ, z)ских координатах.Рис. 12.35.2) Сферические координаты.Тройка чисел (r, θ, ϕ) — сферические координаты точки M(рис. 12.35). Координатная поверхность r = const — сфера. Формулы, связывающие декартовы прямоугольные координаты (x, y , z) исферические координаты:x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ,(r 0, 0 θ π , 0 ϕ 2π).D(x, y , z)= r2 sin θ, dV = r2 sin θdrdθdϕ — элемент объема вD(r, θ, ϕ)сферических координатах.Пример. Найти объем тела T , ограниченного поверхностью: 22xy2z2x2y2+ 2 + 2= 2 + 2 (рис. 12.36).2abcabВ сечении поверхностиплоскостью z = 0 получаютсяx2y2+ 2 = 1a2bэллипси точка O(0, 0, 0).
В сечении плоскостью x = 0 получается кривая 4-го порядка 22yz2y2+ 2= 2 . При поворо2bcbте вокруг оси Oz эта криваяРис. 12.36.деформируется каким-то образом, оставаясь замкнутой кривой, а точка M движется по эллипсу. В результате получается «бублик» без дырки.V =dxdydz .TПерейдем к обобщенным сферическим координатамx = ar sin θ cos ϕ,y = br sin θ sin ϕ,z = cr cos θ,(0 θ π , 0 ϕ 2π) .5. Тройные интегралы137Уравнение поверхности в новых координатах:r4 = r2 sin2 θ .Оно распадается на два уравнения:r = 0 и r = sin θ .Тело g , ограниченное этимиповерхностями, изображено нарис. 12.37.Рис. 12.37.D(x, y , z)= abcr2 sin θ .D(r, θ, ϕ)2π π sinθD(x,y,z)V =abcr2 sin θdr = D(r, θ, ϕ) drdθdϕ = dϕ dθgπ00π0π21 3 sin θ24= 2πabc sin θ · r dθ = πabc sin θdθ = abc.3 03400Г л а в а 13КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1.
Длина кривойПусть на плоскости задана прямоугольная система координатOxy . Рассмотрим множество точек {M (x, y)}, координаты которых задаются уравнениямиx = ϕ(t), y = ψ(t), α t β ,(13.1)где ϕ(t) и ψ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β].Если некоторая точка M (x, y) из этого множества соответствует нескольким значениям t ∈ [α, β], то такую точку назовемкратной.Пусть различным значениям t ∈ [α, β] соответствуют различные точки M (x, y), то есть множество M (x, y) не содержиткратных точек. Тогда множество {M (ϕ(t), ψ(t))}, где α t β ,назовем простой плоской незамкнутой кривой. Переменнуюt назовем параметром и будем говорить, что уравнения (13.1)задают кривую параметрически.Точки A (ϕ(α), ψ(α)) и B (ϕ(β), ψ(β)) назовем граничнымиточками или концами кривой.
Саму кривую называют такжекривой AB или дугой AB . Если точки A и B совпадают, аостальные точки не являются кратными, то кривая называетсяпростой замкнутой кривой.Примеры.1) x = cos t, y = sin t;a) если 0 t π , то кривая — простая незамкнутая (полуокружность);б) если 0 t 2π , то кривая — простая замкнутая (окружность);в) если 0 t 4π , то кривая — не простая (все ее точки —двукратные, кроме точки (1; 0), которая является трехкратной).2) График непрерывной функции y = f (x), a x b можнорассматривать как простую незамкнутую кривую, записав еепараметрические уравнения в видеx = t, y = f (t), a t b.1. Длина кривой139Рассмотрим простую (замкнутую или незамкнутую) кривую, заданнуюуравнениями (13.1). Разобьем сегмент [α, β] на nчастей точкамиα = t0 < t1 < ...
< tn = β.Каждому значению tiсоответствуетточкаMi (ϕ(ti ), ψ(ti )) на кривой(рис. 13.1). Впишем в криРис. 13.1.вую ломаную AM1 M2 ...B .Длина Δli i-го звена ломаной равна (рис. 13.2)Δli = (ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 ,а длина l(ti ) всей ломаной выражается равенствомl(ti ) =nn Δli =(ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 .i=1i=1(13.2)Пусть Δt = max Δti , где Δti = ti − ti−1 .1inОпределение. Число l называется пределом длин ломаных l(ti ) при Δt → 0, если ∀ε > 0 ∃δ > 0, такое, чтодля любого разбиения сегмента [α, β], у которого Δt < δ ,выполняется неравенство0 l − l(ti ) < ε.Рис.
13.2.Если существует lim l(ti ) = l, то кривая называется спрямляеΔ→0мой, а число l называется длиной кривой (иногда говорят «длиной дуги кривой»).Теорема 1. Пусть простая кривая задана параметрическимиуравнениямиx = ϕ(t), y = ψ(t),α t β,140Гл. 13. Криволинейные интегралыи пусть функции ϕ(t) и ψ(t) имеют непрерывные производныеϕ (t) и ψ (t) на сегменте [α, β].Тогда кривая спрямляема, и ее длина l выражается формулойβ l=ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.(13.3)αa)Доказательство(рис.
13.3).«напальцах»dx = dϕ(t) = ϕ (t)dt,dy = dψ(t) = ψ (t)dt,dl = dx2 + dy 2 = ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt,поэтомуРис. 13.3.ββ l = dl =αϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.αб) «Аккуратное» доказательство.Нужно доказать, чтоβ lim l(ti ) =ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.Δ→0(13.4)αДлина ломаной l(ti ) выражается формулой (13.2). По формулеЛагранжа конечных приращений получаем равенства:ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ (ξi )Δti , ξi ∈ [ti−1 , ti ],ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ (ξi∗ )Δti , ξi∗ ∈ [ti−1 , ti ].Следовательно,l(ti ) =n ϕ 2 (ξi ) + ψ 2 (ξi∗ ) Δti .i=1Введем функцию f (t) = ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) . Она непрерывна и, следовательно, интегрируема на сегменте [α, β]. Интегральная сум-1. Длина кривой141ма этой функции, соответствующая разбиению сегмента [α, β]на частичные сегменты [ti−1 , ti ] и выбору точек ξi в качествепромежуточных точек, имеет видI(ti , ξi ) =nn f (ξi )Δti =ϕ 2 (ξi ) + ψ 2 (ξi ) Δti .i=1i=1По определению определенного интегралаlim I(ti , ξi ) =Δt→0β ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.(13.5)αВ силу (13.5) для обоснования равенства (13.4) достаточно доказать, чтоlim (l(ti ) − I(ti , ξi )) = 0.Δt→0Для этого нам понадобится вспомогательное алгебраическоенеравенство 2(13.6) a + b2 − a2 + c2 |b − c|.Геометрическое доказательство справедливости этогонеравенства представлено нарис.
13.4: согласно неравенству треугольника выполнено неравенство (13.6). Используя неравенство (13.6), атакже выражения для l(ti ) иI(ti , ξi ), получаем:|l(ti ) − I(ti , ξi )| =Рис. 13.4. n 22 ∗22ϕ (ξi ) + ψ (ξi ) − ϕ (ξi ) + ψ (ξi ) Δti =i=1ni=1|ψ (ξi∗ ) − ψ (ξi )| · Δti .142Гл. 13. Криволинейные интегралыЗададим теперь произвольное ε > 0. Так как функция ψ (t) поусловию непрерывна на сегменте [α, β], то ∃δ > 0, такое, что приΔti < δ будет выполнено неравенство|ψ (ξi∗ ) − ψ (ξi )| <ε.β−αСледовательно, при Δti < δ , i = 1, 2, ..., n (то есть при Δt < δ ),выполняется неравенствоε |l(ti ) − I(ti , ξi )| <Δti = ε,β−αni=1а это и означает, чтоlim (l(ti ) − I(ti , ξi )) = 0.Δt→0Теорема 1 доказана.Следствия.1.
Возьмем на кривой AB произвольную точку C(ϕ(γ), ψ(γ)), γ ∈ [α, β](рис. 13.5). Для длин кривых AC , CBи AB справедливы равенстваγ lAC =Рис. 13.5.β lCB =αϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt, lABγγТак какϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt,β =ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt.αββ+ = , то lAC + lCB = lAB . Это свойство называетсяαγαаддитивностью длины кривой.2. Пусть кривая задана в прямоугольной системе координатуравнением y = f (x), a x b, причем функция f (x) имеетна сегменте [a, b] непрерывную производную f (x).
Перейдем кпараметрическим уравнениям кривой:x = t, y = f (t), a t b.1. Длина кривой143По формуле (13.3), в которой нужно положить ϕ(t) = t, ψ(t) == f (t), получаем:b l=b 1 + f 2 (t) dt =1 + f 2 (x) dx.aa3. Пусть кривая задана в полярных координатах уравнениемr = r(ϕ), ϕ1 ϕ ϕ2 (рис. 13.6), причем функция r(ϕ) имеетна сегменте [ϕ1 , ϕ2 ] непрерывную производную r (ϕ). Переходя кдекартовым координатам, получим уравнения кривой в параметрической форме (ϕ — параметр):x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, ϕ1 ϕ ϕ2 .Так какx (ϕ) = r (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ,y (ϕ) = r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ,то, применяя формулу (13.3), получаемϕ2 l=x 2 (ϕ) + y 2 (ϕ) dϕ =ϕ1ϕ2 =Рис.
13.6.r2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ.ϕ14. Если кривая задана в полярных координатах уравнениемϕ = ϕ(r), r1 r r2 , тоr2 l=1 + r2 ϕ 2 (r) drr1(выведите эту формулу самостоятельно).Примеры.1) x = R cos t, y = R sin t, 0 t 2π (окружность радиуса R сцентром в начале координат).2π l=02π(−R sin t)2 + (R cos t)2 dt = Rdt = 2πR.0144Гл. 13. Криволинейные интегралы2) r = R = const > 0, 0 ϕ 2π (та же окружность, но заданнаяуравнением в полярных координатах: r = r(ϕ) = R).2π l=r2 (ϕ) + r 2 (ϕ) dϕ =02π2πR2 + 0 dϕ = R0dϕ = 2πR.03) y = x2 , 0 x 1 (часть параболы).1 l= 1111 + (2x)2 dx = x x2 + + ln x + x2 +40√4√51=+ ln 2 + 52441 =0.Замечание о пространственной кривой.Простая пространственная кривая определяется как множество точек {M (x, y , z) : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β},где ϕ(t), ψ(t) и χ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β],причем множество {M (x, y , z)} не содержит кратных точек.Понятие длины кривой вводится таким же образом, как и дляплоской кривой, и длина кривой выражается формулойβ l=ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + χ 2 (t) dt.αПример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
