В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому предел правой части равенства(14.2)при d → 0 существует и равен двойному интегралу 1 + fx2 (x, y) + fy2 (x, y) dxdy . Следовательно, существуетGlim S(Pi , Mi ), то есть поверхность P квадрируема и ее площадьвыражается формулой (14.1). Теорема 1 доказана.Пример. Найти площадь части параболоида вращения z == x2 + y 2 , отсекаемой плоскостью z = 1 (рис. 14.3).По формуле (14.1) получаем: S=1 + 4x2 + 4y 2 dxdy.d→0G1. Площадь поверхности171Для вычисления двойного интеграла покругу G перейдем к полярным координатам: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (0 ϕ 2π ,0 r 1). Получим2πS=dϕ01 01 + 4r2 · rdr =1√1π2 3/2 2 · =5 5 −1 .= 2π 1 + 4r83 06Рис.
14.3.Вычисление площади поверхности, заданной параметрически. Задание поверхности P уравнением z = f (x, y) (и такжеуравнением y = f (z , x) или уравнением x = f (y , z)) называетсяявным заданием.Поверхность может быть задана уравнением видаF (x, y , z) = 0,не разрешенным относительно ни одной из переменных x, y и z(неявное задание).Например, уравнениеx2 + y 2 + z 2 − R 2 = 0(здесь F (x, y , z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 ) задает сферу радиуса R сцентром в начале координат.Поверхность может быть задана параметрически уравнениямиx = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ g.(14.3)Переменные u и v называются параметрами. Каждой точке(u, v) из области g соответствует по формулам (14.3) точкаM (x, y , z) поверхности.
Пусть различным точкам (u, v) соответствуют различные точки M (x, y , z). Тогда пару чисел (u, v)можно назвать криволинейными координатами точки M на поверхности. Линии u = const и v = const — координатные линиина поверхности.Пример. x = R sin u cos v , y = R sin u sin v , z = R cos u (R == const > 0, 0 u π , 0 v 2π ) — это параметрическиеуравнения сферы радиуса R с центром в начале координат.Криволинейные координаты u и v точки M на сфере — это «ши-172Гл. 14. Поверхностные интегралырота» и «долгота» точки M (с тем отличием от географическихшироты и долготы, что географическая широта отсчитываетсяот экватора, а в нашем примере «широта» u отчитывается отоси Oz , географическая долгота отсчитывается от Гривичскогомеридиана, а в нашем примере «долгота» v отсчитывается отплоскости Oxz ).Координатные линии u = const иv = const — это параллели и меридианы (рис.
14.4). Параметры uи v в уравнениях сферы часто обозначают буквами θ и ϕ.Вернемся к уравнениям (14.3),задающим поверхность P . Введемвектор−−→r = OM = x · i + y · j + z · k —Рис. 14.4.радиус–вектор точки M (x, y , z)(рис. 14.5). Тогда уравнения (14.3) поверхности P можно записать в виде одного векторного уравненияr = ϕ(u, v)i + ψ(u, v)j + χ(u, v)k =: r(u, v).Частные производные первого порядка вектор-функции r(u, v)выражаются следующими формулами (при условии, что функции ϕ,ψ и χ имеют частные производныепервого порядка):ru = ϕui + ψuj + χuk ,rv = ϕvi + ψvj + χvk.Из геометрических (и такжефизических) соображений ясно,что вектор ru (u, v) является касательным вектором к линииv = const в точке M (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) (см.
рис. 14.5), авектор rv (u, v) — касательным вектором к линии u = const в точке M . Поэтому векторы ru (u, v) и rv (u, v) лежат в касательнойплоскости к поверхности P в точке M (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) и,Рис. 14.5.1. Площадь поверхности173следовательно, вектор n = [ru × rv ] является вектором нормали кповерхности P в точке M . Вектор n запишем в виде i j k ψu χu · i+n = ϕu ψu χu = ψχvv ϕv ψv χv ϕu ψu χ u ϕu · j + + ϕv ψv · k =:χ v ϕv =: A(u, v) · i + B(u, v) · j + C(u, v) · k.Рассмотримнаповерхности P две парыблизких координатныхлиний (рис. 14.6).
Ониограничивают криволинейный четырехугольникM M1 M3 M2—«элемент» поверхностиP . Вычислим приближенно его площадь dS ,заменивкриволинейныйчетырехугольникпараллелограммом,построенным на векто−−−→рах M M1 = ru · du и−−−→M M2 = rv · dv (считаемdu > 0, dv > 0):Рис. 14.6. dS = [ru du × rv dv] = [ru × rv ] dudv = = Ai + B j + C k dudv = A2 + B 2 + C 2 dudv.Суммируя по всем «элементам» поверхности P , приходим к формуле площади поверхности, заданной параметрически:S= A2 + B 2 + C 2 dudv.g(отметим, что A, B и C — функции переменных u и v ).(14.4)174Гл.
14. Поверхностные интегралыЗапишем формулу (14.4) в другом виде. С этой целью обозначим буквой α угол между векторами ru и rv . ТогдаA2 + B 2 + C 2 = |[ru × rv ]| == |ru | · |rv | · sin α = |ru | · |rv | · 1 − cos2 α =22222= |ru | · |rv | − |ru | · |rv | · cos α = ru2 · rv2 − (ru · rv )2 .Введем обозначения:ru2 = ϕ2u + ψu2 + χ2u = E(u, v), rv2 = ϕ2v + ψv2 + χ2v = G(u, v)(ru · rv ) = ϕu ϕv + ψu ψv + χu χv = F (u, v).Тогда A2 + B 2 + C 2 = EG − F 2 , и формула (14.4) принимает вид S=EG − F 2 dudv.(14.5)gЗамечания. 1) Формулы (14.4)и (14.5) имеют место при следующих условиях: функции ϕ,ψ и χ имеют непрерывныечастные производные первогопорядка в замкнутой ограниченной области g , различнымвнутренним точкам (u, v) области g соответствуют различные точки (ϕ, ψ , χ) поверхности, а координаты A, B и Cвектора нормали n не обращаРис.
14.7.ются одновременно в нуль нив одной точке (u, v) области g (при этом ru = 0 и rv = 0). В такомслучае поверхность P называется гладкой.Формулы (14.4) и (14.5) остаются в силе и в том случае,когда A, B и C одновременно равны нулю на множестве точекплощади нуль, в частности, в конечном числе точек. В случаесферы A = B = C = 0 при u = 0 и u = π (на полюсах сферы).2) Рассмотрим на поверхности P две близкие точки M (u, v)и M1 (u + du, v + dv) (рис.
14.7), через которые по поверхностипроходит кривая. Вычислим приближенно длину dl «элемен-1. Площадь поверхности175−−−→та» кривой, заменив его вектором M M1 = r(u + du, v + dv) −− r(u, v) = ru du + rv dv :−−−→dl = M M1 = |ru du + rv dv| = (ru du + rv dv)2 == ru2 (du)2 + 2(ru · rv )dudv + rv2 (dv)2 == E(du)2 + 2F dudv + G(dv)2 .Квадратичная формаE(du)2 + 2F dudv + G(dv)2называется первой квадратичнойформой поверхности.Угловые миноE Fры матрицыэтой квадраF Gтичной формы равны E = ru2 > 0 иРис.
14.8.EG − F 2 = A2 + B 2 + C 2 > 0. Следовательно, эта квадратичная формаположительно определенная.С помощью первой квадратичной формы вычисляются наповерхности площади (формула (14.5)), а также длины кривыхи углы между кривыми. Если кривая AB на поверхности задана параметрически уравнениями u = u(t), v = v(t), α t β(рис. 14.8), то ее длина выражается формулойβ lAB =E(u )2 + 2F u v + G(v )2 dt.αГоворят, что первая квадратичная форма определяет метрикуповерхности.Существует еще так называемая вторая квадратичная форма поверхности.
Она позволяет вычислить кривизну поверхности (см. [1]).Пример. Рассмотрим сферу, заданную параметрически:x = R sin u cos v , y = R sin u sin v , z = R cos u(0 u π , 0 v 2π).176Гл. 14. Поверхностные интегралыТак какru = R cos u cos v · i + R cos u sin v · j − R sin u · k,rv = −R sin u sin v · i + R sin u cos v · j ,тоE = ru2 = R2 , G = rv2 = R2 sin2 u, F = (ru · rv ) = 0,EG − F 2 = R4 sin2 u.По формуле (14.5) находим площадь сферы:2πS=0π2ππdv du R4 sin2 u = R2 dv sin udu = R2 · 2π · 2 = 4πR2 .000§ 2. Поверхностные интегралы первого родаПусть P — квадрируемая поверхность, заданная явным уравнением или параметрически, и пусть на поверхности P определена ограниченная функция f (M ) = f (x, y , z).
Разобьем поверхnPi , на каждой частиность P на n квадрируемых частей: P =i=1Pi возьмем произвольную точку Mi и составим интегральнуюсуммуnI(Pi , Mi ) =f (Mi )S(Pi ),i=1где S(Pi ) — площадь Pi .Пусть di — диаметр Pi , d = max di .1inЕсли существует lim I(Pi , Mi ) = I , то число I называетсяd→0поверхностным интегралом первого рода от функции f (M ) поповерхности P и обозначается так:I=f (M ) ds или I =f (x, y , z) ds.PPПоверхностный интеграл первого рода является обобщением понятия двойного интеграла на случай, когда область интегрирования — не плоская, а произвольная поверхность.2.
Поверхностные интегралы первого родаПримеры. 1) Если f (M ) = 1, то177ds = S(P ) — площадьPповерхности P .2) Если P — заряженная поверхность и ρ(M ) — поверхностнаяплотность заряда в точке M , тоρ(M ) ds = q — суммарныйPзаряд поверхности P .Теорема 2. Пусть: 1) поверхность P задана уравнениемz = z(x, y), (x, y) ∈ G, где G — квадрируемая замкнутая область,а функция z(x, y) имеет в области G непрерывные частные производные zx (x, y) и zy (x, y) (то есть P — гладкая поверхность);2) функция f (M ) = f (x, y , z) непрерывна на поверхности P .Тогда поверхностный интеграл первого рода от функцииf (M ) по поверхности P существует, и справедливо равенствоf (x, y , z) ds =Pf (x, y , z(x, y)) 1 + zx2 (x, y) + zy2 (x, y) dxdy.G(14.6)Доказательство.
Разобьем поверхность P на квадрируемые чаnсти: P =Pi . Пусть Gi — проекция Pi на плоскость Oxy ,i=1так что G =ni=1Gi . Выберем на каждой части Pi произвольнымобразом точку Mi и составим интегральную суммуI(Pi , Mi ) =nf (Mi )S(Pi ).(14.7)i=1Двойной интеграл в правой части равенства (14.6) обозначимбуквой I и запишем в видеI=n f (x, y , z) 1 + zx2 + zy2 dxdy.i=1 GiКаждое слагаемое в правой части написанного равенства преобразуем по формуле среднего значения:I=ni=1 f (Ki )1 + zx2 + zy2 dxdy ,Gi178Гл.
14. Поверхностные интегралыгде Ki ∈ Pi . Так как 1 + zx2 + zy2 dxdy = S(Pi ), тоGiI=n(14.8)f (Ki )S(Pi ).i=1Вычитая (14.8) из (14.7), получаем:I(Pi , Mi ) − I =n[f (Mi ) − f (Ki )]S(Pi ).(14.9)i=1Зададим произвольное ε > 0. Так как функция f (M ) непрерывнана поверхности P , которая является ограниченным замкнутыммножеством в силу условия 1) теоремы, то f (M ) равномернонепрерывна на поверхности P . Поэтому ∃ δ > 0, такое, что еслиdi = диаметр Pi < δ , то для любых двух точек Mi и Ki наповерхности Pi будет выполнено неравенство|f (Mi ) − f (Ki )| <ε,S(P )где S(P ) — площадь поверхности P .Следовательно, для любого разбиения поверхности P , у которого d < δ , из равенства (14.9) следует:ε |I(Pi , Mi ) − I| <S(Pi ) = ε.S(P )ni=1Это означает, что lim (I(Pi , Mi ) − I) = 0, тоd→0есть существует lim I(Pi , Mi ) = I , а так какd→0lim I(Pi , Mi ) — это и есть поверхностныйd→0интегралf (x, y , z) ds, а I — двойнойPинтеграл из правой части равенства (14.6),то тем самым доказана справедливость равенства (14.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
