В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Теорема2доказана.Пример. Вычислить(x2 + y 2 ) ds, гдеРис. 14.9.PP —граница тела, заданного неравенствами x2 + y 2 z 1.Эти неравенства задают конус, ограниченный основаниемP1 , лежащим в плоскости z = 1, и боковой поверхностью P23. Поверхностные интегралы второго рода179(рис. 14.9). Вычислим отдельно поверхностные интегралы поповерхностям P1 и P2 .P1 : z = 1, (x, y) ∈ G = {(x, y) : x2 + y 2 1}. По формуле (14.6):√2222(x + y ) ds =(x + y ) 1 + 0 + 0 dxdy =P12π=01G1r4 πdϕ r · rdr = 2π · = .4 0220P2 : z = x2 + y 2 , (x, y) ∈ G. По формуле (14.6): 2x + y 2 dS =P2 2x + y231+x2 + y 2G√√ 22x + y 2 dxdy =π.= 22=2x+yx2 + y 22dxdy =GИтак,=Pски+P1√ π= 1+ 2.2P2Замечание.
Если гладкая поверхность P задана параметриче-x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ g ,то поверхностный интеграл первого рода от функции f (x, y , z)по поверхности P вычисляется по формулеf (x, y , z) ds =f (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) EG − F 2 dudv.Pg(14.10)§ 3. Поверхностные интегралы второго родаПонятие стороны поверхности. Если поверхность заданауравнением z = f (x, y), (x, y) ∈ G, то на основе наглядных представлений можно различать у нее верхнюю и нижнюю сторо-180Гл.
14. Поверхностные интегралыны. У поверхности, ограничивающей некоторое тело, напримеру сферы, можно различать внешнюю и внутреннюю стороны.Введем понятие стороны поверхности.Рассмотрим поверхность P , в каждой точке M которой существует касательная плоскость. Вектор нормали к поверхности вточке M обозначим n(M ). Пусть в каждой точке M поверхностиP можно задать вектор n(M ) так, что вектор-функция n(M ),M ∈ P будет непрерывной на всей поверхности, то есть в каждой точке поверхности непрерывны координаты вектор-функцииn(M ).
В таком случае будем говорить, что на поверхности Pзадано непрерывное векторное поле нормалей n(M ), и подстороной поверхности будем понимать множество всех ее точекс заданными в них векторами нормали, образующими непрерывное векторное поле n(M ). Заметим, что в этом случаевектор-функция −n(M ), M ∈ P также задает непрерывное векторное поле нормалей на поверхности P . Будем считать, что этополе нормалей относится к другой стороне поверхности.Таким образом, если на поверхности P существует непрерывное векторное поле нормалей n(M ), то эта поверхностьимеет две стороны: на одной стороне поле нормалей задаетсявектор-функцией n(M ), M ∈ P , а на другой — вектор-функцией−n(M ), M ∈ P .
Такая поверхность называется двусторонней.Если же на поверхности P не существует непрерывного векторного поля нормалей (при наличии вектора нормали в каждойточке поверхности), то поверхность P принято называть односторонней.Примером двусторонней поверхности является сфера.
На одной ее стороне вектор n(M ) в каждой точкенаправлен внутрь шара (это внутренняя сторона сферы), а на другой стороне — наружу (это внешняя сторонасферы).Двусторонняя поверхность P характеризуется следующим свойством:для любой точки M ∈ P и для любогозамкнутого контура, проходящего поповерхности P через точку M и неРис. 14.10.пересекающегося с границей поверхности, заданный в точке M вектор нормали n(M ), непрерывноизменяясь при движении точки по контуру, не изменит своегонаправления (на противоположное) при возвращении точки в3. Поверхностные интегралы второго рода181исходное положение (рис. 14.10). На односторонней поверхностисуществует такой контур, при обходе которого и возвращенииточки в исходное положение направление вектора нормали изменится на противоположное.Примером односторонней поверхности является лист Мëбиуса.
Его можно изготовить из прямоугольной полоски бумаги, повернув ее узкие стороны и склеивих так, чтобы совпадали вершины прямоугольника, являющиесяконцами одной и той же диагонали (то есть точки A и C , B и D ,Рис. 14.11.рис. 14.11).Гладкая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), является двусторонней. На одной стороне поверхности непрерывное векторное поле нормалейможно задать вектор–функцией n(M ) = {−fx (x, y), −fy (x, y), 1}(верхняя сторона поверхности), а на другой стороне —вектор-функцией −n(M ) = {fx (x, y), fy (x, y), −1} (нижняя сторона поверхности).Если гладкая двусторонняя поверхность задана параметрически:x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ g ,то на одной стороне непрерывное векторное поле нормалей можно задать вектор-функцией n(M ) = {A, B , C}, а на другой стороне — вектор-функцией −n(M ) = {−A, −B , −C}.Двусторонняя поверхность называется также ориентируемой, а выбор определенной стороны называется ориентациейповерхности.Понятия двусторонней и односторонней поверхности можноввести и для кусочно-гладких поверхностей (то есть поверхностей, составленных из нескольких гладких поверхностей).
Примером кусочно-гладкой двусторонней поверхности является поверхность параллелепипеда.Определение поверхностных интегралов второго рода.Пусть P — гладкая двусторонняя поверхность. Выберем на нейодну из сторон, то есть фиксируем непрерывное поле нормалей n(M ). Обозначим через α(M ), β(M ), γ(M ) углы между вектором n(M ) и осями координат.
Если |n(M )| = 1, тоn(M ) = {cos α, cos β , cos γ}.182Гл. 14. Поверхностные интегралыПусть на поверхности P определены три функции: P (M ),Q(M ), R(M ). Рассмотрим поверхностные интегралы первого родаI1 =P (M ) cos α(M ) dS , I2 =Q(M ) cos β(M ) dS ,PI3 =PR(M ) cos γ(M ) dS.PОни называются поверхностными интегралами второго рода соответственно от функций P , Q, R по выбранной стороне поверхности P . Для них используются также следующиеобозначения:I1 =P dydz , I2 =Q dzdx, I3 =R dxdyPPP(смысл этих обозначений состоит в том, что dydz = dS · cos α —площадь проекции элемента поверхности с площадью dS наплоскость Oyz , и также dzdx = dS · cos β и dxdy = dS · cos γ ).Если выбрать другую сторону поверхности, то вектор n(M )во всех точках изменит направление, поэтому его координаты{cos α, cos β , cos γ} изменят знак и, следовательно, интегралы I1 ,I2 , I3 изменят знак. В этом отношении поверхностные интегралывторого рода аналогичны криволинейным интегралам второгорода, которые изменяют знак при изменении направления движения по кривой.СуммаI = I1 + I2 + I3 =P dydz + Q dzdx + R dxdy =P(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS=Pназывается общим поверхностным интегралом второго рода.Если ввести вектор-функцию a(M ) = {P (M ), Q(M ), R(M )},то общий интеграл I можно записать в видеI=(a · n) dS.P3.
Поверхностные интегралы второго рода183Физический пример. Если a(M ) == v (M ) — скорость в точке Mтечения жидкости, заполняющейкакую-точасть пространства, то(v · n) dS представляет собойPпоток жидкости через ориентированную поверхность P , то естьколичество (объем) жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность P с выбранным наней непрерывным векторным полемРис.
14.12.единичных нормалей:(v · n) dS — поток жидкости через элементповерхности с площадью dS (рис. 14.12);(v · n) dS — поток жидкости через ориентированную поPверхность P .(a · n) ds называется потокомВ общем случае интегралPвекторного поля a(M ) через ориентированную поверхность P .Вычисление поверхностных интегралов второго рода путем сведения к двойным интегралам.1) Пусть гладкая поверхность P задана уравнениемz = f (x, y), (x, y) ∈ G.Выберем, например, верхнюю сторону поверхности P , на которойn(M ) = {−fx (x, y), −fy (x, y), 1}.Тогда cos α(M ) = −fx1 + fx2 + fy2⎛⎞⎝на нижней стороне поверхности cos α(M ) = fx1 + fx2 + fy2cos β(M ) = −fy1 + fx2 + fy2; cos γ(M ) = 11 + fx2 + fy2.⎠;184Гл.
14. Поверхностные интегралыПусть функции P , Q, R непрерывны на поверхности P . Поформуле (14.6) получаем:P (x, y , z) cos α(M ) dS =I1 =PP (x, y , f (x, y)) =1 + fx2 + fy2G=−−fx (x, y)·1 + fx2 + fy2 dxdy =P (x, y , f (x, y))fx (x, y) dxdy ,G(14.11)Q(x, y , z) cos β(M ) dS =I2 =P=−Q(x, y , f (x, y))fy (x, y) dxdy ,GR(x, y , z) cos γ(M ) dS =I3 =PR(x, y , f (x, y)) dxdy.G2) Пусть гладкая двусторонняя поверхность P задана параметрически:x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ g.Выберем ту сторону поверхности, на которой n = {A, B , C}.ТогдаAcos α = A2 + B 2 + C 2cos β(M ) = BEG − F 2=AEG − F 2,, cos γ(M ) = CEG − F 2.3.
Поверхностные интегралы второго рода185По формуле (14.10) получаем:I1 =P×P (ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v))×P cos α ds =AEG −F2gEG − F 2 dudv =P (ϕ, ψ , χ)A(u, v) dudv ,gQ(ϕ, ψ , χ)B(u, v) dudv ,I2 =(14.12)g R(ϕ, ψ , χ)C(u, v) dudv.I3 =gВсе эти формулы верны и тогда, когда поверхность P —кусочно-гладкая, то есть составлена из конечного числа гладкихповерхностей, а функции P , Q, R — кусочно непрерывные наповерхности P .Пример.
Вычислить поверхностный интеграл1I=3x dydz + y dzdx + z dxdyPпо внешней стороне эллипсоида P :x2y2z2+ 2 + 2 = 1,a2bcто есть вектор n(M ) в каждой точке M эллипсоида направленнаружу, а не внутрь тела, ограниченного эллипсоидом.Перейдем к параметрическим уравнениям эллипсоида:x = a sin u cos v , y = b sin u sin v , z = c cos u,(u, v) ∈ g = {(u, v) : 0 u π , 0 v 2π}.186Гл. 14. Поверхностные интегралыВычислим координаты вектора нормали i j k n = [ru × rv ] = ϕu ψu χu = Ai + Bj + Ck : ϕv ψv χv ψu χu b cos u sin v −c sin u = bc sin2 u cos v ,A = ψ χ = b sin u cos v0vv χu ϕu −c sin u a cos u sin v = = ac sin2 u sin v ,B = χ v ϕv 0−a sin u sin v ϕu ψu a cos u cos v b cos u sin v = = ab sin u cos u.C = ϕv ψv −a sin u sin v b sin u cos v Для внешней стороны эллипсоидаn = {A, B , C},Рис.
14.13.что легко установить по первому октантуππ{0 u , 0 v }, для которого углы22α, β , γ — острые (рис. 14.13).По формулам (14.12) получаем:1I=(xA + yB + zC) dudv =31=313ggabc sin3 u cos2 v + abc sin3 u sin2 v + abc sin u cos2 u dudv == abc132π43dv sin u du = πabc —sin u dudv = abcgπ00объем тела, ограниченного эллипсоидом. Этот результат — неслучайный. В следующем параграфе будет получена формулаОстроградского–Гаусса, из которой последует, что объем любоготела, ограниченного кусочно-гладкой поверхностью P , вычисляется с помощью такого же поверхностного интеграла, как врассмотренном примере:1V =x dydz + y dzdx + z dxdy.3P4. Формула Остроградского–Гаусса187§ 4. Формула Остроградского–ГауссаПусть функции z1 (x, y) и z2 (x, y) определены и непрерывны в ограниченной связной замкнутой области D , причемz1 (x, y) z2 (x, y), (x, y) ∈ D .Область G = {(x, y , z) : (x, y) ∈ D , z1 (x, y) z z2 (x, y)} назовем «z -цилиндрической» (рис.
14.14). Аналогично определяются «x-цилиндрическая» и «y -цилиндрическая» области.ОбластьGназовемпростой, если ее можноразбить на конечное числообла«x-цилиндрических»стей, и также на конечноечисло«y -цилиндрических»областей, и на конечноечисло«z -цилиндрических»областей.Пример: параллелепипед ишар — простые области.Границу области G, тоесть ограничивающую ее поРис. 14.14.верхность, будем обозначатьбуквой P .Теорема 3. Пусть функции P (x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) и их∂P∂Q∂R,,непрерывны в простой обчастные производные∂x ∂y ∂zласти G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью P . Тогдасправедливо равенство ∂P∂Q∂Rdxdydz =++∂x G∂y∂z(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds ==P(14.13)P dydz + Q dzdx + R dxdy ,=Pгде поверхностный интеграл второго рода берется по внешнейстороне поверхности P (то есть α, β , γ — углы между внешнейнормалью к поверхности P и осями координат).Формула (14.13) называется формулой Остроградского–Гаусса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
