В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 22
Текст из файла (страница 22)
13. Криволинейные интегралыЗамечания.1. Если гладкая кривая AB задана в декартовых координатахуравнением y = y(x), a x b, A = (a, y(a)), B = (b, y(b))(слово «гладкая» означает, что функция y(x) имеет на [a, b]непрерывную производную y (x)), тоbP (x, y)dx + Q(x, y)dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx.aAB(13.10)2. Если L — замкнутая кривая (замкнутый контур), то естьточки A и B совпадают, то криволинейный интеграл второгорода по кривой L вводится так же, как и для незамкнутой криP dx + Qdy не отражено,вой, но только теперь в обозначенииABв каком направлении пробегается кривая. Договоримся считатьположительным то направление обхода замкнутого контура, прикотором область, лежащая внутри контура, остается слева поотношению к движущейся по контуру точке (рис. 13.14). Интеграл по замкнутому контуру L в положительном направленииобозначается так:P dx + Qdy.LРис.
13.14.3. Криволинейные интегралы второго рода впространстве вводятся аналогично интеграламна плоскости. Если кривая AB задана уравнениями x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β ,тоI=P (x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz =ABβ= [P (ϕ, ψ , χ)ϕ (t) + Q(ϕ, ψ , χ)ψ (t) + R(ϕ, ψ , χ)χ (t)] dt.αИнтеграл I записывается также в виде: ,I=F · dlAB3. Криволинейные интегралы второго рода153 — = dx · i + dy · j + dz · k, F · dlгде F = P · i + Q · j + R · k , dl , и называется циркуляскалярное произведение векторов F и dlцией векторного поля F вдоль кривой AB .Примеры.11.
Вычислить интеграл −ydx − xdy , где L — эллипс22L2xy+ 2 = 1. Перейдем к параметрическим уравнениям эллипса:2abx = a cos t, y = b sin t, 0 t 2π ,и воспользуемся формулами (13.9):−12ydx − xdy = −12L122π[b sin t(−a sin t) − a cos t(b cos t)] dt =02π= abdt = πab = Sэл0(площадь фигуры, ограниченной эллипсом).В следующем параграфе будет выведена формула Грина, из которой, вчастности, следует, что если плоскаяфигура G ограничена кусочно гладкимконтуром L (рис. 13.15), то1xdy − ydx.S(G) =22.
Вычислить интеграл I =Рис. 13.15.2xydx + x2 dy по трем кри-ABвым, соединяющим точки A(0, 0) и B(1, 1) и изображенным нарис. 13.16. Воспользуемся формулой (13.10).1112231) y = x; I1 = 2x · xdx + x dx = 3x dx = x = 1;000154Гл. 13. Криволинейные интегралы1112) y = x ; I2 = 2x · x dx + x · 2xdx = 4x dx = x = 1;2202110034003) ломаная ACB ; I3 = 2x · 0dx + 12 · dy = 1.Таким образом, I1 = I2 = I3 .Это не случайно! Можно доказать, чтозначение интеграла I не зависит откривой, соединяющей точки A и B .Как это доказать и в каких случаяхинтеграл не зависит от пути интегрирования — об этом пойдет речь в §5.Связь между криволинейнымиинтегралами первого и второго рода. Пусть гладкая кривая AB заданаРис. 13.16.в декартовых координатах уравнениемy = y(x), a x b.
Обозначим черезα(x) угол между направленной касательной к кривой в точкеM (x, y(x)) и осью Ox. Направление касательной выберем в соответствии с направлением движения по кривой (рис. 13.17):при движении от A к B :π2π2− < α < , tg α = y (x), cos α = 121 + y (x), sin α = y (x)2;+y (x)при движении от B к A:π3π< α < , tg α = y (x),221cos α = − ,21 + y (x)y (x)sin α = − .21 + y (x)Рассмотрим два криволинейных интеграла:криволинейный интеграл второго родаРис. 13.17.bP (x, y)dx = P (x, y(x))dxABa3. Криволинейные интегралы второго рода155и криволинейный интеграл первого родаP (x, y) cos αdl =ABb= P (x, y(x)) 11 + y 2a·b1 + y 2 dx = P (x, y(x))dx.aИз написанных равенств следует, чтоP (x, y)dx =P (x, y) cos αdl.ABABАналогично получается равенствоQ(x, y)dy =Q(x, y) sin αdl.ABABТаким образом,P (x, y)dx + Q(x, y)dy =(P (x, y) cos α + Q(x, y) sin α) dlABAB— формула, связывающая криволинейные интегралы первого ивторого рода.Если ввести векторы F (x, y) = {P (x, y), Q(x, y)} иτ = {cos α, sin α} — единичный вектор направленной касательнойк кривой, то полученную формулу можно записать так: F · τ dl.P (x, y)dx + Q(x, y)dy =ABABАналогичные формулы имеют место для криволинейных интегралов по пространственной кривой AB :P dx + Qdy + Rdz =AB (P cos α + Q cos β + R cos γ) dl =ABF · τ dl,ABгде F = {P , Q, R}, τ = {cos α, cos β , cos γ} — единичный векторнаправленной касательной к кривой.156Гл.
13. Криволинейные интегралы§ 4. Формула ГринаПусть y = y1 (x) и y = y2 (x) (a x b) — уравнения двух кусочно гладких кривых в декартовых координатах, y1 (x) y2 (x).ОбластьG ={(x, y): a x b, y1 (x) y y2 (x)}назовем «y -трапециевидной» (рис. 13.18). Аналогично определяется «x-трапециевидная» область.Замкнутую область G назовемпростой, если ее можно разбить какна конечное число «x-трапециевидных» областей, так и на конечное число «y -трапециевидных» областей (безобщих внутренних точек у любыхдвух областей).Примеры простых областей: прямоРис. 13.18.угольник, круг, кольцо (рис. 13.19).Рис.
13.19.Рис. 13.20.иГраницу области G обозначим буквойL. Она может состоять из конечного числазамкнутых контуров (рис. 13.20). Как былооговорено ранее, направление обхода контура считается положительным, если приэтом обходе область G остается слева отдвижущейся по контуру точки.Теорема 4. Пусть функции P (x, y) иQ(x, y) и их частные производные∂P (x, y)∂y∂Q(x, y)непрерывны в простой области G с кусочно-гладкой∂x4. Формула Грина157границей L.
Тогда ∂Q∂P−∂x∂ydxdy = P dx + QdyG(13.11)Lгде интеграл по границе L берется в положительном направлении.Формула (13.11) называется формулой Грина.Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда G —«y -трапециевидная» область (рис. 13.21) и докажем, что∂Pdxdy = − P dx.∂yG(13.12)LСводя двойной интеграл к повторному, получаем:∂P(x, y)dxdy =∂yy2(x)bdxaGРис. 13.21.∂P(x, y)dy =∂yy1 (x)y2 (x) bb= dx · P (x, y)= P (x, y2 (x))dx − P (x, y1 (x))dx, (13.13)aaaby1 (x)Определенные интегралы в правой части (13.13) выразим черезкриволинейные интегралы соответственно по кривым CD и AB :bP (x, y)dx = −P (x, y2 (x))dx =aDCCDbP (x, y1 (x))dx =aP (x, y)dx,P (x, y)dx.AB158Гл.
13. Криволинейные интегралыИспользуяполученныеравенства, а также равенстваP (x, y)dx = 0 иP (x, y)dx = 0, запишем (13.12) в виде:BCDA∂P(x, y)dxdy =∂yGP dx −=−CDP dx −DAP dx −ABP dx = − P dx.BCLТем самым, справедливость равенства (13.12) доказана для«y -трапециевидной» области.Пусть теперь G — простая область. Разобьем ее на конечноечисло «y -трапециевидных» облаnстей Gi , (i = 1, 2, ..., n): G =Gii=1(рис. 13.22). Напишем для каждой области Gi равенство (13.12):∂Pdxdy = − P dx.Рис.
13.22.∂yGiLiСуммируя этичасти равенства по i от 1 до n, получим в левой∂Pdxdy , а в правой части — интеграл − P dx, такинтеграл∂yGLкак криволинейный интеграл по каждой внутренней разделительной линии берется дважды, причем в противоположных направлениях, и потому сумма таких интегралов равна нулю. Итак,для каждой простой области справедливо равенство (13.12).Аналогично можно доказать, используя разбиения G на «xтрапециевидные» области, что∂Qdxdy = Qdy.(13.14)∂xGLВычитая (13.12) из (13.14), получаем формулу (13.11): ∂P∂Q−dxdy = P dx + Qdy.∂xG∂yL4. Формула Грина159Теорема 4 доказана.Замечание. Можно доказать, что формула Грина справедлива нетолько для простых областей, но и для любой области, границакоторой состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых.Следствие. Полагая в (13.11) Q = x, P = 0, а затем Q = 0,P = −y , получаем:dxdy = xdy иdxdy = − ydx,GGто естьLS (G) = xdyS (G) = − ydx,иL(13.15)Lгде S (G) — площадь области G.Пусть α и β — произвольные числа, такие, что α + β = 1.Умножая первое равенство (13.15) на α, а второе на β , и складывая, приходим к формулеS (G) = αxdy − βydx (α + β = 1).L1Наиболее употребительна эта формула при α = β = :21S (G) =xdy − ydx.2(13.16)LПримеры.
1) Вычислить интегралI = x2 − y dx + x + y 2 dy ,Lгде L — окружность (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .∂P∂Q= −1,= 1. По формулеЗдесь P = x2 − y , Q = x + y 2 ,∂y∂xГрина ∂Q∂PI=−2dxdy = 2S(G) = 2πR2 .dxdy =∂xG∂yG160Гл. 13. Криволинейные интегралы2) Найти площадь области,ограниченной астроидой222x 3 + y 3 = a 3 (рис. 13.23).Напишемпараметрическиеуравнения астроиды:x = a cos3 t, y = a sin3 t,0 t 2π.Рис.
13.23.=122πПо формуле (13.16)находим:1S=xdy − ydx =2La cos3 t · a · 3 sin2 t cos t − a sin3 t −a · 3 cos2 t sin t dt =03= a222π03sin2 t cos2 tdt = a282π038sin2 2tdt = πa2 .§ 5. Условия независимости криволинейногоинтеграла второго рода от пути интегрированияВ §3 был рассмотрен пример, в котором криволинейный интеграл второго рода по трем различным кривым, соединяющимдве данные точки, имел одно и то же значение. В этом параграфемы установим условия, при которых криволинейный интегралвторого рода не зависит от пути интегрирования, то естьдля двух данных точек значение интеграла одно и то же длялюбой кривой, соединяющий это точки.Нам понадобится понятие односвязной области.
Областью мы называем открытое связноемножество. Объединение области и ее границы называется замкнутой обастью. Область Gна плоскости называется односвязной, если онаобладает следующими свойством: для любогозамкнутого контура L, лежащего в области G,часть плоскости, ограниченная этим контуром,Рис. 13.24.5. Условия независимости интеграла второго рода от пути ...161целиком принадлежит G.Примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
