В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отметим, что при R → ∞ кривизна окружности стреRмится к нулю, и в этом смысле дуга окружности очень большогорадиуса мало отличается от прямой. Заметим, что прямая иокружность — кривые постоянной кривизны.Рис. 11.14.Рис. 11.15.3) Рассмотрим эллипс, заданный уравнениемx2y2+ 2 = 1, где a > b (рис. 11.15).a2bИнтуитивно ясно, что кривизна эллипса в точке M1 меньше, чемв точке M2 : k(M1 ) < k(M2 ).
Чтобы доказать это строго, нужнонаучиться вычислять кривизну в точке.108 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхВычисление кривизны кривой1) Пусть кривая L заданаявным уравнением y = f (x),причем f (x) — дваждыдифференцируемая функция.Обозначим буквой α уголмежду направленной касательной к кривой L в точке M (при движении всторону возрастания x) иосью Ox (рис. 11.16). ТоππРис. 11.16.(на рисунгда − < α <22ке 11.16 α > 0). Значение α для точки M0 (x0 , f (x0 )) обозначимчерез α0 .
Положим α = α − α0 , тогда ϕ = | α|. По определению средней кривизны ϕ α k M0 M == ,llа для кривизны в точке M0 получаем: α dα k(M0 ) = lim kM0 M = lim = M →M0M ∈LΔl→0ldlx=x0.Величины α и l, где l — длина кривой, отсчитываемая от точкиM0 , являются функциями x, а именно: α = arctg f (x), посколькуf (x0 )dx;tg α = f (x), поэтому dα=x=x01 + f 2 (x0 )x 2l = lM0 M =1 + f (s) ds (см. §13 гл. 5), поэтому dl=x=x0x01 + f 2 (x0 ) dx.Следовательно, для кривизны кривой, заданной уравнениемy = f (x), в точке M0 (x0 , f (x0 )) получается формула |f (x0 )| dα k(M0 ) = =(11.11)3/2 .=dlx=x01 + f 2 (x0 )Формула (11.11) показывает, что кривизна k(M0 ) тем больше,чем больше |f (x0 )|.
В случае прямой, заданной уравнением y =3. Кривизна плоской кривой109= kx + b, функция f (x) = kx + b, f (x) ≡ 0 и кривизна во всехточках равна нулю.1,Пусть f (x0 ) = 0. Построим окружность радиуса R =k(M0 )которая касается кривой L в точке M0 (x0 , f (x0 )) и имеет вокрестности точки M0 такое же направление выпуклости, как икривая L (рис. 11.17). Эта окружность называется кругом кривизны кривой L в точке M0 , ее радиус R называется радиусомкривизны, а центр — центром кривизны кривой L в точке M0 .Можно доказать (сделайте это самостоятельно), что порядок касания указанной окружности и кривой L в точкеM0 не ниже 2.Эта окружность называется также соприкасающейся окружностью длякривой L в точке M0 .Пример.
Рассмотри параболу, заданную уравнением y = x2 , и точкуРис. 11.17.M0 (0; 0) на этой параболе (рис. 11.18).Так как в данном примере f (x) = x2 ,то f (0) = 0, f (0) = 2, и по формуле (11.11) получаем:k(M0 ) = 2 — кривизна параболы в точке M0 . Следовательно,11=— радиус кривизны параболы в точке M0 , аR=k(M0 )2уравнение соприкасающейся окружности для параболы в точкеM0 имеет вид1 212x + y−= .2Задание.
Докажите (пользуясьтеоремой 1 или определением), чтопорядок касания параболы y = x2 исоприкасающейся окружности в точкеM0 равен 2.2) Пусть кривая L задана параметрически:4x = ϕ(t), y = ψ(t),параметр t изменяется на некоторомРис. 11.18.промежутке. Тогдаψ (t)ψ (t)dl = ϕ2 (t) + ψ 2 (t) dt; tg α = , α = arctg ,ϕ (t)ϕ (t)110 Гл. 11.
Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхdα =ψ (t)ϕ (t) − ϕ (t)ψ (t)dt.ϕ2 (t) + ψ 2 (t)Пусть точка M0 кривой L имеет координаты (ϕ(t0 ), ψ(t0 )).Для кривизны кривой L в точке M0 получается формула |ψ (t0 )ϕ (t0 ) − ϕ (t0 )ψ (t0 )| dα k(M0 ) = =.(11.12)3/2dlϕ2 (t0 ) + ψ 2 (t0 )t=t0Пример.
Рассмотрим эллипс (рис. 11.15), заданный уравнениемx2y2+ 2 = 1, где a > b.2abПерейдем к параметрическим уравнениям эллипса:x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2π.Здесь ϕ(t) = a cos t, ψ(t) = b sin t, поэтомуϕ (t) = −a sin t, ψ (t) = b cos t, ϕ (t) = −a cos t, ψ (t) = −b sin t.Для точки M (ϕ(t), ψ(t)) по формуле (11.12) получаем:ab sin2 t + ab cos2 tabk(M ) = = .3/222222222 3/2a sin t + b cos ta sin t + b cos tНа рисунке 11.15 точка M1 соответствует t = π/2, а точка M2 —t = 0. Поэтомуk(M1 ) =abb=,a3a2k(M2 ) =а поскольку a > b, то k(M1 ) < K(M2 ).aba=,b3b2Г л а в а 12КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1. Площадь плоской фигурыПод плоской фигурой будем понимать любое множество точекплоскости.Из курса школьной геометрии известно понятие площадимногоугольника.
При выбранной единице измерения площадейплощадь каждого многоугольника выражается некоторым числом.Рассмотримограниченнуюплоскую фигуру G. МногоугольникQв будем называть вписанным вфигуру G, а многоугольник Qо —описанным около фигуры G, еслиQв ⊂ G ⊂ Qо (рис. 12.1). Через Pв иPо обозначим площади вписанногои описанного многоугольников.Очевидно, что Pв Pо .Рис. 12.1.Пусть {Pв } — множество площадей всех вписанных в фигуру G многоугольников.
Оно ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника)и, следовательно, существует sup {Pв }, который обозначим P .Если в фигуру G нельзя вписать ни одного многоугольника, тоположим P = 0.Аналогично, множество {Pо } площадей всевозможных описанных многоугольников ограничено снизу (например, числомнуль) и, следовательно, существует inf {Pо } =: P .Числа P и P называются нижней иверхней площадью фигуры G.Утверждение: P P .Если допустить, что P > P (см.Рис.
12.2.рис. 12.2), то найдутся такие Pв иPо , для которых выполнено неравенствоPо < Pв , чего не может быть. Таким образом, для любых Pв и Pо112Гл. 12. Кратные интегралывыполняются неравенстваPв P P Pо .(12.1)Определение. Плоская фигура G называется квадрируемой,если P = P . При этом число P = P = P называется площадьюфигуры G (по Жордану).Примеры.1.
Всякий многоугольник является, очевидно, квадрируемой фигурой в смысле данного определения, и его площадь по Жордануравна площади, введенной в элементарной геометрии.2. Примером неквадрируемой фигуры является множество точекG = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1, x и y − рациональные числа}.Так как P = 0, P = 1 (обоснуйте это), то P = P , поэтому фигураG не квадрируема.Теорема 1. Для того, чтобы плоская фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 существовалитакие вписанный и описанный многоугольники, для которыхPо − Pв < ε.Доказательство. 1) Необходимость. Пусть G — квадрируемая фигура, то есть P = P = P . Согласно определению точныхграней числового множества ∀ε > 0 найдутся такие вписанныйи описанный многоугольники, площади которых удовлетворяютнеравенствамεεP − Pв < , Pо − P < .22Складывая эти неравенства, получаем Pо − Pв < ε, и, тем самым,утверждение о необходимости доказано.2) Достаточность.
Пусть∀ε > 0 существуют Qв и Qо , длякоторых Pо − Pв < ε. Отсюда ииз неравенств (12.1) следует, что0 P − P < ε, а так как ε — произвольное положительное число,то P − P = 0, то есть P = P . Этои означает (по определению), чтофигура G квадрируема. Утверждение о достаточности доказаРис. 12.3.но.Пусть функция y = f (x) неотрицательна и непрерывна на сегменте [a, b] (рис. 12.3).
Фигура,ограниченная графиком этой функции, отрезком [a, b] оси Ox идвумя вертикальными отрезками (x = a и x = b; каждый из этих1. Площадь плоской фигуры113отрезков может вырождаться в точку), называется криволинейной трапецией.Теорема 2. Криволинейная трапеция квадрируема и ее площадь P выражается формулойb(12.2)P = f (x)dxaДоказательство. Так как функцияf (x) непрерывна на сегменте [a, b],то она интегрируема на этом сегменте. Поэтому ∀ε > 0 найдется такое разбиение сегмента [a, b],для которого S − s < ε, где S иs — верхняя и нижняя суммы этого разбиения. Заметим, что S —площадь описанного около криволинейной трапеции ступенчатогомногоугольника (S = Pо ), а s —Рис.
12.4.площадь вписанного ступенчатогомногоугольника (s = Pв ) (рис. 12.4). Таким образом, для ∀ε > 0существуют такие вписанный и описанный многоугольники, длякоторых Pо − Pв < ε. Следовательно, согласно теореме 1, криволинейная трапеция квадрируема.Пусть ее площадь равна P . Тогда для любых Qв и Qо выполняются неравенства Pв P Pо , в частности, s P S .Перейдем в этих неравенствах к пределу при Δ → 0 (Δ —максимальная длина частичного сегмента разбиения сегментаb[a, b]). Так как lim s = lim S = f (x)dx (лемма Дарбу), тоbΔ→0Δ→0aP = f (x)dx. Теорема 2 доказаaна.Примеры.
1. Найти площадьфигуры, ограниченной эллипсомx2y2+= 1 (рис. 12.5).a2b2Искомая площадь P в четыре раза больше площади заштрихованной фигуры, а ееРис. 12.5.114Гл. 12. Кратные интегралыможно вычислить по формуле (12.2), в которой нужно положитьa = 0, b = a, f (x) = bx21 − 2 . Итак,aa 1−P = 4b0x2dx.a2Для вычисления интеграла можно сделать замену переменπной x = a sin t, 0 t . В результате получим P = πab.22. На рис. 12.6 изображена плоскаяфигура, ограниченная отрезками OA иOB , а также непрерывной кривой, заданной в полярных координатах уравнениемr = r(ϕ), ϕ1 ϕ ϕ2 .Рис. 12.6.Такая фигура называется криволинейным сектором. Площадь P криволинейного сектора выражаетсяформулойϕ21P =r2 (ϕ)dϕ.2ϕ1Обоснование этой формулы будет дано ниже.§ 2.
Двойные интегралыОбластью (открытой областью) обычно называют любоеоткрытое связное множество в Rn . Объединение области и ееграницы называется замкнутой областью. В дальнейшем, еслизамкнутость не существенна, под словом область будем пониматьлибо открытую, либо замкнутую область. Если же замкнутостьсущественна, то будем говорить «замкнутая область».Введем понятие диаметра множества. Пусть G — ограниченное множество точек в пространстве Rn , в частости, на плоскости, и пусть M1 и M2 — две произвольные точки из G. Числовое множество {ρ(M1 , M2 )} ограничено сверху и, следовательно,имеет точную верхнюю грань.
Числоd = sup {ρ(M1 , M2 )}M1 ∈GM2 ∈G2. Двойные интегралы115называется диаметром множества G.Примеры: диаметр прямоугольника равен его диагонали,диаметр эллипса равен его бо́льшей оси.Пусть G — квадрируемая(и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости (x, y)и пусть в области G определена ограниченная функцияz = f (x, y) = f (K) (K = (x, y)).Разобьем область G на n квадnрируемых частей Gi : G =Gii=1(рис. 12.7), так что любые двеРис. 12.7.части Gi и Gj не имеют общихвнутренних точек; в каждой части Gi возьмем произвольнымобразом точку Ki (ξi , ηi ) и составим суммуI(Gi , Ki ) =nf (Ki )P (Gi ), где P (Gi ) − площадь Gi .i=1Число I(Gi , Ki ) называется интегральной суммой функцииf (x, y), соответствующей данному разбиению области G и данному выбору промежуточных точек Ki .
Введем обозначение: di —диаметр Gi , d = max di .1inОпределение предела интегральных сумм при d → 0 вводится так же, как для определенного интеграла. Если существуетlim I(Gi , Ki ) = I , то число I называется двойным интеграломd→0от функции f (x, y) по области G и обозначается так:f (x, y)dxdy (иногда так: f (K)dS),I=GGа функция f (x, y) называется интегрируемой в области G.Геометрический смысл двойного интегралаЕсли f (x, y) , (x, y) ∈ G — непрерывная неотрицательнаяf (x, y) — объем тела, изображенного на рисунфункция, тоGке 12.8. Если f (x, y) = 1, то любая интегральная сумма такой116Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
