В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 16
Текст из файла (страница 16)
11.4). Точка O — особая точка этой кривой, так какРис. 11.4.Fx (0; 0) = Fy (0; 0) = 0. Очевидно, чтов окрестности точки O обе прямые4*100 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхнельзя задать одним и тем же уравнением вида y = f (x) илиx = f (y).
Любая точка (a; a) или (a; −a), где a = 0, являетсяобыкновенной точкой данной кривой.Пусть кривая L задана параметрически: x = ϕ(t), y = ψ(t) ипусть ϕ2 (t0 ) + ψ 2 (t0 ) = 0. Пусть, например, ϕ (t0 ) = 0. Тогдав силу непрерывности ϕ (t) = 0 и сохраняет знак в некоторойокрестности точки t0 , поэтому x = ϕ(t) — строго монотоннаяфункция в этой окрестности точки t0 и, следовательно, имеет обратную функцию t = ϕ−1 (x). Подставив ее в уравнение y = ψ(t),получим явное уравнение кривой L: y = ψ(ϕ−1 (x)) =: f (x) внекоторой окрестности точки M0 (ϕ(t0 ), ψ(t0 )). Отметим, чтоψ (t) f (x) = −1 .(11.4)ϕ (t)t=ϕ(x)Аналогичная ситуация возникает в случае, когда ψ (t0 ) = 0.В этом случае кривая L будет иметь явное уравнение x = ϕ(ψ −1 (y)) =: g(y) в некоторой окрестности точкиM0 (ϕ(t0 ), ψ(t0 )).Если же ϕ2 (t0 ) + ψ 2 (t0 ) = 0, то есть ϕ (t0 ) = ψ (t0 ) = 0, тов окрестности точки M0 (ϕ(t0 ), ψ(t0 )) кривая L может не иметьявного уравнения.Точку M0 (ϕ(t0 ), ψ(t0 )) кривой L, для которой ϕ2 (t0 ) ++ ψ 2 (t0 ) = 0 (= 0) будем называть особой (обыкновенной) точкой этой кривой.К особым точкам кривой, заданной параметрически, будем относить также кратные точки кривой, то есть точки, соответствующие нескольким значениям параметра t.Пример.
Рассмотрим кривую,заданную параметрически уравнениямиx = t2 , y = t2 (1 + t), t ∈ (−∞, +∞).Здесь ϕ(t) = t2 , ψ(t) = t2 (1 + t), и,Рис. 11.5.следовательно, ϕ (0) = ψ (0) = 0.Значению t = 0 соответствует на кривой точка O(0; 0). Согласноопределению, она является особой точкой кривой. На рис. 11.5видно, что в окрестности точки O кривая не имеет явногоуравнения, поскольку каждому x > 0 соответствуют два2. Огибающая однопараметрического семейства кривых101значения y и также каждому y > 0 соответствуют два значенияx. Любая точка этой кривой при t = 0 является обыкновеннойточкой.Огибающая семейства плоских кривыхРассмотрим уравнениеF (x, y , a) = 0.(11.5)Пусть при каждом фиксированном значении переменной a (изнекоторого промежутка) уравнение (11.5) задает плоскую кривую на плоскости Oxy .
Изменяя a (в пределах указанногопромежутка), будем получать различные кривые. Совокупностьвсех этих кривых называется однопараметрическим семейством кривых, переменная a называется параметром, а уравнение (11.5) — уравнением однопараметрического семействакривых.Пример. Уравнениеy − (x − a)2 = 0, a ∈ Rзадает однопараметрическое семейство парабол (рис. 11.6).Заметим, что ось Ox касаетсявсех парабол семейства.Определение. Кривая, которая: 1) в каждой своей точке касается и притом только одной криРис. 11.6.вой данного семейства и2) в различных точках касается различных кривых семейства,называется огибающей данного семейства кривых.В рассмотренном примере ось Ox (прямая y = 0) —огибающая семейства парабол.Необходимое условие огибающейПусть однопараметрическое семейство кривых, заданное уравнением(11.5), имеет огибающую. Рассмотрим точку M (x, y) на огибающей(рис.
11.7). Так как в этой точкеогибающая касается некоторой кривойсемейства, а этой кривой соответствуРис. 11.7.ет определенное значение параметра102 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхa, то, тем самым, каждая точка M (x, y) огибающей соответствует определенному значению параметра a, причем различныеточки огибающей соответствуют различным значениям a (в силу определения огибающей). Таким образом, координаты точкиM (x, y) огибающей являются функциями параметра a. Обозначим их так:x = ϕ(a), y = ψ(a).Эти уравнения являются параметрическими уравнениямиогибающей.
Будем считать, что ϕ(a) и ψ(a) — дифференцируемые функции, и выведем систему уравнений, решением которойявляются эти функции.Так как точка M (ϕ(a), ψ(a)) огибающей лежит также накривой семейства, отвечающей данному значению параметра a,то ее координаты удовлетворяют уравнению (11.5):F (ϕ(a), ψ(a), a) = 0.(11.6)Равенство (11.6) выполняется для любого значения a, то естьявляется тождеством. Продифференцируем его по a:Fx · ϕ (a) + Fy · ψ (a) + Fa = 0.(11.7)x=ϕ(a)y=ψ(a)Так как огибающая и кривая семейства касаются в точкеM (ϕ(a), ψ(a)), то они имеют в этой точке общую касательную, и, значит, одинаковые угловые коэффициенты касательной. Равенство этих угловых коэффициентов, используя формулы (11.3) и (11.4), запишем в виде (при условии ϕ (a) == 0, Fy (ϕ(a), ψ(a), a) = 0)ψ (a)Fx (x, y , a) =−,ϕ (a)откуда получаемFy (x, y , a)x=ϕ(a)y=ψ(a)Fx · ϕ (a) + Fy · ψ (a)= 0.x=ϕ(a)(11.8)y=ψ(a)Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда ϕ (a) = 0и Fy (ϕ(a), ψ(a), a) = 0.
В силу (11.8) из (11.7) следует равенствоFa ϕ(a), ψ(a), a = 0.(11.9)2. Огибающая однопараметрического семейства кривых103Итак, если огибающая семейства кривых, заданного уравнением (11.5), существует, то функции x = ϕ(a), y = ψ(a),описывающие огибающую, удовлетворяют равенствам (11.6)и (11.9), то есть эти функции являются решением системыуравненийF (x, y , a) = 0, Fa (x, y , a) = 0.(11.10)Это и есть необходимое условие огибающей.Если система (11.10) не имеет решения относительно x и y ,то у семейства кривых (11.5) огибающей нет. Если же система(11.10) имеет решение x = ϕ(a), y = ψ(a), то эти функции могутописывать огибающую, но могут быть и уравнениями кривой, которая не является огибающей. Дело в том, что равенство (11.8) и,следовательно, равенство (11.9), имеет место не только в случаекасания огибающей и кривой семейства в точке M (ϕ(a), ψ(a)),а также и тога, когда в этой точке либо Fx = Fy = 0, либоϕ (a) = ψ (a) = 0.
В этом случае точка M (ϕ(a), ψ(a)) будетособой точкой либо кривой семейства (11.5), либо кривой, описываемой уравнениями x = ϕ(a), y = ψ(a).Кривая, определяемая системой (11.10), называется дискриминантной кривой семейства (11.5). Если кривые семейства идискриминантная кривая не имеют особых точек, то дискриминантная кривая является огибающей. В противном случае дискриминантная кривая может быть либо огибающей, либо множеством особых точек, либо частично тем и частично другим.Примеры. 1) Рассмотрим уравнение(x − a)3 − (y − a)2 = 0, a ∈ R.Оно задает семейство кривых, называемых полукубическимипараболами. Название объясняется тем, что уравнение можнозаписать в виде y − a = ±(x − a)3/2 , и эпитет «полукубические»,относящийся к кривым этого семейства, обусловлен показателемстепени, равным 3/2.В данном примере F (x, y , a) = (x − a)3 − (y − a)2 , поэтомуFa (x, y , a) = −3(x − a)2 + 2(y − a), а система (11.10) имеет дварешения49x = a, y = a и x = a + , y = a +827(убедитесь в этом).Таким образом, дискриминантная кривая состоит из двух прямых, уравнения которых можно записать так:y=xиy =x−4.27104 Гл.
11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхРис. 11.8.В точках прямой x = a, y = a выполняются равенства Fx == Fy = 0, то есть эта прямая является множеством особыхточек кривых семейства (рис. 11.8).Прямая x = a + 4/9, y = a + 8/27 является огибающей: вкаждой своей точке она касается некоторой кривой семейства, ав различных точках касается различных кривых семейства (см.рис. 11.8).2) Кривая y = f (x), имеющая касательную в каждой точке, является огибающей семейства касательных к этойкривой.Выведем уравнение семейства касательных к параболе y = x2 .
Возьмем напараболе произвольную точку M (a; a2 ).(рис 11.9). Угловой коэффициент касательной в этой точке равен y (a) = 2a,а уравнение касательной имеет видРис. 11.9.y − a2 = 2a(x − a) и y = 2ax − a2 (−∞ < a < ∞).Это и есть уравнение однопараметрического семейства касательных к параболе y = x2 .2. Огибающая однопараметрического семейства кривых105Замечание. Понятие огибающей используется в теории дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнениеdy= f (x, y).dxОно называется дифференциальным уравнением первого порядка, и задача состоит в том, чтобы найти все функции y = y(x),удовлетворяющие этому уравнению.
В курсе дифференциальныхуравнений будет доказано, что общее решение данного уравнения зависит от одной произвольной постоянной: y = Φ(x, c), гдеc — произвольная постоянная, а функция Φ определяется правойчастью уравнения, то есть функцией f (x, y). Запишем общеерешение в видеF (x, y , c) := y − Φ(x, c) = 0.Таким образом, общее решение задает однопараметрическое семейство кривых на плоскости (x, y), в качестве параметра выступает произвольная постоянная c.Если это семейство кривых имеет огибающую, то она является графиком так называемого особого решения дифференциального уравнения.Пример. Рассмотримуравнениеdy= 3y 2/3 .dxЕго общее решение найдем,записав уравнение в виdyде= dx, откуда, ин3y 2/3тегрируя обе части равенства, получаем: y 1/3 = x + cили y = (x + c)3 , где c —произвольная постоянная,c ∈ R.
Найденное общее решение дифференциальногоРис. 11.10.уравнения задает семейство кубических парабол(рис. 11.10). Оно имеет огибающую — ось Ox. Это видно непосредственно на рисунке (ось Ox касается всех кривых семейства), а, кроме того, можно найти огибающую, используя систе-106 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривыхму уравнений (11.10), которая в данном случае имеет решениеx = −c, y = 0, задающее ось Ox. Через каждую точку (x, y), нележащую на оси Ox, проходит одно решение дифференциальногоуравнения, а через каждую точку оси Ox проходят 2 решения:одно из них изображается кубической параболой, а другое — этоособое решение y = 0.§ 3. Кривизна плоской кривойРассмотрим плоскую кривую, изображенную нарисунке 11.11.
Выделим на ней два участка одинаковой длины (I и II). Наглядно видно, что искривленность на участке II больше, чем на участке I.Наша задача состоит в том, чтобы ввести количественную характеристику искривленности плоскойкривой (меру искривленности). Эту меру искривленности мы назовем в дальнейшем кривизной плоскойРис. 11.11.кривой.Пусть дана плоская кривая L, в каждой точке которой существует касательная. Будем в каждой точке рассматриватьнаправленную касательную. За направление касательной примем то, которое соответствует направлению движения точкипо кривой, и будем отмечать его стрелкой. Пусть M0 и M —две точки на кривой L. Обозначим через ϕ угол, на которыйповернется направленная касательная при движении по кривойL из точки M0 в точку M (рис.
11.12). Будем считать ϕ 0.Через l обозначим длину дуги M0 M . Ясно, что чем больше искривленность участка M0 M кривой L, тем на больший уголϕ повернется касательная, и наоборот, чембольше угол ϕ (при заданной длине дугиM0 M ), тем больше искривленность участкакривой M0 M . Эти наглядные представленияположим в основу определения кривизныРис. 11.12.кривой.Определение. Средней кривизной участка кривой M0 M наϕзывается отношение.lϕ.Обозначение: kM0 M =lКривизной кривой L в точке M0 называется lim kM0 M .M →M0M ∈L3. Кривизна плоской кривой107Обозначение: k(M0 ) = lim kM0 M .M →M0M ∈LЗамечание.
Согласно нашему определению кривизна (каксредняя, так и в точке) неотрицательна (так как ϕ 0, l > 0).Иногда вводят кривизну со знаком, в этом случае знак отражаетнаправление выпуклости кривой.Примеры.1) Если L — прямая, то для любого ееотрезка M0 M имеем: ϕ = 0 (рис. 11.13), поэтому kM0 M = 0, k(M0 ) = 0, то есть кривизнапрямой (как средняя, так и в каждой точке)равна нулю.Рис. 11.13.2) Длина l дуги M0 M окружности радиуса R выражается формулой l = R· ϕ (рис. 11.14), поэтому11ϕ= , k(M0 ) = , то есть как средняя кривизнаk M0 M =lRRлюбой дуги окружности, так и кривизна в каждой ее точке,1равны .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
