В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, условие 2 теоремы 4 вы∂y1полнено.Наконец,g(M0 ) = F2 x0 , f (x0 , y20 ), y20 = F2 x0 , y10 , y20 = F2 (M0 ) = 0(см. (10.16)), а∂g∂F1(M0 ) = Δ(M0 ) ·(M0 )∂y2∂y1−1= 0(см. (10.20) и (10.16)), то есть выполнено условие 3 теоремы 4.Согласно теореме 4 в некотором параллелепипеде с центром M0 уравнение (10.19) имеет единственное решение относительно y2 :y2 = f2 (x),(10.21)причем f2 (x) — дифференцируемая функция.76Гл. 10. Неявные функцииПодставляя это решение в (10.18), получим дифференцируемую функциюy1 = f (x, f2 (x)) =: f1 (x).(10.22)Таким образом, в некотором параллелепипеде с центром вточке M0 система уравнений (10.15) имеет единственное решение вида (10.21), (10.22), то есть определяет единственную парунеявных функций вида (10.21), (10.22), причем f1 (x) и f2 (x) —дифференцируемые функции.Теорема 5 для m = 2 доказана.Вычисление производных неявных функций y1 = f1 (x)и y2 = f2 (x).
Если подставить (мысленно) в систему уравнений(10.15) функции y1 = f1 (x), y2 = f2 (x), являющиеся решениемэтой системы, то получим тождестваF1 (x, f1 (x), f2 (x)) = 0, F2 (x, f1 (x), f2 (x)) = 0.Продифференцируем эти тождества по какому-то из аргументовxi (i = 1, 2, . . . , n): ∂F∂F1 ∂f1∂F1 ∂f2 1+·+·= 0,∂xi∂y1 ∂xi∂y2 ∂xi y1 =f1 (x), y2 =f2 (x)(10.23) ∂F∂F2 ∂f1∂F2 ∂f2 2+·+·= 0.∂xi∂y1∂xi∂y2∂xiy1 =f1 (x), y2 =f2 (x)Из этой системы двух линейных уравнений относительно про∂f1∂f2иоднозначно определяются указанные производных∂xi∂xiизводные, поскольку определителем системы является якобианD(F , F )12Δ=, который отличен от нуля в точке M0 (см. (10.16)),D(y1 , y2 )а в силу непрерывности отличен от нуля и в некоторой окрестности точки M0 .∂f∂f2Отметим, что выражения для производных 1 и, кото∂xi∂xiрые нетрудно получить из (10.23), будут содержать сами неявные∂fфункции f1 (x) и f2 (x) и, следовательно, чтобы вычислить 1 и∂xi∂f2в данной точке x, нужно сначала найти значения неявных∂xiфункций в этой точке, а для этого нужно решить систему (10.15)относительно y1 и y2 для данной точки x.Если функции F1 (x, y1 , y2 ) и F2 (x, y1 , y2 ) дифференцируемы kраз в окрестности точки M0 , то неявные функции y1 = f1 (x) и2.
О неявных функциях, определяемых системой уравнений77y2 = f2 (x) также дифференцируемы k раз. Их частные производные второго порядка можно найти, дифференцируя производные∂f1∂fи 2 , найденные из системы (10.23), и так далее.∂xi∂xiПример. Доказать, что система уравненийx2 + y 2 + z 2 − 3 = 0, x + y + z − 1 = 0(10.24)определяет в окрестности точки M0 (1; 1; −1) единственную парунеявных функций вида y = f1 (x), z = f2 (x) и найти производныепервого и второго порядков этих неявных функций в точке x = 1.Решение. ФункцииF1 := x2 + y 2 + z 2 − 3иF2 := x + y + z − 1дифференцируемы в любой окрестности точки M0 (1; 1; −1); ихчастные производные∂F1∂F1∂F2∂F2= 2y ,= 2z ,= 1,=1∂y∂z∂y∂zнепрерывны в точке M0 ;2 −2D(F1 , F2 ) = 4 = 0.F1 (M0 ) = 0, F2 (M0 ) = 0,= 1 1D(y , z) M0Таким образом, для системы уравнений (10.24) выполнены всеусловия теоремы 5, согласно которой в некоторой окрестноститочки M0 система уравнений (10.24) определяет единственнуюпару функций вида y = f1 (x), z = f2 (x), дифференцируемых вокрестности точки x = 1.
Более того, поскольку функции F1 иF2 дифференцируемы любое число раз, то неявные функции y == f1 (x) и z = f2 (x) также дифференцируемы любое число раз вокрестности точки x = 1. Отметим также, чтоf1 (1) = 1, f2 (1) = −1.(10.25)Система уравнений для нахождения f1 (x) и f2 (x) получаетсяаналогично системе (10.23), то есть путем подстановки в систему(10.24) неявных функций y = f1 (x), z = f2 (x) и дифференцирования полученных тождеств по x. Это дает тождества2x + 2f1 (x)f1 (x) + 2f2 (x)f2 (x) = 0,1 + f1 (x) + f2 (x) = 0,78Гл.
10. Неявные функциииз которых находим f1 (x) и f2 (x):f1 (x) =f2 (x) − xx − f1 (x), f2 (x) =.f1 (x) − f2 (x)f1 (x) − f2 (x)(10.26)Полагая в этих формулах x = 1 и учитывая равенства (10.25),находим f1 (1) и f2 (1):f1 (1) = −1, f2 (1) = 0.(10.27)Далее, используя формулы (10.26), находим f1 (x) и f2 (x):f1 (x) =f2 (x)(f2 (x) − 1)(f1 (x) − f2 (x)) − (f2 (x) − x)(f1 (x) − f2 (x)),(f1 (x) − f2 (x))2(1 − f1 (x))(f1 (x) − f2 (x)) − (x − f1 (x))(f1 (x) − f2 (x))=.(f1 (x) − f2 (x))2Полагая в этих формулах x = 1 и учитывая равенства (10.25) и(10.27), получаем:f1 (1) = −1, f2 (1) = 1.Задание. Нарисуйте сферу и плоскость, которые задаютсяуравнениями (10.24) в прямоугольной системе координат Oxyz .Изобразите окружность (обозначим ее ω ), по которой пересекаются сфера и плоскость, и отметьте на ней точку M0 (1; 1; −1).Выделите в малой окрестности этой точки дугу окружности ω ирассмотрите проекции этой дуги на координатные плоскости Oxyи Ozx.
Эти проекции являются графиками функций y = f1 (x) иz = f2 (x), то есть тех самых неявных функций, которые определяются уравнениями (10.24) в окрестности точки M0 .Отметьте теперь на окружности ω точку M1 (−1; 1; 1) и попробуйте спроектировать дугу этой окружности, содержащуюточку M1 , на плоскости Oxy и Ozx. С какими трудностями выстолкнетесь? Объясните их.§ 3. Зависимость функцийПонятие зависимости функций. В курсе линейной алгебрыбыло введено понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. В частности, в пространстве C[a, b] функций,непрерывных на сегменте [a, b], линейная зависимость функций3.
Зависимость функций79y1 (x), y2 (x), ..., ym (x) означает, что хотя бы одна из этих функцийявляется линейной комбинацией остальных:yk (x) = C1 y1 (x) + ... + Ck−1 yk−1 (x) + Ck+1 yk+1 (x) + ... + Cm ym (x),где Ci — некоторые числа.В этом параграфе мы введем более общее понятие зависимости функций, которое включает в себя как частный случайпонятие линейной зависимости.Начнем с примера:y1 (x) = x, y2 (x) = x2 , a x b.Функции y1 (x) и y2 (x) не являются линейно зависимыми насегменте [a, b], так как ни при каком числе C равенство y1 (x) == Cy2 (x), то есть x = Cx2 (и также равенство y2 (x) = Cy1 (x),то есть x2 = Cx), не может выполняться для всех x из сегмента[a, b].
Вместе с тем, между данными функциями существуетзависимость, а именно,y2 (x) = y12 (x) ∀x ∈ [a, b],но эта зависимость нелинейная.Перейдем к общему понятию зависимости функций, котороемы введем для дифференцируемых функций, поскольку рассматриваемые ниже теоремы о зависимости и независимости функций относятся к дифференцируемым функциям.Пусть функцииy1 = f1 (x1 , ..., xn ), y2 = f2 (x1 , ..., xn ), ..., ym = fm (x1 , ..., xn )(10.28)определены и дифференцируемы в некоторой области D ⊂ Rn(областью мы называем открытое связное множество точек изRn ).Определение.
Функция yk = fk (x1 , ..., xn ) называется зависимойв области D от остальных функций системы (10.28), если длявсех точек области D эту функцию можно представить в видеyk = Φ(y1 , ..., yk−1 , yk+1 , ..., ym ),(10.29)где Φ(y1 , ..., yk−1 , yk+1 , ..., ym ) — дифференцируемая функциясвоих аргументов.Замечания.1. Равенство (10.29) нужно понимать так: если вместо y1 , .., ym80Гл. 10.
Неявные функцииподставить функции (10.28), то получится тождество, справедливое для всех x = (x1 , x2 , ..., xn ) из области D ,fk (x) ≡ Φ f1 (x), ..., fk−1 (x), fk+1 (x), ..., fm (x) .2. В данном определении существенно то, что функция Φ зависиттолько от y1 , ..., ym (кроме yk ) и не зависит от x1 , ..., xn .Определение. Функции (10.28) называются зависимыми в области D , если одна из них (все равно какая) зависит в этойобласти от остальных функций. В противном случае функции(10.28) называются независимыми в области D .Примеры.1. Функцииy1 = x1 + x2 + x3 + x4 , y2 = x1 − x2 + x3 − x4 ,y3 = (x1 + x3 )2 + (x2 + x4 )2зависимы в любой области D ⊂ R4 , поскольку для любой точ1 2ки (x1 , x2 , x3 , x4 ) выполняется равенство y3 =y1 + y22 , и21 22функция Φ =y + y2 является, очевидно, дифференцируемой2 1функцией.2.
Докажем, что функцииy1 = x1 + x2иy2 = x1 x2(10.30)являются независимыми в любой окрестности точки M0 (0; 0).(Интуитивно ясно, что сумму x1 + x2 нельзя выразить черезпроизведение x1 x2 , и также x1 x2 нельзя выразить через x1 + x2 ).Предположим, что функции (10.30) зависимы в некоторойокрестности ω точки M0 .
Тогда для всех точек (x1 , x2 ) из этойокрестности либо y1 = Φ(y2 ), либо y2 = Φ(y1 ).Допустим, что y1 = Φ(y2 ), то есть для любой точки (x1 , x2 )из ω выполняется равенствоx1 + x2 = Φ(x1 x2 ).(10.31)Рассмотрим отрезок L1 = {(x1 , x2 ) : −δ x1 δ , x2 = 0} прямой x2 = 0, содержащийся в ω . На этом отрезке x1 x2 = 0,x1 + x2 = x1 , поэтому равенство (10.31) принимает вид x1 == Φ(0) = const, но это противоречит тому, что на отрезке L1координата x1 не является постоянной, а изменяется от −δ до δ .3. Зависимость функций81Если допустить, что y2 = Φ(y1 ), то естьx1 x2 = Φ(x1 + x2 ),(10.32)то к аналогичному противоречию придем, рассмотрев отрезок L2прямой x1 = −x2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
