В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пусть u(x, t) =e 4t , −∞ < x < ∞, t > 0.t1)Докажите, что функция u(x, t) удовлетворяет уравнению теплопроводностиut = uxx .44Гл. 9. Функции многих переменныхЭто уравнение играет важную роль в математической физике.Оно описывает процесс распространения тепла в одномерномстержне, функция u(x, t) — это температура в точке стержня скоординатой x в момент времени t. Данная функция называетсяфундаментальным решением уравнения теплопроводности, онаописывает изменение температуры в разных точках x бесконечного стержня с изменением времени t в том случае, когда доначального момента времени t = 0 температура во всех точкахстержня равнялась нулю, а в момент t = 0 стержню сообщенонекоторое количество тепла в точке x = 0.2) Постройте следующие графики температуры u(x, t):1.

графики u(x, t) как функции x при трех фиксированныхзначениях времени t1 , t2 и t3 , таких, что 0 < t1 < t2 < t3 ;2. графики u(x, t) как функции t при трех фиксированныхзначениях x: x = 0, x = x1 и x = x2 , причем 0 < x1 < x2 .Теорема 18 (о равенстве смешанных производных). Еслив некоторой окрестности точки M0 (x0 , y0 ) функция u = f (x, y) и f , и если этиимеет смешанные частные производные fxyyxсмешанные производные непрерывны в точке M0 , то они равныв этой точке:fxy(x0 , y0 ) = fyx(x0 , y0 ).Доказательство.

Рассмотрим квадрат M0 M1 M2 M3 со сторонами,параллельными осям координат и равными h, причем возьмем hстоль малым, чтобы квадрат целиком лежал в указанной окрестности точки M0 (рис. 9.20). Введем функцииF (h) = f (M2 ) − f (M1 ) − f (M3 ) + f (M0 ) == f (x0 + h, y0 + h) − f (x0 + h, h) − f (x0 , y0 + h) + f (x0 , y0 )иТогдаϕ(x) = f (x, y0 + h) − f (x, y0 ).F (h) = ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ).(9.18)Применяя формулу Лагранжа конечных приращений, приходимк равенствамF (h) = ϕ (x0 + θ1 h)·h = [fx (x0 + θ1 h, y0 + h) − fx (x0 + θ1 h, y0 )]·h,где θ1 — некоторое число из интервала 0 < θ1 < 1.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков45К разности, стоящей в квадратных скобках, снова применимформулу Лагранжа (теперь попеременной y ), получим равенствоF (h) = fxy(x0 + θ1 h, y0 + θ2 h) · h2 ,где θ2 — некоторое число из интервала 0 < θ2 < 1.Рис. 9.20.Так как по условию функция fxy непрерывна в точке (x + θ h, y + θ h) можно представить в видеM0 (x0 , y0 ), то fxy1002fxy (x0 + θ1 h, y0 + θ2 h) = fxy (x0 , y0 ) + α(h), где α(h) → 0 приh → 0.

Таким образом, F (h) = fxy(x0 , y0 ) + α(h) · h2 .(9.19)Введем еще одну функцию:ψ(y) = f (x0 + h, y) − f (x0 , y0 ).Тогда F (h) = ψ(y0 + h) − ψ(y0 ) и, преобразуя это выражениедля F (h) таким же образом, как и выражение (9.18), приходимк равенству F (h) = fyx(x0 , y0 ) + β(h) · h2 ,(9.20)где β(h) → 0 при h → 0.Приравняем выражения (9.19) и (9.20) для F (h), сократимравенство на h2 и перейдем к пределу при h → 0. Получим (x , y ) = f (x , y ), что и требовалось доказать.равенство fxy0 0yx 0 0Замечание. Имеет место более сильная теорема, нежели теорема 18, а именно: если u = f (x, y) имеет в окрестности точки , причем f непреM0 (x0 , y0 ) частные производные fx , fy и fxyxyрывна в точке M0 , то в точке M0 существует fyx и справедливоравенствоfxy(x0 , y0 ) = fyx(x0 , y0 ).Определение.

Функция u = f (x1 , . . . , xm ) называется дважды дифференцируемой в точке M0 (x01 , . . . , x0m ), если она дифференцируема в некоторой окрестности точки M0 и все ее частные производные 1-го порядка дифференцируемы в самой точкеM0 .46Гл. 9. Функции многих переменныхПонятие n-кратной дифференцируемости функции вводитсяпо индукции. Пусть уже введено понятие (n − 1)-кратной дифференцируемости функции u = f (x1 , . . .

, xm ). Будем говорить,что эта функция n раз дифференцируема в точке M0 , если она(n − 1) раз дифференцируема в некоторой окрестности точки M0и все ее частные производные (n − 1)-го порядка дифференцируемы в самой точке M0 .Отметим, что если функция u = f (x1 , . . . , xm ) n раз дифференцируема в точке M0 , то эта функция и все ее частные производные до (n − 2)-го порядка включительно дифференцируемы внекоторой окрестности точки M0 (докажите это).Сформулируем еще две теоремы о равенстве смешанных производных.Теорема 18а . Если функция u = f (x, y) дважды дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ), тоfxy(x0 , y0 ) = fyx(x0 , y0 ).Доказательство проводится сходно с тем, как была доказанатеорема 18 (см. [1]).Теорема 18б .

Если функция u = f (x1 , . . . , xm ) n раз дифференцируема в точке M0 , то все ее смешанные частные производные в точке M0 до n-го порядка включительно не зависят отпорядка дифференцирования.Дифференциалы высших порядковРассмотрим сначала функцию двух переменных. Пусть функция u = f (x, y) независимых переменных x и y дважды дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ), то есть она дифференцируема внекоторой окрестности точки M0 и ее частные производные∂u∂u∂xидифференцируемы в точке M0 .

Рассмотрим дифференциал∂yфункции в окрестности точки M0 :du =∂u∂u(x, y)dx + (x, y)dy.∂x∂y(9.21)Отметим, что дифференциал du является функцией четырехпеременных: x , y , dx , dy .Чтобы ввести дифференциал второго порядка функции u == f (x, y), будем рассматривать du как функцию только x и y , тоесть так, как если бы dx и dy были фиксированными числами(постоянными множителями).7. Частные производные и дифференциалы высших порядков∂u47∂uТак какидифференцируемы в точке M0 , то du∂x∂yявляется дифференцируемой функцией переменных x и y в точкеM0 .Определение. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции u = f (x, y) в точке M0 называется дифференциал от первого дифференциала du при следующихусловиях:1.

du рассматривается как функция только x и y ,∂u∂u2. при вычислении дифференциалов от(x, y) и(x, y)∂x∂yприращения Δx и Δy независимых переменных x и yберутся такими же, как в выражении (9.21) для du, то естьравными dx и dy .Итак,d2 u = d(du)при указанных двух условиях.Из (9.21) и правил дифференцирования следует, что ∂u ∂u ∂u∂u2d u = ddx + dy = d· dx + d· dy =∂x∂y∂x∂y ∂ ∂u ∂ ∂udx +dy dx +=∂x ∂x∂y ∂x ∂ ∂u ∂ ∂u+dx +dy dy =∂x ∂y∂y ∂y2∂ u∂ u∂2u2=(dx) + 2dxdy + 2 (dy)2 .2∂x∂y∂x∂y2(9.22)Отметим, что производные 2-го порядка в равенстве (9.22)∂2u∂2uберутся в точке M0 , а равенствоследует из теоре=∂x∂y∂y∂xмы 18а .Пример. Пусть u = xy ; M0 (1, 0). Требуется найти d2 uM .0Находим частные производные сначала первого, а затем второго порядка:uxxux = y xy−1 , uy = xy ln x,= y (y − 1) xy−2 , uxy = xy−1 + y xy−1 ln x, uyy = xy (ln x)2 .По формуле (9.22) получаем:d2 uM = uxx (M0 ) dx2 + 2uxy (M0 ) dxdy + uyy (M0 ) dy 2 =0= 0 · dx2 + 2 dx dy + 0 · dy 2 = 2 dx dy.48Гл.

9. Функции многих переменныхЗаметим, что выражение (9.22) для d2 u похоже на квадратдвучлена. Его действительно можно записать как квадрат двучлена, но не обычного, а символического (или операторного)двучлена.Назовем оператором правило, посредством которого каждойфункции из заданного множества функций, ставится в соответствие некоторая функция из, вообще говоря, другого множества(одна функция преобразуется в другую функцию). Так, операциюнахождения частной производной функции u(x, y) по аргументуx можно рассматривать как действие оператора (будем обозна∂чать его), который функцию u(x, y) преобразует (переводит)∂xв функцию∂u∂∂u(x, y):u=. Аналогично определяется опе∂x∂x∂x∂частной производной по y .∂y∂∂dx + dy назовем оператором дифференОператор d =∂x∂yраторциала.

При действии этого оператора на функцию u(x, y) полу∂u∂udx + dy .чается дифференциал функции: du =∂x∂yПроизведение операторов определим следующим образом:∂∂∂2∂∂·=;·=∂x ∂y∂x∂y ∂x ∂x ∂ 2∂x∂2= 2;∂x ∂ k ∂ l∂ k+l·= k l,∂x∂y∂x ∂yk и l — натуральные числа.Определим n-ю степень оператора d как n-ю степень двучле∂∂dx + dy .

Тогдана∂x2d =∂y∂∂dx + dy∂x∂y2=∂2∂2∂22(dx)+2dxdy+(dy)2 .22∂x∂y∂x∂yВторой дифференциал функции u(x, y) можно теперь записать в виде∂2∂2d u=dx + dy u.∂x∂yДифференциал n-го порядка функции вводится по индукции.Если функция u(x, y) n раз дифференцируема в точке M0(то есть (n − 1) раз дифференцируема в некоторой окрестноститочки M0 и все ее частные производные (n − 1)-го порядка дифференцируемы в точке M0 ), то дифференциалом dn u n-го поряд-7. Частные производные и дифференциалы высших порядков49ка функции u(x, y) в точке M0 назовем дифференциал в точкеM0 от дифференциала (n − 1)-го порядка при таких же двухусловиях, как и при определении дифференциала 2-го порядка(разумеется с заменой во втором условии частных производныхпервого порядка на частные производные (n − 1)-го порядка):dn u = d dn−1 u(n = 2, 3, .

. .).(9.23)По индукции нетрудно доказать операторную формулу∂n∂nd u=dx + dy u.(9.24)∂x∂yВ случае функции m независимых переменных u = f (x1 , . . .. . . , xm ) дифференциал n-го порядка вводится индуктивно поформуле (9.23), оператор дифференциала имеет видd=∂∂dxm ,dx1 + . .

. +∂x1∂xmи справедлива формула ∂n∂ndxm u.d u=dx1 + . . . +∂x1∂xm(9.25)В частности,2d u= ∂∂dx1 + . . . +dxm∂x1∂xm2u=mi,j=1∂2udxi dxj . (9.26)∂xi ∂xjЕсли аргументы x и y функции u(x, y) не являются независимыми переменными, а являются дифференцируемыми функциями каких-то независимых переменных t1 , . . .

Характеристики

Список файлов лекций