В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 6
Текст из файла (страница 6)
9.11).В точке (0, 0) функция не дифференцируема, и в точкеO(0, 0, 0) касательная плоскость к поверхности S не существует.2*36Гл. 9. Функции многих переменныхВозьмем точку N0 (0, 1, 1) ∈ S . Так как∂z(0, 1) = 0,∂x∂z(0, 1) = 1, то уравнение касательной плоскости к поверхности∂yS в точке N0 имеет вид Z − 1 = y − 1 или Z = y . Эта плоскостьсодержит образующую конуса.II. Производная по направлению и градиентЧастная производная∂uхарактеризует скорость изменения∂xфункции по направлению оси Ox. Скорость изменения функциипо произвольному направлению характеризуется производной поэтому направлению.Пусть функция u == f (x, y , z) = f (M ) определена в окрестности точки M0 ∈ R3 .
Проведем через точку M0 какую-нибудьпрямую L и выберем на нейодно из двух возможныхнаправлений, оно характеризуется единичным векто→−ром l (рис. 9.12). ПустьРис. 9.12.M — произвольная точкаиз указанной окрестности,лежащая на прямой L. Через M0 M обозначим величину направ−−−→ленного отрезка M0 M , то есть−−−→−−−→M0 M , если M0 M ↑↑ l, −−→M0 M =−−−→⎩ − −M0 M , если M0 M ↑↓ l.⎧⎨Определение. Если существуетlimM →M0(M ∈L)f (M ) − f (M0 ), то он наM0 Mзывается производной функции u = f (M ) в точке M0 по направ→−∂u(M0 ) или u→лению l и обозначается− (M0 ).∂llУстановим связь между производной по направлению и частными производными функции в данной точке M0 .→−Пусть M0 (x0 , y0 , z0 ), M (x, y , z) ∈ L, l = {cos α, cos β , cos γ},M0 M = t.
Тогда x = x0 + t cos α, y = y0 + t cos β , z = z0 + t cos γ ,(−∞ < t < ∞) — параметрические уравнения прямой L.6. Геометрический смысл дифференцируемости функции37На прямой L:u = f (M ) = f (x, y , z) == f (x0 + t cos α, y0 + t cos β , z0 + t cos γ) =: ϕ(t) —сложная функция одной переменной t, в частности f (M0 ) = ϕ(0).Поэтому∂uf (M ) − f (M0 )ϕ(t) − ϕ(0)dϕ(M0 ) = lim= lim=(0),∂lM0 MtdtM →M0t→0если этот предел существует.Если функция u = f (x, y , z) дифференцируема в точке M0 , то поправилу дифференцирования сложной функции получаем:∂udx∂udy∂udzdϕ(0) =(M0 ) (0) + (M0 ) (0) + (M0 ) (0),dt∂xdt∂ydt∂zdtа поскольку для любого t, в том числе и для t = 0,dxdydz= cos α,= cos β ,= cos γ , тоdtdtdt∂u∂u∂u∂u(M0 ) =(M0 ) cos α + (M0 ) cos β + (M0 ) cos γ.
(9.15)∂l∂x∂y∂zФормула (9.15) имеет простой физический смысл: она показывает, что если функция u = f (M ) дифференцируема в точкеM0 , то в этой точке скорость изменения функции по заданно→−му направлению l является линейной комбинацией скоростейизменения этой функции по направлениям координатных осей∂u ∂u(то есть линейной комбинацией частных производных,∂x ∂y∂uи), причем коэффициентами этой линейной комбинации вы∂z−→ступают координаты cos α, cos β , cos γ единичного вектора l ,задающего направление; эти коэффициенты являются весовыми множителями, показывающими, какую долю вносит каждаячастная производная в производную (скорость) по направлению→l = {cos α, cos β , cos γ}. В частности, если −l = {1, 0, 0}, то есть→−направление l совпадает с направлением оси Ox, то из формулы(9.15), как и следует ожидать, получаем∂u∂u(M0 ) =(M0 ).∂l∂x38Гл.
9. Функции многих переменныхОпределение. Градиентом дифференцируемой функции u == f (x, y , z) в точке M0 называется векторgrad u(M0 ) =∂u∂u∂u(M0 ) · i + (M0 ) · j + (M0 ) · k ,∂x∂y∂zгде i, j , k — единичные векторы осей координат.Правую часть формулы (9.15) можно теперь записать в виде→−скалярного произведения векторов grad u(M0 ) и l :→−∂u(M0 ) = grad u(M0 ) · l ,(9.16)∂lоткуда следует, что →∂u−(M0 ) = |grad u| · l · cos ϕ = |grad u| · cos ϕ = Прl grad u(M0 ),∂l(9.17)−→где ϕ — угол между векторами grad u(M0 ) и l (рис. 9.13),Пр grad u(M0 ) — проекция вектора grad u(M0 ) на направление→l−l.Из (9.17) получаем: ∂u(M0 )= |grad u(M0 )|∂lmax(при ϕ = 0), Таким образом,вектор grad u в точке M0 показывает направление наибольРис. 9.13.шего роста функции u = f (M )в этой точке, а |grad u| есть скорость роста функции u = f (M ) вточке M0 в этом направлении.Отсюда следует, что вектор grad u однозначно определяетсясамой функцией u = f (M ) и не зависит от выбора системыкоординат.Геометрический смысл градиентаПоверхность S , определяемая уравнением f (x, y , z) == c = const, называется поверхностью уровня функцииu = f (x, y , z).
Можно доказать, что вектор grad u в точкеM0 поверхности уровня S коллинеарен вектору нормали кповерхности S в этой точке. Покажем это на примере.Пример. u = x2 + y 2 + z 2 .S : x2 + y 2 + z 2 = c > 0 — √поверхностью уровня даннойфункции является сфера радиуса c .6. Геометрический смысл дифференцируемости функции39Пустьc = 14.ТогдаM (1, 2, 3) ∈ S . В точке Mgrad u = {2, 4, 6}.
Убедимся в→→том, что grad u(M ) || −n , где −n— вектор нормали к поверхностиS в точке M . В самом деле,→−−n || →r = {1, 2, 3} (рис. 9.14),→а так как grad u(M ) = 2−r,→−тоgrad u(M ) || r ,поэтому→−grad u(M ) || n .Физические примеры.Рис. 9.14.Электростатическое поле, тоесть электрическое поле неподвижных зарядов, можно описать спомощью скалярной функции u(M ) — потенциала электрического поля. Поверхности уровня u(M ) = c — эквипотенциальные поверхности. Напряженность электрического поля выражается формулой→−E = − grad u(M ).В частности, потенциалэлектростатического поляточечного заряда e, помещенного в начало коордиerнат, имеет вид u(M ) = k ,где M — точка с координатами (x, y , z) (рис.
9.15),r = x2 + y 2 + z 2 , постоянная k зависит от выборасистемы единиц. Для напряженности электрического поля получаем выражение:Рис. 9.15.−→ke ∂r ∂r ∂r E (M ) = − grad u(M ) = 2i+ j+ k =∂x∂y∂zrke x y z ke= 2i + j + k = 3 · r,rrrrrгде r = xi + yj + zk .Поле тяготения точечной массы m, находящейся в началекоординат, описывается ньютоновым потенциалом u(M ) = γmr40Гл.
9. Функции многих переменных→−(γ — гравитационная постоянная). Сила F (M ), с которой масса m притягивает единичную массу, помещенную в точкуM (x, y , z), выражается формулой−→γm −r,F (M ) = grad u(M ) = − 3 · →rгде r = xi + yj + zk , r = x2 + y 2 + z 2 .Замечание. Если в каждой точке M области G задан вектор→−a (M ), то говорят, что в области G задано векторное поле→−→a (M ).
Векторное поле вида −a (M ) = grad u(M ) называется потенциальным, а функция u(M ) называется потенциалом этоговекторного поля. Рассмотренные электростатическое и гравита→−→−ционное поля E (M ) и F (M ) — потенциальные векторные поля.Понятие производной по направлению и градиента можноввести для функции любого числа переменных m 2.Рис. 9.16.Рис. 9.17.При m = 2 имеем: u = u(x, y),∂u∂u∂u(M ) =(M ) cos α + (M ) sin α,∂l∂x∂yгде α — угол между вектором l и осью Ox (рис.
9.16),grad u(M ) =∂u∂u(M ) · i + (M ) · j.∂x∂y∂uПример. u = x2 + y 3 . Найти(M ), если M (1, 2), а вектор l∂lсоставляет угол в 30◦ с осью Ox (рис. 9.17).6. Геометрический смысл дифференцируемости функции41∂u∂u(M ) = 2,(M ) = 12, grad u(M ) = 2 · i + 12 · j ,∂x∂y√31∂ul = {cos 30◦ , sin 30◦ } =,, то(M ) = grad u(M ) · l =22∂l√√31+ · 12 = 3 + 6.=2·22Так какВ общем m-мерном случае имеем: u = u(x1 , . .
. , xm );−−−−→M2 ={y1 − x1 , . . . , ym− xm } — m-мерный вектор (рис. 9.18);M−−1− −→M1 M2 = ρ(M1 , M2 ) = (y1 − x1 )2 + . . . + (ym − xm )2 ; скаляр→−→a = {a1 , . . . , am } и b = {b1 , . . . , bm }ное произведение векторов −→−→определяется формулой −a b = a1 b1 + . . . + am bm , а угол ϕ между→−→a и b — формулойвекторами − −→→−a bcos ϕ = −→ ;−|→a|·|b|Рис.
9.18.→−→− l = {cos α1 , . . . , cos αm } — единичный вектор l = 1 , задающий направление; grad u(M ) = ∂u∂u(M ), . . . ,(M ) ;∂x1∂xm→ ∂u−∂u(M ) = grad u(M ) · l =(M ) · cos αj ;∂l∂xjmj=1формула (9.17) также остается в силе.42Гл. 9. Функции многих переменных§ 7. Частные производные и дифференциалы высшихпорядковПусть функция u = f (x1 , . .
. , xm ) имеет частную производную∂u∂uв некоторой окрестности точки M . Тогдаявляется функ∂xi∂xiцией переменных x1 , . . . , xm , определенной в этой окрестноститочки M .∂uОпределение. Если функцияимеет в точке M частную∂xi ∂u ∂производную по переменной xk , то есть существуетв∂xk∂xiточке M , то она называется второй частной производной (иличастной производной 2-го порядка) функции u по переменнымxi , xk в точке M .Для этой второй частной производной используются раз-∂2u(2)личные обозначения:(M ), uxi xk (M ), uxi xk (M ), fxi xk (M ),∂xk ∂xifxi xk (M ).Если k = i, то частная производная 2-го порядка называетсясмешанной частной производной 2-го порядка.Частные производные более высокого порядкавводятся по индукции: n-я частная производная (или частнаяпроизводная n-го порядка) функции u = f (x1 , .
. . , xm ) по аргументам xi1 , xi2 , . . . , xin в точке M определяется равенством∂nu∂∂ n−1 u=∂xin ∂xin−1 . . . ∂xi1∂xin∂xin−1 . . . ∂xi1Если не все номера i1 , . . . , in равны друг другу, то эта частнаяпроизводная называется смешанной частной производной n-гопорядка.Примеры.1. Пусть u = xy . Тогда∂u∂u= y xy−1 ,= xy ln x,∂x∂y∂2u∂2u1y−1y−1=x+yxln x,= y xy−1 ln x + xy · .∂y∂x∂x∂yx∂2u∂2uОбратим внимание на то, что в этом примере=.∂y∂x∂x∂yВозникает вопрос: всегда ли выполняется это равенство? Следу-7.
Частные производные и дифференциалы высших порядков43ющий пример показывает, что ответ на этот вопрос — отрицательный.xy , |y| |x| ,2. Пусть u(x, y) =(рис. 9.19) Найдем−xy , |y| > |x| .uxy (0, 0) и uyx (0, 0).Для любого y = 0 в достаточно малой окрестности точки(0, y) имеем (см. рис. 9.19): u(x, y) = −xy , поэтому ux (x, y) = −y ,в частности ux (0, y) = −y . Заметим, что последнее равенствоверно и при y = 0, то есть ux (0, 0) = 0. В самом деле, посколькуu(x, 0) = 0, то ux (x, 0) = 0 и, в частности, ux (0, 0) = 0.Итак, для любого y справедливо равенство ux (0, y) == −y .
Используя это равенство, находим:uxy (0, y) = −1,в частности,uxy (0, 0) = −1.Аналогичныевычисления приводят к равенствуuyx (0, 0) = 1.Таким образом, в данномРис. 9.19.примере uxy (0, 0) = uyx (0, 0).Замечание. Отметим, что в данном примере частные производные ux (x, y) и uy (x, y) не существуют в точках (x, y), лежащих на прямых y = x и y = −x (за исключением точки (0, 0)),так как в этих точках функция u(x, y) разрывна и по переменнойx, и по переменной y . Поэтому не существует такой окрестноститочки (0, 0), во всех точках которой функция u(x, y) имеет частные производные ux (x, y) и uy (x, y). Это, однако, не препятствуетсуществованию частных производных второго порядка uxy (0, 0)и uyx (0, 0), поскольку для их определения достаточно, чтобычастная производная первого порядка ux существовала в точкахоси y , а частная производная uy — в точках оси x, что и имеетместо в нашем примере.1 − x2√Задание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
