В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, xm ) — внутренняя точка области определения функции u = f (M ) = f (x1 , . . . , xm ). Рассмотрим частноеприращение функции в этой точке, соответствующее приращению Δxk аргумента xk :Δxk u = f (x1 , . . . , xk−1 , xk + Δxk , xk+1 , . . . , xm )−−f (x1 , . . . , xk , . . . , xm ) ;Δxk u зависит только от Δxk (при фиксированной точке M (x1 , .
. .. . . , xm )).Δxk u, то он называетОпределение. Если существует limΔxk →0Δxkся частной производной функции u = f (x1 , . . . , xm ) в точке Mпо переменной xk .Для частной производной по переменной xk в точке M используются различные обозначения: ux (M ),k∂u∂f(M ),(M ),∂xk∂xkux (M ).kВычисление частных производных производится по тем жеправилам, что и вычисление производных функций одной переменной.Примеры.∂u∂u= yxy−1 ,= xy ln x.1. u = xy ,∂x∂y1 на осях координат,2.
u(x, y) =0 в остальных точках.Найдем частное приращение Δx u в точке O(0, 0) (рис. 9.6):Δx u = u(Δx, 0) − u(0, 0) = 1 − 1 = 0. Следовательно,Δx u∂u= 0, то есть(0, 0) = 0. Аналогично находим:∂xΔx→0 Δx∂u(0, 0) = 0.∂ylimОтметим, что lim u(x, y) не существует, и, значит, функцияx→0y→05. Частные производные и дифференцируемость23u(x, y) не является непрерывной в точке O(0, 0). Такимобразом, это пример функции, разрывной в точке, но темне менее имеющей в этой точке частные производные. Дляфункций одной переменной такая ситуация невозможна.Рис. 9.6.Рис. 9.7.Физический смысл частной производной.
Частная производная∂u(M ) характеризует скорость изменения функции в∂xточке M в направлении оси Ox.Замечание. Если M — граничная точка области определенияфункции, то для нее введенное определение частной производнойможет быть непригодно. Например, для точки M0 на рис. 9.7не существует частное приращение Δx u. В этом случае, если∂u(M ) существует во внутренних точках M области определе∂xния функции, то полагают∂u(M0 ) =∂xlimM →M0∂u(M ) (если этот∂xпредел существует).Рассмотрим теперь полное приращение Δu функции u == f (x1 , . . . , xm ) во внутренней точке M (x1 , .
. . , xm ) из областиопределения функции:Δu = f (x1 + Δx1 , . . . , xm + Δxm ) − f (x1 , . . . , xm ).Определение. Функция f (x1 , . . . , xm ) называется дифференцируемой в точке M (x1 , . . . , xm ), если ее полное приращение вэтой точке можно представить в видеΔu = A1 Δx1 + . . . + Am Δxm + α1 Δx1 + . .
. + αm Δxm ,(9.5)где A1 , . . . , Am — какие-то числа (то есть они не зависят отΔx1 , . . . , Δxm ), αi = αi (Δx1 , . . . , Δxm ), i = 1, 2, . . . , m — бесконечно малые функции при {Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0}, равные нулю при Δx1 = . . . = Δxm = 0 (то есть αi (0, . . . , 0) = 0).24Гл. 9. Функции многих переменныхРавенство (9.5) назовем условием дифференцируемостифункции в точке M (x1 , .
. . , xm ).Физический смысл дифференцируемости функции многихпеременныхПоставим такой вопрос: можно ли скорость изменения функции u(x, y) по любому направлению в точке M выразить черезскорости∂u∂u(M ) и(M )? Оказывается, что не всегда. Если∂x∂yu(x, y) дифференцируема в точке M , то можно. Это станет ясноиз дальнейшего.Вспомним, что для функции y = f (x) одной переменной xусловие дифференцируемости имело вид: Δy = AΔx + αΔx == AΔx + o(Δx).Возникает вопрос: Каков аналог слагаемого o(Δx) в случае функции m переменных? Можно предположить, что аналогом будет сумма [o(Δx1 ) + . .
. + o(Δxm )]. Но это не верно!Чтобы дать правильный ответ на поставленный вопрос, обозначим буквой ρ расстояние между точками M (x1 , . . . , xm ) иM (x1 + Δx1 , . . . , xm + Δxm ) (рис. 9.8).Рис. 9.8.Докажем, что условие (9.5) дифференцируемости функцииu = f (x1 , . . . , xm ) в точке M можно записать в видеΔu = A1 Δx1 + . .
. + Am Δxm + o(ρ),(9.6)причем слагаемое o(ρ) = 0 при ρ = 0. Обозначим сумму α1 Δx1 ++ . . . + αm Δxm , входящуюв правую часть равенства (9.5), буквой h. Если ρ =(Δx1 )2 + . . . + (Δxm )2 = 0, то Δx1 = . . . =5. Частные производные и дифференцируемость25= Δxm = 0, поэтому αi (0, . . . , 0) = 0 и, следовательно, h = 0.Если же ρ = 0, тоhΔxΔxα Δx + . . . + αm Δxm= 1 1= α1 1 + .
. . + αm m ,ρρρρи так как {Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0} при ρ → 0, то все αi → 0h Δx при ρ → 0, а поскольку i 1, то → 0 при ρ → 0. Такимρρобразом, h = o(ρ) при ρ → 0 и h = 0 при ρ = 0. Мы доказали,что из (9.5) следует (9.6).Докажем, что верно и обратное, то есть если приращениеΔu функции u = f (x1 , . . . , xm ) в точке M можно представитьв виде (9.6), где слагаемое o(ρ) равно нулю при ρ = 0, тоΔu можно представить и в виде (9.5), причем все αi → 0 при{Δx1 → 0, . . .
, Δxm → 0} и αi = 0 при Δx1 = . . . = Δxm = 0.Обозначим слагаемое o(ρ) в равенстве (9.6) буквой h. Если ρ = 0,тоh ρ2h Δx21 + . . . + Δx2mh= ·==ρ ρ ρρ h Δx h Δx1mΔx1 + . . . +Δxm .··=ρρρρh Δxi·черезρρho(ρ)αi . Она определена при ρ = 0 и так как=→ 0 приρρ Δx ρ → 0 и i 1, то αi → 0 при ρ → 0 и, значит, αi → 0ρДля каждого i = 1, 2, . . . , m обозначим функциюпри {Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0}. Если ρ = 0, то есть Δx1 = . . . == Δxm = 0, то положим αi = 0 (i = 1, 2, . . . , m).
Таким образом,мы представили функцию h в виде h = α1 Δx1 + . . . + αm Δxm ,причем функции αi → 0 при {Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0} и αi = 0при Δx1 = . . . = Δxm = 0. Это означает, что условие (9.6) можнозаписать в виде (9.5).Замечание. Если функция u = f (x1 , . . . , xm ) дифференцируема в точке M , то она и непрерывна в точке M .В самом деле, если функция u = f (x1 , . . .
, xm ) дифференцируема в точке M , то ее полное приращение Δu в этой точке можно представить в виде (9.5), откуда следует, что lim Δu = 0,Δx1 →0......Δxm →0а это и означает (согласно разностной форме условия непрерывности функции), что данная функция непрерывна в точке M .26Гл. 9. Функции многих переменныхСвязь дифференцируемости с существованием частныхпроизводных. Для функции одной переменной y = f (x) существование производной в точке x0 является необходимым идостаточным условием дифференцируемости функции в точкеx0 . Для функции многих переменных существование частныхпроизводных в точке M0 уже не является достаточным условиемее дифференцируемости в этой точке.Теорема 14 (необходимое условие дифференцируемостифункции).
Если функция u = f (x1 , . . . , xm ) дифференцируема вточке M (x1 , . . . , xm ), то она имеет в точке M частные производные по всем переменным.Доказательство. Запишем условие дифференцируемости функции в точке M в виде (9.5):Δu = A1 Δx1 + . . . + Am Δxm + α1 Δx1 + . . . + αm Δxm .Положим все Δxi = 0, кроме Δxk , а Δxk = 0, где k — любойномер от 1 до m.
Тогда Δu = Δxk u = Ak Δxk + αk Δxk , где Ak —число, αk → 0 при Δxk → 0. Отсюда получаем:Δxk u= Ak +ΔxkΔxk u= Ak .Δxk →0 Δxk∂u(M ) = Ak (k = 1, 2 . . . , m).Таким образом, существует∂xk+ αk → Ak при Δxk → 0, то есть ∃ limТеорема доказана.Следствие. Условие (9.5) дифференцируемости функции вточке M можно записать в видеΔu =∂u∂u(M )Δx1 + . . . +(M )Δxm + α1 Δx1 + . .
. + αm Δxm .∂x1∂xm(9.7)Отметим, что обратное к теореме 14 утверждение не верно.Пример.1 на осях координат,u(x, y) =0 в остальных точках.∂u∂u(0, 0) =(0, 0) = 0 (это было показано ранее), но функ∂x∂yция u(x, y) не является непрерывной в точке O(0, 0), а потому недифференцируема в точке O(0, 0).Таким образом, существование частных производных — только необходимое, но не достаточное условие дифференцируемостифункции в данной точке.5. Частные производные и дифференцируемость27Теорема 15 (достаточное условие дифференцируемостифункции). Если функция u = f (x1 , . . .
, xm ) имеет частные производные по всем переменным в некоторой ε-окрестности точкиM (x1 , . . . , xm ), причем в самой точке M эти частные производные непрерывны, то функция дифференцируема в точке M .Доказательство. Проведем доказательство теоремы для функции двухпеременных u = f (x, y)(для сокращения записи).
Пусть частные производные fx и fy существуют в ε-окрестноститочки M (x, y) и непрерывны в самой точке M .Возьмем Δx и Δyстоль малыми, чтобыточка M1 (x + Δx, y +Рис. 9.9.+ Δy) лежала в этойε-окрестности точки M , и рассмотрим полное приращение функции в точке M :Δu = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y) == [f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y + Δy)] + [f (x, y + Δy) − f (x, y)] == fx (x + θ1 Δx, y + Δy) · Δx + fy (x, y + θ2 Δy) · Δy ,где 0 < θi < 1, i = 1, 2.К разностям в квадратных скобках мы применили формулуЛагранжа конечных приращений, при этом производные fx и fyберутся в промежуточных точках M3 и M4 (рис. 9.9).Так как по условию теоремы fx и fy непрерывны в точ, y) + αке M (x, y), то fx (x + θ1 Δx, y + Δy) = fx (x1 , fy (x, y ++ θ2 Δy) = fy (x, y) + α2 , где α1 и α2 → 0 при= 0 при Δx = Δy = 0.Следовательно,Δx→0Δy→0, α1 = α2 =Δu = fx (x, y)Δx + fy (x, y)Δy + α1 Δx + α2 Δy ,то есть выполнено условие дифференцируемости функции f (x, y)в виде (9.7).
Теорема 15 доказана.28Гл. 9. Функции многих переменныхЗадания.1.⎧⎨ (x2 + y 2 ) sin 1, x2 + y 2 = 022x +yu(x, y) =⎩x2 + y 2 = 0 .0,Докажите, что u(x, y) имеет частные производные ux иuy во всех точках плоскости, эти частные производныене являются непрерывными в точке O(0, 0), но функцияu(x, y) дифференцируема в точке O(0, 0).Этот пример показывает, что условие теоремы 15 являетсятолько достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции.2.1, на осях координат,u(x, y) =0, во всех остальных точках.Докажите, что частные производные ux и uy непрерывны вточке O(0, 0).
Вместе с тем, эта функция не дифференцируема в точке O(0, 0).Объясните, почему этот пример не противоречит теореме 15.Дифференцируемость сложной функцииРассмотрим сложную функцию z = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)), то естьz = f (x, y), где x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v).Теорема 16. Пусть:1. функции x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) дифференцируемы в точке(u0 , v0 );2. функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ), гдеx0 = ϕ(u0 , v0 ), y0 = ψ(u0 , v0 ).Тогда сложная функция z = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) дифференцируемав точке (u0 , v0 ).Доказательство. Дадим произвольные приращения Δu и Δv аргументам u и v в точке (u0 , v0 ). Функции x = ϕ(u, v) и y = ψ(u, v)получат приращения Δx и Δy , которые в силу условия 1 можнопредставить в виде∂ϕ(u , v ) Δu +∂u 0 0∂ψΔy =(u , v ) Δu +∂u 0 0Δx =∂ϕ(u , v ) Δv + α1 Δu + α2 Δv ,∂v 0 0∂ψ(u , v ) Δv + β1 Δu + β2 Δv ,∂v 0 0(9.8)где α1 , α2 , β1 , β2 → 0 при {Δu → 0, Δv → 0} и αi = βi = 0 приΔu = Δv = 0.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
