В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Последовательности точек в Rm9Множество {M } называется ограниченным, если все еготочки содержатся в некотором шаре.Множество точекL = {M (x1 , . . . , xm ) : x1 = ϕ1 (t), . . . , xm = ϕm (t),α t β} ,где ϕ1 (t), . . . , ϕm (t) — непрерывные на сегменте [α, β] функции,называется непрерывной кривой в пространстве Rm . Если точкиA(ϕ1 (α), .
. . , ϕm (α)) и B(ϕ1 (β), . . . , ϕm (β)) не совпадают, то ониназываются концами кривой L. Говорят также, что кривая Lсоединяет точки A и B . Если точки A и B совпадают, то криваяназывается замкнутой.Множество точекM (x1 , . . . , xm ): x1 =x01 + α1 t, . . . , xm =x0m + αm t, −∞ < t < +∞ ,где x01 , . . . , x0m и α1 , .
. . , αm — некоторые числа, называется пряRm . Эта прямая проходит через точкумой в пространствеM0 x01 , . . . , x0m .Множество {M } называется связным, если любые две еготочки можно соединить непрерывной кривой, все точки которойпринадлежат {M }.Любое открытое связное множество, содержащее точку A,называется окрестностью точки A.Задание 3. Докажите, что в любой окрестности точки Aсодержится некоторая ε-окрестность этой точки.§ 2. Последовательности точек в RmЕсли каждому натуральному числу n поставлена в соответствие точка Mn ∈ Rm , то говорят, что задана последовательностьточек {Mn } в пространстве Rm .Определение.
Точка A ∈ Rm называется пределом последовательности {Mn }, еслиlim ρ(Mn , A) = 0.n→+∞Обозначение:lim Mn = A ,n→+∞или Mn → A при n → +∞.(n)(n)Лемма 1. Последовательность точек Mn x1 , . . . , xmсходится к точке A(a1 , . . . , am ) тогда и только тогда, когда после-10Гл. 9. Функции многих переменных(n)(n)довательности x1, . . . , xmкоординат точек Mn сходятсяк соответствующим координатам a1 , . . . , am точки A.Утверждение леммы 1 следует из формулы22(n)(n)ρ(Mn , A) =x1 − a1 + . . . + xm − am .Определение.
Последовательность точек {Mn } называетсяфундаментальной, если∀ ε > 0 ∃ N , такое, что ∀ n > N и ∀ m > N : ρ(Mn , Mm ) < ε .Лемма 2. Для того, чтобы последовательность(n)(n)Mn x1 , . . . , xmбыла фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобыфун(n)даментальными были числовые последовательности x1, ....
. . , x(n). (Докажите самостоятельно).mТеорема 1 (Критерий Коши сходимости последовательности). Для того, чтобы последовательность {Mn } сходилась,необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.Доказательство. Пусть последовательность(n)(n)Mn x1 , . . . , xm—фундаментальная. Тогда по лемме 2 последовательности(n), . . . , x(n)также являются фундаментальными, и,x1mследовательно, они сходятся. Отсюда следует (по лемме 1), чтосходится и последовательность {Mn }.Доказательство того, что из сходимости последовательности{Mn } вытекает ее фундаментальность, проводится аналогично.Определение. Последовательность {Mn } называется ограниченной, если все ее члены лежат в некотором шаре.Эквивалентное определение.
Последовательность {Mn }называется ограниченной, если ∃ R > 0, такое, что∀ n : ρ (Mn , O) R (точка O — начало координат).Теорема 2 (Больцано–Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {Mn } можно выделить сходящуюсяподпоследовательность.3. Предел функции многих переменных11(n)(n)Mn x1 , . . . , xmДоказательство. Пусть— ограниченная последовательность, то есть ∃ R > 0 : ρ (Mn , O) = (n) (n) 2(n) 2=x1+ . . . + xm R.
Отсюда получаем: x1 (n) (n)(n), . . . , xm— ограниченные R, . . . , xm R, поэтому x1числовые последовательности.По теореме Больцано–Вейерштрасса для числовыхпоследо(n)можновательностей из ограниченной последовательности x1(k )выделить подпоследовательность x1 n , сходящуюся к некоторому числу a1 .(kn )также можно выделитьИз подпоследовательности x2(mn )сходящуюся подпоследовательность: x2→ a2 . При этом(m )x1 n → a1 .(mn )можно выделитьИз подпоследовательностиx3(l )сходящуюся подпоследовательность: x3 n → a3 . При этом(ln )(ln )x1→ a1 , x 2→ a2 .Продолжая этотна m-ом шаге мы получим процесс, подпо(pn )(pn )(pn )→ a1 , x2→ a2 , . .
., xm→ am .следовательности x1В силу леммы 1 подпоследовательность точек {Mpn } сходится кточке A(a1 , . . . , am ). Теорема 2 доказана.§ 3. Понятие функции многих переменных. Пределфункции многих переменныхПусть {M (x1 , . . . , xm )} — множество точек пространства Rmи пусть каждой точке M из этого множества поставлено всоответствие некоторое число u. Тогда говорят, что на множестве{M } определена функция m переменных.Обозначения: u = f (x1 , . . . , xm ) или u = f (M ).Множество {M } называется областью определения функции, а координаты x1 , .
. . , xm — независимыми переменными(или аргументами функции). Множество значений функциибудем обозначать {u}.В случае функции двух переменных будем использовать обозначения u = f (x, y) или z = f (x, y). График функции двух12Гл. 9. Функции многих переменныхпеременных z = f (x, y) — поверхность в прямоугольной системекоординат Oxyz , точки которой имеют координаты (x, y , f (x, y))(рис.
9.2).Пусть функция u = f (M )определена на множестве {M }и точка A — предельная точкамножества {M }.Определение 1 (по Коши). Число b называется пределом функции u = f (M ) вточке A (при M → A), если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что∀ M ∈ {M }, удовлетворяющейРис. 9.2.условию 0 < ρ(M , A) < δ , выполняется неравенство |f (M ) − b| < ε.(Множество точек {M : 0 < ρ(M , A) < δ} называется проколотой δ -окрестностью точки A.)Определение 2 (по Гейне).
Число b называется пределомфункции u = f (M ) в точке A (при M → A), если ∀ {Mn } →→ A (Mn ∈ {M } , Mn = A) соответствующая последовательность{f (Mn )} → b.Обозначения: lim f (M ) = b или xlimf (x1 , . . . , xm ) = b, где1 →a1M →A.........xm →amA = A(a1 , . . . , am ).Теорема 3. Определения 1 и 2 эквивалентны.Доказательство проводится так же, как и для функции однойпеременной.Примеры.1. Рассмотрим функциюu(x, y) = (x + y) sin11sin .xyОна не определена на осях координат, однако точкаO(0, 0) — предельная точка ее области определения.Справедливо равенствоlim u(x, y) = 0 .x→0y→0Для доказательства можно воспользоваться определениемпредела функции по Коши и для произвольно заданного εεвзять δ = .23.
Предел функции многих переменных132. Рассмотрим функциюu(x, y) =xy.x2 + y 2Докажем, что у этой функции не существуетlim u(x, y) .x→0y→0В самом деле, устремим точку (x, y) к началу координат попрямой y = kx. Тогдаkx2k=.x→0 x2 (1 + k 2 )1 + k2lim u(x, y) = limy=kxx→0Таким образом, при стремлении точки (x, y) к началу координат по разным прямым, получаются разные предельныезначения, поэтому lim u(x, y) не существует.x→0y→03.
Рассмотрим функциюu(x, y) =x2 y.x4 + y 2Устремим точку (x, y) к началу координат по прямой y = kx(k = 0). Тогдаkx3kx=lim= 0.x→0 x4 + kx2x→0 x2 + k 2lim u(x, y) = limy=kxx→0Если точка (x, y) стремится к началу координат по оси x(то есть y = 0) или по оси y (то есть x = 0), то пределтакже равен нулю, поскольку на осях координат даннаяфукнция равна нулю (за исключением точки O(0, 0), вкоторой функция не определена).Таким образом, при стремлении точки (x, y) к началу координат по любой прямой функция u(x, y) стремится к нулю.Однако отсюда еще не следует существование lim u(x, y).x→0y→0В самом деле, устремим точку (x, y) к началу координат попараболе y = kx2 .
Получимkx4k=.44x→0 x + kx1 + k2lim u(x, y) = limy=kx2x→014Гл. 9. Функции многих переменныхПо разным параболам получаем различные предельные значения. Следовательно, lim u(x, y) не существует.x→0y→0Если lim f (M ) = 0, то функция f (M ) называется бесконечM →Aно малой в точке A (или бесконечно малой при M → A).Пусть f (M ) и g(M ) — бесконечно малые функции в точке A.f (M )и этот предел равен C = 0 (равенM →A g(M )Если существует lim1; равен 0), то говорят, что функции f (M ) и g(M ) являютсябесконечно малыми одного порядка в точке A (являются эквивалентыми бесконечно малыми в точке A; говорят, что функцияf (M ) является бесконечно малой более высокого порядка в точкеA, чем функция g(M ), и пишут f = o(g) при M → A).Пример.
Функции f (x, y) = x3 + y 3 и g(x, y) = x2 + y 2 являются бесконечно малыми в точке O(0, 0). Рассмотрим пределf (x, y)x3 + y 3= lim 2.x→0 g(x, y)x→0 x + y 2limy→0y→0Для вычисления предела перейдем к полярным координатам: x == r cos ϕ, y = r sin ϕ. Тогда получим 3r3 cos3 ϕ + sin3 ϕx3 + y 33lim 2=lim=limrcosϕ+sinϕ= 0.x→0 x + y 2r→0r→0r2y→0Следовательно, x3 + y 3 = o x2 + y 2 при M (x, y) → O(0, 0).Теорема 4.
Если функции f (M ) и g(M ) определены на множестве {M } и существуют пределы lim f (M ) = b, lim g(M ) =M →AM →A= c, то существуют пределыlim [f (M ) ± g(M )] = b ± c ,M →Alim f (M )g(M ) = bc ,M →Abf (M )= .cM →A g(M )и если c = 0, то существует limДоказательство теоремы проводится так же, как и доказательство аналогичной теоремы для функций одной переменной.Пусть точка A — предельная точка области определенияфункции f (M ).Определение. Говорят, что функция f (M ) удовлетворяет вточке A условию Коши, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что для3.
Предел функции многих переменных15любых точек M1 и M2 из проколотой δ -окрестности точки A (приэтом точки M1 и M2 берутся из области определения функцииf (M )) выполняется неравенство|f (M2 ) − f (M1 )| < ε .Теорема 5 (Критерий Коши существования пределафункции в данной точке). Для того, чтобы функция f (M )имела предел в точке A, необходимо и достаточно, чтобы онаудовлетворяла в этой точке условию Коши.Доказательство теоремы проводится так же, как и аналогичнойтеоремы для функции одной переменной.Введем теперь понятие предела функции f (M ) при M → ∞.Пусть функция f (M ) определена на множестве {M }, котороесодержит точки, расположенные сколь угодно далеко от началакоординат (точки O ).Определение (по Коши). Число b называется пределомфункции f (M ) при M → ∞, если ∀ ε > 0 ∃ R > 0, такое, что длялюбой точки M из множества {M }, удовлетворяющей условиюρ(M , O) > R, выполняется неравенство|f (M ) − b| < ε .Обозначение: lim f (M ) = b или x lim= b.1 →∞M →∞......xm →∞Задача 1.
Сформулируйте определение предела функцииf (M ) при M → ∞ по Гейне и докажите эквивалентность определений по Коши и Гейне.Примеры (при вычислении предела функции f (x, y) приM (x, y) → ∞ часто оказывается полезным переход к полярнымкоординатам).1.limx→∞y→∞2. x→∞limy→∞x+yr(cos ϕ + sin ϕ)cos ϕ + sin ϕ=limlim= 0.r→∞r→∞rx2 + y 2r2x2 − y 2не существует, так как, перейдя к полярнымx2 + y 2x2 − y 2= cos2 ϕ − sin2 ϕ = cos 2ϕ и,координатам, получаем 22x +yследовательно, на лучах ϕ = const функция имеет постоянное значение; поэтому при M (x, y) → ∞ по различнымлучам получаются разные предельные значения функции.16Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
