В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Говорят, что функция u = f (M ) имеет в точкеM0 локальный максимум (минимум), если существует такая ε-56Гл. 9. Функции многих переменныхокрестность точки M0 , в которой f (M ) < f (M0 ) (f (M ) > f (M0 ))при M = M0 .Теоремаусловие экстремума). Если в 0 20 (необходимое0точке M0 x1 , . . . , xm функция u = f (x1 , .
. . , xm ) имеет локальный экстремум и если в точке M0 существует частная производная∂u∂u(M0 ) = 0., то∂xk∂xkДоказательство. Зафиксируем все аргументы функции, кроме xk ,0положивфункцию одной перемен 0 xi = x0i (i = k),0 и рассмотрим0ной f x1 , . . . , xk−1 , xk , xk+1 , . . . , xm =: ϕ(xk ). Эта функция имеет локальный экстремум в точке xk = x0k и имеет производную вточке x0k : ϕ (x0k ) =∂u(M0 ). По теореме о необходимом условии∂xkэкстремума для функции одной переменной ϕ (x0k ) = 0, то есть∂u(M0 ) = 0.
Теорема доказана.∂xkСледствие. Если функция u = f (M ) имеет в точке M0 локальный экстремум и дифференцируема в точке M0 , тоdu|M0 =∂u∂u(M0 )dx1 + . . . +(M0 )dxm = 0.∂x1∂xmЗамечание. Условие du|M0 = 0 является только необходимым,но не достаточным условием локального экстремума в точке M0дифференцируемой функции. Приведем соответствующий пример.∂u∂uПусть u = xy , тогда(0, 0) = 0,(0, 0) = 0, поэтому∂x∂ydu|(0,0) = 0. Однако в точке O(0, 0) экстремума у данной функции нет, так как в любой окрестности точки O(0, 0) функцияпринимает как положительные, так и отрицательные значения,то есть как значения, большие, чем u(0, 0) = 0, так и значения,меньшие u(0, 0).Точку M0 , в которой du = 0, будем называть точкой возможного экстремума дифференцируемой функции u(M ).
Чтобыустановить, имеет ли функция в такой точке M0 экстремум илинет, нужны достаточные условия экстремума. Чтобы сформулировать такие условия, нам понадобятся некоторые сведения оквадратичных формах.9. Локальный экстремум57Некоторые сведения о квадратичных формахФункцияQ(x1 , . .
. , xm ) ==a11 x21maij xi xj =i,j=1+ a12 x1 x2 + . . . + a1m x1 xm + a21 x2 x1 + . . . + amm x2m ,где aij — числа, aij = aji , называется квадратичной формой отпеременных x1 , . . . , xm .Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если Q(x1 , . . . , xm ) 0 ( 0)∀ (x1 , . . . , xm ), причем Q = 0 лишь в начале координат, то естьпри x1 = . . . = xm = 0.Пример. Q(x1 , x2 ) = x21 + 2x22 — положительно определеннаяквадратичная форма.Положительно и отрицательно определенные квадратичныеформы называются знакоопределенными.Квадратичная форма называется квазизнакоопределенной,если она принимает значения либо только неотрицательные, либо только неположительные, но при этом обращается в нуль нетолько в начале координат.Пример. Q(x1 , x2 ) = x21 − 4x1 x2 + 4x22 = (x1 − 2x2 )2 — квазиположительно определенная квадратичная форма, посколькуона принимает, очевидно, только неотрицательные значения, нообращается в нуль не только в начале координат, например,Q(2, 1) = 0.Квадратичная форма называется знакопеременной, если онапринимает как положительные, так и отрицательные значения.Пример.
Q(x1 , x2 ) = 2x21 − 3x1 x2 − x22 — знакопеременнаяквадратичная форма: Q(1, 0) = 2 > 0, Q(0, 1) = −1 < 0.Матрица⎞⎛a11 a12 · · · a1ma22 · · · a2m ⎟⎜ aA = ⎝ 21··· ··· ··· ··· ⎠am1 am2 · · · ammназывается матрицей квадратичной формы Q =m!i,j=1aij xi xj .Отметим, что A — симметричная матрица, так как aij = aji .58Гл.
9. Функции многих переменныхМиноры a11 a12 δ1 = a11 , δ2 = a a , . . . ,2122 a11 · · · a1k a11 · · · a1mδk = · · · · · · · · · , . . . , δm = · · · · · · · · ·aam1 · · · ammk1 · · · akkназываются угловыми минорами матрицы A.Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичнойформыm!aij xi xj былаДля того, чтобы квадратичная форма Q =i,j=1положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобывсе угловые миноры матрицы A были положительны:δ1 > 0, δ2 > 0, . . .
, δm > 0.Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательноопределенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловыхминоров чередовались следующим образом:δ1 > 0, δ2 < 0, δ3 < 0, δ4 > 0, . . . .Достаточные условия экстремумаДля функции одной переменной y = f (x) достаточным условием минимума (максимума) в точке x0 является условиеf (x0 ) = 0, f (x0 ) > 0 (< 0).Это же условие можно записать через дифференциалы функции в точке x0 :dy|x0 = f (x0 ) · Δx = 0, d2 y x = f (x0 ) · (Δx)2 > 0 (< 0) ∀ Δx = 0.0Аналогичное достаточное условие имеет место и для функциимногих переменных.Напомним, что для функции u = f (x1 , .
. . , xm ) первый и второй дифференциалы в точке M0 имеют вид:du|M0 =d2 uM0m∂u∂xii=1m=i,j=1(M0 ) · Δxi ,∂2u(M0 ) · Δxi · Δxj∂xi ∂xj(формула (9.26) из §7).9. Локальный экстремум59Отметим, что d2 uM — квадратичная форма от переменных0Δx1 , . . . , Δxm .Теорема 21. Пусть выполнены условия: 1) функцияu = f (M ) = f (x1 , . . . , xm ) дважды дифференцируемав точке002M0 (x1 , . . . , xm ); 2) du|M0 = 0; 3) d u M — положительно (от0рицательно) определенная квадратичная форма от переменныхΔx1 , . . .
, Δxm .Тогда функция u = f (M ) имеет в точке M0 локальный минимум (максимум).Доказательство. Рассмотрим случай, когда d2 uM — положи0тельно определенная квадратичная форма.Согласно определению локального минимума требуется доказать, что существует δ -окрестность точки M0 , в которой длялюбой точки M (отличной от M0 ) выполнено неравенствоΔu = f (M ) − f (M0 ) > 0.Пусть M x01 + Δx1 , .
. . , x0m + Δxm — произвольная точка изокрестности точки M0 . Согласно теореме 19а Δu можно представить в видеΔu = f (M ) − f (M0 ) = du|M0 +где ρ = ρ(M , M0 ) = 1 2 d u M + o ρ2 ,02Δx21 + . . . + Δx2m . Так как du|M0 = 0, тоm 1 !∂2uΔu =(M0 )Δxi Δxj + o ρ2 =2 i,j=1 ∂xi ∂xj 2 2m! ∂ uo ρ1Δx Δxj.= ρ2(M0 ) i ·+ 22∂x∂xρρρiji,j=1Введем обозначения:Q=∂2uΔxi(M0 ) = aij ,= hi ,∂xi ∂xjρmaij hi hj , α(ρ) = o ρ2i,j=1Тогда12Δu = ρ2 (Q + α(ρ)) ,ρ2.60Гл. 9.
Функции многих переменныхвеличины h1 , . . . , hm удовлетворяют равенствуh21 + h22 + . . . + h2m = 1,(9.38)а α(ρ) → 0 при ρ → 0.Уравнение (9.38) является уравнением сферы радиуса 1 в пространстве Rm точек с координатами (h1 , . . . , hm ). Квадратичнаяформа Q в силу условия 3 теоремы является положительно определенной, то есть Q > 0 ∀ h1 , . . . , hm , одновременно не равныхнулю. В частности,Q(h1 , . .
. , hm ) > 0во всех точках сферы (9.38).Кроме того, Q(h1 , . . . , hm ) — непрерывная функция переменныхh1 , . . . , hm , а сфера (9.38) — ограниченное замкнутое множество.По второй теореме Вейерштрасса функция Q достигает на сфере(9.38) своей точной нижней грани, то есть имеет на сфере (9.38)минимальное значение. Обозначим его буквой m.
Тогда Q(h1 , . . .. . . , hm ) m > 0 на сфере (9.38).Так как α(ρ) → 0 при ρ → 0, то ∃ δ > 0, такое, что |α(ρ)| < mпри 0 < ρ < δ . Поэтому в δ -окрестности точки M0 имеем:12Δu = ρ2 [Q + α(ρ)] > 0при ρ = 0, то есть при M = M0 , что и требовалось доказать.Теорема 22. Пусть выполнены условия 1 и 2 теоремы 21, авместо условия 3 выполнено условие 3 : d2 uM — знакоперемен0ная квадратичная форма. Тогда в точке M0 экстремума функцийнет.Доказательство.
Как и при доказательстве теоремы 21 введем∂2u(M0 ) = aij . В силу условия 3 существуютобозначение∂xi ∂xjΔx1 , . . . , Δxm , такие, что числоQ =mi,j=1m∂2u(M0 )Δxi Δxj =aij Δxi Δxj > 0,∂xi ∂xji,j=1и также существуют Δx1 , . . . , Δxm , такие, что числоQ =mi,j=1aij Δxi Δxj < 0.9. Локальный экстремум61Обозначим через M1 точку с координатами (x01 + Δx1 , . .
.M2 — точку с координатами.. . , x0m + Δxm ), а через00x1 + Δx1 , . . . , xm + Δxm (рис.9.22).Положим ρ = ρ(M1 , M0 ) =Отметим, что ρ —вполне определенное положительное число. Произвольная точка Mt на отрезкеM0 M1 имеет координатыMt (x01 + tΔx1 , . . . , x0m ++ tΔxm ), причем 0 t 1,соответствуетточка M0t = 0, точка M1 соответству2ет t = 1, ρ2 (Mt , M0 ) = t2 ρ .Согласно теореме 19а имеем:(Δx1 )2 + .
. . + (Δxm )2 .Рис. 9.22.1Δu = f (Mt ) − f (M0 ) = du|M0 + d2 uM + o t2 ρ2 =02m1 !aij (tΔxi )(tΔxj ) + o t2 ==2 i,j=1 2 2m!ot1 21)o(taij Δxi Δxj + 2.= t2 Q + 2= t2Так как o t2t2i,j=1t2t→ 0 при t → 0, то ∃ δ > 0, такое, что 2 o(t ) t2 < Q при 0 < t < δ.Отсюда следует, что на отрезке M0 Mδ выполнено неравенствоΔu = f (M ) − f (M0 ) > 0 при M = M0 .Аналогично доказывается, что на отрезке M0 M2 существуетточка Mδ , такая, что на отрезке M0 Mδ выполнено неравенство:Δu < 0 при M = M0 .Таким образом, в любой окрестности точки M0 имеютсяточки M , для которых Δu = f (M ) − f (M0 ) > 0, и также имеются точки, для которых Δu < 0.
Следовательно, в точке M0экстремума функции нет. Теорема доказана.62Гл. 9. Функции многих переменныхПримеры.1. u = xy (x > 0). Для нахождения точек возможного экстремума данной функции рассмотрим систему уравнений:ux = y xy−1 = 0,uy = xy ln x = 0,из которой находим: x = 1, y = 0.
Следовательно,M0 (1, 0) — точкавозможного экстремума данной функции.2Так как d u M = 2ΔxΔy — знакопеременная квадратичная0форма (это выражение для d2 uM получено в §7), то в0точке M0 (1, 0) экстремума функции нет.2. u = x2 + 2xy + 2y 2 + xz + z 3 − 4z .Для нахождения точек возможного экстремума этой функции составим систему уравнений⎧⎨ ux = 2x + 2y + z = 0,uy = 2x + 4y = 0,⎩ u = x + 3z 2 − 4 = 0.zОна имеет два решения:12432343x1 = 1, y1 = − , z1 = −1 и x2 = − , y2 = , z2 = ,и, следовательно, получаемдве точки возможного экстре14 2 4мума функции: M1 1, − , −1 и M2 − , , .23 3 3Чтобы установить, имеет ли функция экстремумы в точкахM1 и M2 , исследуем второй дифференциал d2 u в этих точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
