В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 11
Текст из файла (страница 11)
О неявных функциях, определяемых одним уравнением69F (x, y0 − c) и F (x, y0 + c) при |x − x0 | < d. В силу непрерывностиэтих функций (условие 1) и неравенств (10.7) найдется интервал x0 − d < x < x0 + d (d d), такой, что на этом интервалеF (x, y0 − c) < 0, F (x, y0 + c) > 0, и, следовательно,F (x, y0 − c) · F (x0 , y0 + c) < 0 при |x − x0 | < d.Таким образом, мы построили прямоугольник Q == {(x, y) : |x − x0 | < d, |y − y0 | c}, в котором выполнены всеусловия теоремы 1.По теореме 1 в прямоугольнике Q уравнение (10.3) определяет единственную неявную функцию вида y = f (x), и эта функциянепрерывна при |x − x0 | < d. Теорема 2 доказана.Замечание 1.
Отметим, что теорема 2 (в отличие от теоремы 1) носит локальный характер — в ней идет речь о существовании и непрерывности неявной функции y = f (x) в окрестноститочки M0 (x0 , y0 ), координаты которой удовлетворяют уравнению(10.3). Отметим также, что значение неявной функции y = f (x)в точке x0 равно y0 : f (x0 ) = y0 .Замечание 2. Если выполнены все условия теоремы 2, кромеусловия Fy (x0 , y0 ) = 0, то есть если Fy (x0 , y0 ) = 0, то заключениетеоремы 2 становится, вообще говоря, неверным.
Рассмотрим,например, уравнениеF (x, y) := x2 + y 2 − 1 = 0(10.8)в окрестности точки M0 (1; 0). Заметим, что F (1; 0) = 0 иFy (1; 0) = 0, то есть условие Fy (1; 0) = 0 нарушено. При этом вокрестности точки M0 заключение теоремы не выполнено: приx > 1 уравнение (10.8) не имеет решений относительно y , то естьне определяет неявной функции√вида y = f (x), а√при x < 1 имеетдва непрерывных решения: y = 1 − x2 и y = − 1 − x2 , то естьне выполнено утверждение о единственности неявной функции.Вместе с тем, условие Fy (x0 , y0 ) = 0 не является необходимым условием того, чтобы заключение теоремы 2 имело место.Например, уравнение x3 − y 3 = 0 в окрестности точки M0 (0; 0)определяет единственную неявную функцию вида y = f (x), аименно, функцию y = x, но при этом Fy (0; 0) = 0.Перейдем теперь к вопросу о дифференцируемости неявнойфункции y = f (x), определенной уравнением (10.3).Теорема 3.
Пусть выполнены условия теоремы 2 и пустьфункция F (x, y) дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ). Тогданеявная функция y = f (x), определяемая уравнением (10.3),70Гл. 10. Неявные функциидифференцируема в точке x0 , и ее производная в этой точкевыражается формулойFx (x0 , y0 )f (x0 ) = − .Fy (x0 , y0 )Доказательство. Так как функция F (x, y) дифференцируема вточке M0 (x0 , y0 ), то ее приращение в этой точке можно представить в виде:ΔF := F (x0 + Δx, y0 + Δy) − F (x0 , y0 ) == Fx (x0 , y0 )Δx + Fy (x0 , y0 )Δy + α1 Δx + α2 Δy , (10.9)где α1 и α2 — функции аргументов Δx и Δy , бесконечно малыепри {Δx → 0, Δy → 0}.Возьмем Δx = 0 столь малым, что |Δx| < d, то есть x0 −− d < x0 + Δx < x0 + d, где (x0 − d, x0 + d) — интервал, накотором определена неявная функция y = f (x) из теоремы 2,а Δy положим равным приращению неявной функции в точкеx0 , то есть Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = f (x0 + Δx) − y0 .
Длявыбранных Δx и Δy имеем:ΔF = F (x0 + Δx, f (x0 + Δx)) − F (x0 , y0 ) = 0(поскольку F (x, f (x)) = 0 ∀x ∈ (x0 − d, x0 + d)), и следовательно,из (10.9) получаем:Fx (x0 , y0 )Δx + Fy (x0 , y0 )[f (x0 + Δx) − f (x0 )]++ α1 Δx + α2 [f (x0 + Δx) − f (x0 )] = 0,откуда следует равенствоf (x0 + Δx) − f (x0 )Fx (x0 , y0 ) + α1=− .ΔxFy (x0 , y0 ) + α2Перейдем в этом равенстве к пределу при Δx → 0. Так какнеявная функция y = f (x) непрерывна в точке x0 (теорема 2),то Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) → 0 при Δx → 0. Следовательно,α1 → 0 и α2 → 0 при Δx → 0, а поскольку Fy (x0 , y0 ) = 0 (условие3 теоремы 2), то предел правой части равенства существуетFx (x0 , y0 )и равен − .
Значит, существует предел и левой частиFy (x0 , y0 )равенства, а этот предел и есть f (x0 ) (по определению про-1. О неявных функциях, определяемых одним уравнением71изводной). Таким образом, в пределе при Δx → 0 приходим кравенству f (x0 ) = −Fx (x0 , y0 ). Теорема 3 доказана.Fy (x0 , y0 )Следствие. Если функция F (x, y) дифференцируема в прямоугольнике Q (см. теорему 2), то неявная функция y = f (x)дифференцируема на интервале (x0 − d, x0 + d) и ее производнаявыражается формулойF(x,y)f (x) = − x.(10.10)Fy (x, y)y=f (x)Замечание.
Если функция F (x, y) дифференцируема в прямоугольнике Q k раз, то и неявная функция y = f (x) дифференцируема на интервале (x0 − d, x0 + d) k раз; для нахождения f (x)нужно взять производную от f (x) и так далее.Пример. Рассмотрим снова уравнение (10.6)F (x, y) := 2y + sin y − x = 0, (x, y) ∈ R2 .Оно определяет единственную неявную функцию вида y = f (x),x ∈ (−∞, +∞), причем эта функция дифференцируема в каждойточке в силу теоремы 3. По формуле (10.10) находим:1Fx (x, y) .f (x) = − =Fy (x, y)y=f (x)2 + cos f (x)Дифференцируя f (x), находим f (x):f (x) = [f (x)] = −1sin f (x)(− sin f (x))f (x) =,2[2 + cos f (x)][2 + cos f (x)]3и далее можно найти производные более высокого порядка функции f (x).Заметим, что для вычисления f (x) и f (x) в какой-то точке x с помощью полученных формул сначала нужно найти изуравнения (10.6) соответствующее значение f (x).
Для произвольно заданного x это можно сделать только приближенно, нодля x, кратного 2π , нетрудно найти точное значение f (x) (см.рис. 10.2): f (2kπ) = kπ , k ∈ Z. Например, для x = 2π получаем:f (2π) = π , f (2π) = 1, f (2π) = 0.Рассмотрим теперь уравнение, которое является обобщениемуравнения (10.3):F (x1 , . . . , xn , y) = 0.(10.11)72Гл. 10. Неявные функцииРешение этого уравнения относительно y является функцией nпеременных: y = f (x1 , . . . , xn ) и называется неявной функцией,определяемой уравнением (10.11).Теорема 4.
Пусть выполнены условия:в1. функция F (x1 , . . . , xn , y) определена и дифференцируема000некоторой окрестности ω точки M0 x1 , . . . , xn , y ;2. частная производная Fy (x1 , . . . , xn , y) непрерывна в точкеM0 ;3. F x01 , . . . , x0n , y 0 = 0, Fy x01 , . . . , x0n , y 0 = 0.Тогда существует параллелепипедQ = (x1 , . . . , xn , y) : xi − x0i < di , i = 1, . . . , n,y − y 0 c; di > 0, c > 0 ,целиком содержащийся в окрестности ω точки M0 , в которомуравнение (10.11) определяет единственную неявную функциювида y = f (x1 , . . . , xn ), эта неявная функция дифференцируема0в параллелепипеде (x1 , .
. . , xn , y) : xi − xi < di , i = 1, . . . , n иее частные производные выражаются формулойFx i (x1 , . . . , xn , y) ∂f(x , . . . , xn ) = − .(10.12)∂xi 1Fy (x1 , . . . , xn , y) y=f (x ,...,x )n1Доказательство теоремы 4 проводится аналогично доказательству теорем 2 и 3.§ 2. О неявных функциях, определяемых системойуравненийРассмотрим систему m уравнений⎧F (x , . . .
, xn , y1 , . . . , ym ) = 0,⎪⎨ 1 1F2 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0,⎪⎩ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...Fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0.(10.13)Решение этой системы относительно y1 , . . . , ymy1 = f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ym = fm (x1 , . . . , xn )(10.14)называется системой неявных функций, определяемой системой уравнений (10.13).2. О неявных функциях, определяемых системой уравнений73Мы рассмотрим вопросы о существовании, единственностии дифференцируемости неявных функций вида (10.14), определяемых системой уравнений (10.13).
При рассмотрении этихвопросов важную роль играет определитель ∂F 1 ∂F1 . . . ∂F1 ∂y∂ym 1 ∂y2 ∂F2 ∂F2∂F2 ... ∂y1 ∂y2∂ym Δ= ············∂Fm ∂Fm ∂Fm...∂y1∂y2∂ymОн называется определителем Якоби или якобианом функцийF1 , F2 , . . . , Fm по переменным y1 , y2 , . . . , ym . Для него будем использовать также более краткое обозначениеΔ=D(F1 , .
. . , Fm ).D(y1 , . . . , ym )Теорема 5. Пусть выполнены условия:1. функцииF1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ), . . . , Fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym )определены и дифференцируемы в некоторой окрестности0ω точки M0 x01 , . . . , x0n , y10 , . . . , ym;2.
частные производные∂Fi(i, j = 1, . . . , m), входящие в яко∂yjбиан Δ, непрерывны в точке M0 ;D(F1 , . . . , Fm ) 0.=3. F1 (M0 ) = 0, ..., Fm (M0 ) = 0, Δ(M0 ) =D(y1 , . . . , ym ) M0Тогда существует параллелепипедQ = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) : xi − x0i < di , i = 1, . . . , n;yj − yj0 cj , j = 1, . . . , m; di > 0, cj > 0 ,целиком содержащийся в окрестности ω точки M0 , в которомсистема уравнений (10.13) определяет единственную систему74Гл.
10. Неявные функциинеявных функций вида (10.14), и эти неявные функции дифференцируемы в параллелепипеде(x1 , . . . , xn ) : xi − x0i < di , i = 1, . . . , n .Доказательство. При m = 1 (то есть когда система (10.13) состоит из одного уравнения) справедливость утверждения теоремы 5следует из теоремы 4. При m > 1 теорему 5 можно доказать поиндукции (см. [1]).Мы проведем доказательство теоремы 5 для m = 2. В этомслучае система (10.13) состоит из двух уравнений, которые запишем в видеF1 (x, y1 , y2 ) = 0, F2 (x, y1 , y2 ) = 0,(10.15)где x = (x1 , x2 , . .
. , xn ). Точка M0 имеет координаты x0 , y10 , y20 , гдеx0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ), и, согласно условию 3, ∂F 1 (M ) ∂F1 (M ) ∂y00 ∂y2 1 = 0.F1 (M0 ) = 0, F2 (M0 ) = 0, Δ(M0 ) = ∂F2 ∂F2(M0 )(M0 )∂y1∂y2(10.16)Из последнего неравенства следует, что некоторые из элементовякобиана Δ(M0 ) отличны от нуля. Пусть (для определенности)∂F1(M0 ) = 0.∂y1Рассмотрим первое уравнение системы (10.15) в окрестноститочки M0 как уравнение относительно y1 :F1 (x, y1 , y2 ) = 0.(10.17)∂F1(M0 ) = 0, то для уравнения (10.17)Так как F1 (M0 ) = 0 и∂y1выполнены условия теоремы 4, согласно которой в некоторомпараллелепипеде с центром M0 уравнение (10.17) имеет решениеотносительно y1 :y1 = f (x, y2 ),(10.18)причем f (x0 , y20 ) = y10 , f (x, y2 ) — дифференцируемая функция иее частная производная∂fвыражается формулой (см.
(10.12))∂y2∂f(x, y2 ) = −∂y2∂F1(x, y1 , y2 ) ∂y2.∂F1(x, y1 , y2 ) ∂y1y1 =f (x,y2 )2. О неявных функциях, определяемых системой уравнений75Подставив функцию (10.18) во второе уравнение системы(10.15), получим уравнениеF2 (x, f (x, y2 ), y2 ) =: g(x, y2 ) = 0.(10.19)Будем рассматривать это уравнение 0 0 как уравнение относительноy2 в окрестности точки M0 x , y2 и убедимся в том, что длянего выполнены все условия теоремы 4.Так как F2 (x, y1 , y2 ) и f (x, y2 ) — дифференцируемые функции, то функция g(x, y2 ) дифференцируема в некоторой окрестности точки M0 , то есть выполнено условие 1 теоремы 4.Частная производная∂F2 ∂f∂F∂g(x, y2 ) =·+ 2∂y2∂y1 ∂y2∂y2y =f (x,y2 )=⎛ ∂F1 ⎞⎤1∂F∂F∂y= ⎣ 2 ⎝− ∂F2 ⎠ + 2 ⎦⎡∂y11∂y1∂y2 ∂F −1 1=Δ·∂y1y1 =f (x,y2 )y1 =f (x,y2 )(10.20)непрерывна в точке M0 в силу непрерывности в точке M0частных производных∂Fi(i, j = 1, 2), входящих в якобиан Δ,∂yjнепрерывности в точке M0 функции (10.18) и отличия от нуля∂F1производной(M0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
