В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

В.Ф. БутузовЛекциипоматематическому анализуЧасть IIМосква 2014Б у т у з о в В. Ф.Лекции по математическому анализу. Часть II.Учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2014. 200 c.Учебное пособие содержит вторую часть курса лекций по математическому анализу, которая излагается во II семестре. Эту часть можно назвать дифференциальным и интегральным исчислением функциймногих переменных. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением иллюстрирующих примеров, особое вниманиеобращается на приложения математических понятий и утверждений вфизике.Пособие рассчитано на студентов 1 курса физического факультетаи преподавателей, ведущих занятия по математическому анализу.Рецензенты: д.ф.-м.

н., профессор Ю.П. Пытьев,д.ф.-м. н., профессор Б.И. Садовниковc Физический факультет МГУим. М.В. Ломоносова, 2014c Бутузов В.Ф., 2014ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Г л а в а 9. Функции многих переменных. . . . . . . . . . . . . . .

. .6§ 1. Понятие m-мерного координатного пространства . . . . . . . . .§ 2. Последовательности точек в Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Понятие функции многих переменных. Предел функции многих переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .§ 4. Непрерывность функции многих переменных . . . . . . . . . . . .§ 5. Частные производные и дифференцируемость . . . . . . . . . . .§ 6. Геометрический смысл дифференцируемости функции . . . . .§ 7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. .§ 8.

Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9. Локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6911162233425055Г л а в а 10. Неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .64§ 1.§ 2.§ 3.§ 4.О неявных функциях,О неявных функциях,Зависимость функцийУсловный экстремум .определяемыхопределяемых......................одним уравнением . .системой уравнений........................................64727886Г л а в а 11. Приложения дифференциального исчисления кисследованию плоских кривых . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .96§ 1. Касание плоских кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96§ 2. Огибающая однопараметрического семейства кривых . . . . . . 99§ 3. Кривизна плоской кривой . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 1064ОглавлениеГ л а в а 12. Кратные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Площадь плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Двойные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .§ 3. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Замена переменных в двойном интеграле. . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .111111114117121128Г л а в а 13. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Длина кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Криволинейные интегралы второго рода. . . .

. . . . . . . . . . . .§ 4. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Условия независимости криволинейного интеграла второгорода от пути интегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138138144150156Г л а в а 14. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Площадь поверхности . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Поверхностные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Поверхностные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Формула Остроградского–Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .§ 5. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Условия независимости криволинейного интеграла второгорода от пути интегрирования в пространстве . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .168168176179187191160197199ПредисловиеВо второй части учебного пособия рассматриваются основные вопросы дифференциального и интегрального исчисленийфункций многих переменных. Эта часть курса математическогоанализа излагается на лекциях во II семестре. Как и в первойчасти, теоретический материал минимизирован таким образом,что его можно реально изложить в течение семестра при трехчасах лекций в неделю.Изложение теоретического материала сопровождается иллюстрирующими примерами, значительное внимание уделяется приложениям математических понятий и утверждений к вопросамфизики.Пособие рассчитано на студентов I курса физического факультета и преподавателей, ведущих занятия по математическому анализу.

Оно может быть использовано и на других факультетах МГУ, а также в других вузах.При подготовке пособия к печати большую помощь, связанную с компьютерным набором текста, оказали мне коллегипо кафедре математики физического факультета МГУ, особенноН.Е. Шапкина, И.Е. Могилевский А.В. Барышев, А.В. Костин,В.А. Осокина. Всем им я очень признателен. Особую благодарность хочу выразить Г.Н. Медведеву, внимательно прочитавшему всю рукопись и сделавшему большое количество ценныхзамечаний.В.Ф. БутузовГлава 9ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХМногие физические величины описываются функцияминескольких переменных. Например, u = T (x, y , z , t) — температура в точке M (x, y , z) в момент времени t; это пример функциичетырех переменных.§ 1.

Понятие m-мерного координатного пространстваОпределение. Совокупность m чисел называется упорядоченной, если указано, какое из чисел считается первым, какое —вторым, и т.д. Произвольную упорядоченную совокупность mчисел будем обозначать так: (x1 , x2 , . . . , xm ), то есть числа записываются в порядке их номеров.Определение. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей m чисел называется m-мерным координатнымпространством. Каждая из совокупностей m чисел называетсяточкой m-мерного пространства.Обозначение: M (x1 , x2 , . . . , xm ). Числа x1 , x2 , .

. . , xm называются координатами точки M . Точка O(0, 0, . . . , 0) называетсяначалом координат.Введем расстояние между точками M1 (x1 , x2 , . . . , xm ) иM2 (y1 , y2 , . . . , ym ) по формулеρ(M1 , M2 ) = (x1 − y1 )2 + . . .

+ (xm − ym )2 .(9.1)Эта формула хорошо известна из курса аналитической геометрии для плоскости (m = 2) и трехмерного пространства(m = 3).Определение. Координатное пространство с введеннымпо формуле (9.1) расстоянием между точками называетсяm-мерным евклидовым пространством.Обозначение: Rm .Примеры.1.

R1 — числовая прямая;2. R2 — евклидова плоскость;3. R3 — трехмерное евклидово пространство.1. Понятие m-мерного координатного пространства7Пусть A ∈ Rm , r > 0 — некоторое число. Множество{M : ρ(M , A) r} называется m-мерным шаром радиуса r сцентром в точке A. Множество {M : ρ(M , A) = r} называетсяm-мерной сферой радиуса r. Множество {M : ρ(M , A) < r} —открытый m-мерный шар; открытый шар {M : ρ(M , A) < ε}называется ε-окрестностью точки A.Пусть A(a1 , .

. . , am ) ∈ Rm и d1 , . . . , dm — некоторые положительные числа. Множество{M (x1 , . . . , xm ) : |x1 − a1 | d1 , . . . , |xm − am | dm }называется m-мерным параллелепипедом.Пусть {M } — какое-то множество точек из Rm .Точка A называется внутренней точкой множества {M }, если существует ε-окрестность точки A, целиком принадлежащаямножеству {M }.Рис. 9.1.Точка A называется граничной точкой множества {M }, еслив любой ε-окрестности точки A содержатся как точки множества{M }, так и точки, которые этому множеству не принадлежат(рис. 9.1).Граничная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству {M }.Множество {M } называется открытым, если все его точки — внутренние.Множество {M } называется замкнутым, если оно содержитвсе свои граничные точки.

При этом множество всех граничныхточек называется границей множества {M }.Пример 1. Границей шара {M : ρ(M , A) r} является сфера{M : ρ(M , A) = r}. Эта же сфера является границей открытогошара {M : ρ(M , A) < r}.Пример 2. В пространстве R3 рассмотрим множествоM (x1 , x2 , x3 ) : 0 x1 1, 0 x2 1, 0 x3 1;G=x1 , x2 , x3 − рациональные числа,8Гл. 9. Функции многих переменныхто есть множество G представляет собой множество всех точекс рациональными координатами, содержащихся в кубеG = {M (x1 , x2 , x3 ) : 0 xi 1, i = 1, 2, 3} .Докажите, что: а) каждая точка множества G является его граничной точкой; б) любая точка куба G также является граничнойточкой множества G, то есть границей множества G являетсявесь куб G.Отметим, что G — счетное множество, а его граница G —множество мощности континуума. Отметим также, что границакуба G состоит из его шести граней.Объединение множества {M } и его границы (то есть добавление ко множеству {M } всех его граничных точек) называетсязамыканием множества {M }.

Замкнутое множество совпадаетсо своим замыканием.Пример 3. Замыканием множества G из примера 2 (см.выше) является куб G.Точка A называется предельной точкой множества {M }, еслив любой ε-окрестности точки A содержатся точки из множества{M }, отличные от A (при этом предельная точка может какпринадлежать, так и не принадлежать множеству {M }).Точка A называется изолированной точкой множества {M },если она принадлежит {M } и существует ε-окрестность точкиA, в которой нет других точек из {M }, кроме A.Задание 1. Докажите, что любая внутренняя точка множества является его предельной точкой, а граничная точка множества может быть его предельной точкой и может быть изолированной точкой.Задание 2.

Докажите, что сфера — замкнутое множество.Пример 4. Рассмотрим пространство R2 (плоскость). Оноявляется одновременно и открытым множеством, и замкнутым.В самом деле, все точки этого множества — внутренние, поэтому R2 — открытое множество. Граничных точек у R2 нет, тоесть границей R2 является пустое множество. Пустое множествопринадлежит любому множеству, поэтому R2 — замкнутое множество.Рассмотрим теперь пространство R3 и произвольную плоскость в нем, то есть множество всех точек M (x1 , x2 , x3 ), координаты которых удовлетворяют уравнению Ax1 + Bx2 + Cx3 + D == 0; A, B , C и D — числа, причем A2 + B 2 + 2 = 0. Плоскостьявляется замкнутым множеством, поскольку все ее точки —граничные точки этой плоскости, как множества в R3 .2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций