В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 10
Текст из файла (страница 10)
С этой целью вычислим частные производные второгопорядка:uxx = 2, uxy = 2, uxz = 1;uyx = 2, uyy = 4, uyz = 0;uzx = 1, uzy = 0, uzz = 6z ;и составим матрицу квадратичной формы d2 u:2 2 12 4 01 0 6zВычислим ее угловые миноры:δ1 = 2 > 0, δ2 = 4 > 0, δ3 = 24z − 4.9. Локальный экстремум63В точке M1 имеем: δ1 > 0, δ2 > 0, δ3 = −28 < 0, поэтому,согласно критерию Сильвестра, d2 uM не является знако1определенной квадратичной формой. Нетрудно усмотреть,что эта квадратичная форма — знакопеременная. В самомделе,d2 u= 2 (Δx)2 > 0,M1Δx=0Δy=Δz=0d2 u= −6 (Δz)2 < 0.M1Δx=Δy=0Δz=0По теореме 22 в точке M1 экстремума функции нет.В точкеM2 имеем: δ1 > 0, δ2 > 0, δ3 = 28 > 0, поэтому2d u M — положительно определенная квадратичная форма2и, следовательно, в точке M2 функция имеет локальныйминимум.2Замечание.
Если du|M0 = 0, а d uM — квазизнакоопреде0ленная квадратичная форма, то в точке M0 экстремум можетбыть, а может и не быть (нужно дополнительное исследование).Случай функции двух переменныхЕсли u = u(x, y), то∂2u∂2u∂2u2(M0 )ΔxΔy + 2 (M0 )(Δy)2d u M = 2 (M0 )(Δx) + 220∂x∂y∂x∂yили (обозначим производные второго порядка через a11 , a12 , a22 )d2 uM = a11 (Δx)2 + 2a12 ΔxΔy + a22 (Δy)2 .0Пусть выполнены условия 1 и 2 теоремы 21.Тогда: I. Если D = a11 a22 − a212 > 0, то в точке M0 функцияu(x, y) имеет локальный экстремум: минимум, если a11 > 0;максимум, если a11 < 0.II.
Если D < 0, то в точке M0 экстремума функции нет.III. Если D = 0, то в точке M0 экстремум может быть, а можети не быть.Задание. Доказать сформулированные утверждения I и II.Для случая III рассмотреть примеры: u = x4 + y 4 , точкаM0 (0, 0); u = x3 y 3 , точка M0 (0, 0).Г л а в а 10НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ§ 1. О неявных функциях, определяемых однимуравнениемФункция y = f (x), x ∈ X может быть задана путем непосредственного (явного) указания правила f , по которому каждому числу x из области определения функции (то есть измножества X ) ставится в соответствие определенное число y .В таком случае говорят, что функция задана явно.
Например,y = x2 , x ∈ (−∞, +∞) — явно заданная функция.Существует и другой способ задания функции y = f (x), вкотором правило f задается не непосредственно, а «спрятано» вуравнении, связывающем переменные x и y . Например, уравнениеx2 + y 2 − 1 = 0,(10.1)рассматриваемое в полуполосе {(x, y) : − 1 x √ 1, y 0} какуравнение относительно y , имеет решение y = 1 − x2 , и темсамым определяет функциюy = f (x) := 1 − x2 , x ∈ [−1; 1],(10.2)но при этом правило f изначально задано не в явном виде, а«спрятано» в уравнении (10.1).Рассмотрим более общее уравнение с двумя переменными xи y:F (x, y) = 0.(10.3)Если для любого числа x из множества X уравнение (10.3)имеет относительно y решение y = f (x), то говорят, что уравнение (10.3) задает неявно функцию y = f (x), x ∈ X , а сама этафункция называется неявной функцией, определяемой уравнением (10.3).Итак, неявная функция y = f (x) — это решение уравнения(10.3) относительно y , то есть∀x ∈ X : F (x, f (x)) = 0.1.
О неявных функциях, определяемых одним уравнением65Возвращаясь к уравнению (10.1), можно теперь сказать, что этоуравнение определяет неявную функцию (10.2).Мы рассмотрим вопрос о том, при каких условиях на функцию F (x, y) уравнение (10.3) определяет неявную функциюy = f (x), а также вопрос о непрерывности и дифференцируемости неявной функции.При этом нужно различать существование неявной функции,то есть существование решения уравнения (10.3) относительноy , и возможность найти эту неявную функцию в явном виде.
Так,например, неявная функция y = f (x), определяемая уравнением(10.1) легко находится в явном виде (10.2), а неявная функцияy = f (x), определяемая уравнением2y + sin y − x = 0,как мы увидим ниже, существует, однако найти ее в явном видене представляется возможным.Теорема 1. Пусть выполнены условия:1. функция F (x, y) определена и непрерывна в прямоугольнике Q = {(x, y) : a < x < b, c y d};2. ∀x ∈ (a, b) : F (x, c) · F (x, d) < 0 (это условие означает, чтофункция F (x, y) имеет разные знаки на нижней и верхнейсторонах прямоугольника Q);3. для любого x из интервала (a, b) функция F (x, y) являетсястрого монотонной функцией переменной y на сегменте[c, d].Тогда:1) в прямоугольнике Q уравнениеF (x, y) = 0определяет единственную неявную функцию видаy = f (x), x ∈ (a, b),то есть ∀x ∈ (a, b) уравнение (10.3) имеет единственное решениеотносительно y , принадлежащее сегменту [c, d];2) неявная функция y = f (x) непрерывна на интервале (a, b).Доказательство.
1) Зафиксируем любое число x из интервала(a, b) и рассмотрим при этом значении x функцию F (x, y) аргумента y на сегменте [c, d]. Эта функция непрерывна на сегменте [c, d] (условие 1) и имеет на концах сегмента значенияразных знаков (условие 2). Следовательно, существует y ∈ (c, d),3 В.Ф. Бутузов66Гл. 10. Неявные функциитакое, что F (x, y) = 0. В силу строгой монотонности F (x, y) попеременной y (условие 3) такое значение y единственно (дляфиксированного x). Итак, ∀x ∈ (a, b) уравнение (10.3) имеетединственное решение относительно y . Обозначим это решениетак: y = f (x).Таким образом, существование и единственность неявнойфункции вида y = f (x), x ∈ (a, b), определяемой уравнением(10.3), доказано.2) Докажем непрерывность неявной функции y = f (x) наинтервале (a, b), то есть непрерывность в каждой точке x0 ∈∈ (a, b).
По определению непрерывности нужно доказать, что∀ε > 0 ∃δ > 0, такое, что|f (x) − f (x0 )| < ε при |x − x0 | < δ.(10.4)Зададим произвольное ε > 0 (такое, что f (x0 ) − ε c иf (x0 ) + ε d) и будем считать (для определенности), чтофункция F (x, y) при фиксированном x является возрастающей функцией переменной y (см. условие 3). Тогда F (x0 , y) << F (x0 , f (x0 )) = 0 при y < f (x0 ) и F (x0 , y) > 0 при y > f (x0 ), вчастности,F (x0 , f (x0 ) − ε) < 0 и F (x0 , f (x0 ) + ε) > 0.(10.5)Рассмотрим функцию F (x, y) на прямых y = f (x0 ) − ε и y == f (x0 ) + ε. Из неравенств (10.5) в силу устойчивости знаканепрерывной функции следует, что в некоторой δ -окрестноститочки x0 будут выполнены неравенстваF (x, f (x0 ) − ε) < 0 и F (x, f (x0 ) + ε) > 0Рис.
10.1.(на рис. 10.1 эти неравенстваотмечены знаками + и −).В свою очередь, из этихнеравенств следует, что длялюбого x из δ -окрестноститочки x0 корень уравнения (10.3), то есть число y = f (x), лежит между f (x0 ) − ε и f (x0 ) + ε.Иными словами, в пределах δ -окрестности точкиx0 график неявной функции1. О неявных функциях, определяемых одним уравнением67y = f (x) лежит в полосе между прямыми y = f (x0 ) − ε иy = f (x0 ) + ε (см. рис. 10.1).
Итак, справедливы неравенстваf (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε при |x − x0 | < δ ,то есть выполнено условие (10.4), что и требовалось доказать.Теорема 1 доказана.Пример. Рассмотрим уравнениеF (x, y) := 2y + sin y − x = 0, (x, y) ∈ R2 .(10.6)Докажем, что оно определяет единственную неявную функцию видаy = f (x), x ∈ (−∞, +∞).Зафиксируем произвольное значение x и рассмотрим функ-x− 1, тогда2xF (x, y1 ) = −2 + sin y1 < 0. Положим теперь y = y2 = + 1, тогда2цию F (x, y) при этом значении x. Положим y = y1 =F (x, y2 ) = 2 + sin y2 > 0.
Следовательно, существует y ∈ (y1 , y2 ),такое, что F (x, y) = 0. Обозначим это значение y через f (x).Итак, ∀x уравнение (10.6) имеет решение y = f (x).Так как Fy (x, y) = 2 + cos y > 0, то при каждом x функцияF (x, y) является возрастающей функцией переменной y и, следовательно, уравнение (10.6) определяет единственную неявнуюфункцию вида y = f (x), x ∈ (−∞, +∞).Как уже отмечалось, эту неявную функцию мы не можемнайти в явном виде.
Однако, мы можем «увидеть» эту функцию,построив график функции x = 2y + sin y (см. рис. 10.2).Существенным условием в теореме 1 было условие строгой монотонности функции F (x, y) по переменной y . Достаточным условием, обеспечивающим строгую монотонность функцииF (x, y) по переменной y , является знакопостоянство частной производной Fy (x, y). Это условие использовалось в рассмотренномпримере и будет использовано в следующей теореме.Теорема 2.
Пусть выполнены условия:1. функция F (x, y) определена и непрерывна в некоторойокрестности точки M0 (x0 , y0 ) (обозначим эту окрестностьбуквой ω );2. в окрестности ω существует частная производная Fy (x, y),непрерывная в точке M0 ;3. F (x0 , y0 ) = 0, Fy (x0 , y0 ) = 0.3*68Гл. 10. Неявные функцииРис. 10.2.Тогда существует прямоугольникQ = {(x, y) : |x − x0 | < d, |y − y0 | c ; d > 0, c > 0},целиком содержащийся в окрестности ω точки M0 , в которомуравнение F (x, y) = 0 определяет единственную неявную функцию вида y = f (x), и эта функция непрерывна при |x − x0 | < d.Доказательство.
Пусть (для определенности) Fy (x0 , y0 ) > 0 (см.условие 3). В силу непрерывности Fy (x, y) в точке M0 (условие 2) и устойчивости знака непрерывной функции найдетсяпрямоугольникQ = (x, y) : |x − x0 | < d, |y − y0 | c ; d > 0, c > 0 ,целиком содержащийся в окрестности ω точки M0 , в которомFy (x, y) > 0 и, следовательно, функция F (x, y) является возрастающей функцией переменной y на сегменте [y0 − c, y0 + c] для.любого x ∈ (x0 − d, x0 + d)Рассмотрим функцию F (x0 , y) на сегменте y0 − c y y0 + c.Так как она возрастает на этом сегменте и так как F (x0 , y0 ) = 0(условие 3), тоF (x0 , y0 − c) < 0 и F (x0 , y0 + c) > 0.(10.7)Рассмотрим теперь функцию F (x, y) на нижней и верх , то есть рассмотрим функцииней сторонах прямоугольника Q1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
