В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Частные производные и дифференцируемость29Этим приращениям Δx и Δy соответствует приращение Δzфункции z = f (x, y) в точке (x0 , y0 ), которое в силу условия 2можно записать в видеΔz =∂f∂f(x0 , y0 ) Δx +(x , y ) Δy + γ1 Δx + γ2 Δy ,∂x∂y 0 0(9.9)где γ1 , γ2 → 0 при (Δx → 0, Δy → 0), γ1 = γ2 = 0 при Δx == Δy = 0, и, следовательно, γ1 , γ2 → 0 при {Δu → 0, Δv → 0},γ1 = γ2 = 0 при Δu = Δv = 0.Подставляя (9.8) в (9.9), приходим к равенству, которое запишем в видеΔz = AΔu + BΔv + αΔu + βΔv ,(9.10)гдеA=иB=∂f∂ϕ∂f∂ψ(x0 , y0 ) ·(u0 , v0 ) + (x0 , y0 ) ·(u , v )∂x∂u∂y∂u 0 0∂f∂ϕ∂f∂ψ(x0 , y0 ) ·(u0 , v0 ) + (x0 , y0 ) ·(u , v ) —∂x∂v∂y∂v 0 0числа, аα=иβ=∂f∂f∂ϕ∂ψα1 + β1 +γ1 +γ + γ1 α1 + γ2 β1∂x∂y∂u∂u 2∂f∂f∂ϕ∂ψα2 + β2 +γ1 +γ + γ1 α2 + γ2 β2 —∂x∂y∂v∂v 2функции, удовлетворяющие, очевидно, условиямα и β → 0 при (Δu → 0, Δv → 0) , α = β = 0 при Δu = Δv = 0.Равенство (9.10) означает, что сложная функцияz = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) дифференцируема в точке (u0 , v0 ).
Теоремадоказана.Из равенства (9.10) следуют формулы для производных сложной функции:∂z(u , v ) =∂u 0 0∂z(u , v ) =∂v 0 0∂f(x , y ) ·∂x 0 0∂f(x , y ) ·∂x 0 0∂ϕ(u , v ) +∂u 0 0∂ϕ(u , v ) +∂v 0 0∂f(x , y ) ·∂y 0 0∂f(x , y ) ·∂y 0 0∂ψ(u , v ),∂u 0 0∂ψ(u , v ).∂v 0 030Гл. 9. Функции многих переменныхЭти же формулы запишем в более кратком виде:∂z∂z ∂x∂z ∂y=·+· ,∂u∂x ∂u∂y ∂u∂z∂z ∂x∂z ∂y=·+· .∂v∂x ∂v∂y ∂v(9.11)При такой записи более наглядно видна зависимость z от uи v через каждый из аргументов x и y .Примеры.1. Рассмотрим уравнение y∂z∂z−x= 0 (это уравнение на∂x∂yзывается уравнением в частных производных; требуетсянайти функцию z(x, y), удовлетворяющую этому уравнению).Пусть f (t) — произвольная дифференцируемая 2 функцияаргумента t.
Проверим, что функция z = f x + y 2 удовлетворяет данному уравнению. Найдем ее частные производные∂z∂z= f x2 + y 2 · 2 x,= f x2 + y 2 · 2 y∂x∂yи подставим эти выражения в уравнение:∂z∂zy − x = (2xy − 2xy) · f x2 + y 2 = 0.∂x∂yТаким образом, любая функция z = f x2 + y 2 , где f (t) —дифференцируемая функция, является решением данногоуравнения.2.
Вычислим частные производные по x и по y функцииz = f x − y 2 , x2 + y 3 .Введем обозначения: u = x − y 2 , v = x2 + y 3 . Тогда∂z= fu + fv · 2x,∂x∂z= fu · (−2y) + fv · 3y 2 .∂yРассмотрим теперь более общий случай сложной фукнции:u = f (x1 , . . . , xm ) ,где x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ) , . . . , xm = ϕm (t1 , . . . , tk ). Для ее частныхпроизводных имеет место формула, которая выводится аналогично формулам (9.11):m∂u ∂x1∂u∂u ∂xm∂u ∂xj=+ ... +·=·(i = 1, . . . , k).·∂ti∂x1∂ti∂xm∂tij=1∂xj∂ti(9.12)5. Частные производные и дифференцируемость31Дифференциал функции многих переменныхПусть функция u = f (x1 , .
. . , xm ) дифференцируема в точкеM . Тогда ее приращение в этой точке можно представить в видеΔu = ∂u∂u(M )Δx1 + . . . +(M ) Δxm +∂x1∂xm+ (α1 Δx1 + . . . + αm Δxm ) ,где αi → 0 при {Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0}, αi = 0 при Δx1 = . . . == Δxm = 0, i = 1, . . . , m.Обе суммы, заключенные в круглые скобки в правой части равенства, являются бесконечно малыми при{Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0}. При этом первая сумма являетсялинейной относительно Δx1 , .
. . , Δxm частью приращенияфункции, а вторая сумма — бесконечно малой более высокогопорядка, чем линейная часть, при {Δx1 → 0, . . . , Δxm → 0} .Определение. Дифференциалом (первым дифференциалом)функции u = f (M ) в точке M называется линейная относительно Δx1 , . . . , Δxm часть приращения функции в точке M :du =∂u∂u(M ) Δxm .(M )Δx1 + . . . +∂x1∂xmДифференциалом независимой переменной xi будем называтьприращение этой переменной:dxi = Δxi ,i = 1, 2, .
. . , m.Выражение для дифференциала функции в точке M запишется теперь так: ∂u∂u∂udu =(M )dx1 + . . . +(M )dxm =(M )dxj . (9.13)∂x1∂xm∂xjmj=1Лемма 4 (об инвариантности формы первого дифференциала). Формула (9.13) остается в силе, если x1 , .
. . , xm являются не независимыми переменными, а дифференцируемымифункциями каких-то независимых переменных.Доказательство. Пусть u = f (x1 , . . . , xm ) — дифференцируемаяфункция, а xj = ϕj (t1 , . . . , tk ) — дифференцируемые функции32Гл. 9. Функции многих переменныхнезависимых переменных t1 , . . . , tk (j = 1, .
. . , m). Тогда, используя формулу (9.12), можно записать цепочку равенств:m kkkm∂u∂u ∂xj∂u∂xjdu =dti =dti =dti ==i=1mj=1∂ti∂u∂xj ∂xi=1j=1∂xj ∂ti∂xdt1 + . . . + j dtk =∂t1∂tkjj=1mj=1∂xji=1∂ti∂udxj .∂xjПервое равенство в этой цепочке написано в соответствиис определением дифференциала функции, во втором равенствеиспользуется формула (9.12), третье равенство получено путем изменения порядка суммирования и, наконец, в последнем равенстве использовано то, что дифференциал функцииxj = ϕj (t1 , . . . , tk ) выражается (согласно определению дифференциала функции) формулойdxj =∂xj∂xdt1 + . .
. + j dtk .∂t1∂tkИтак,du =m∂uj=1∂xjdxj ,(9.14)то есть формула (9.13) имеет место и в том случае, когда x1 , . . .. . . , xm — дифференцируемые функции каких-либо независимыхпеременных. Лемма 5 доказана.Замечание. Отличие формулы (9.14) от формулы (9.13) состоит в том, что в формуле (9.13) dxj = Δxj — приращениепеременной xj , а в формуле (9.14) dxj — дифференциал функцииxj = ϕj (t1 , .
. . , tk ), поэтому, здесь, вообще говоря, dxj = Δxj .Таким образом, формула (9.14) показывает, что сохраняется форма (вид) выражения для дифференциала функции, а содержание(наполнение) этой формулы изменяется.Пример. Пусть u = xy . Тогдаdu = y · xy−1 · dx + xy · ln x · dy —дифференциал данной функции в точке (x, y). В точке (1, 1) du == dx; в точке (1, 0) du = 0 (отметим, что это не число, а функцияаргументов dx и dy , равная тождественно нулю).6. Геометрический смысл дифференцируемости функции33Правила дифференцированияПусть u и v — дифференцируемые функции аргументов x1 , . . ..
. . , xm .Тогда:1. d(cu) = c du (c = const),2. d(u ± v) = du ± dv ,3. d(uv)+ u dv , u = vvdudu − u dv=(v = 0).4. d2vvuДокажем, например, формулу 4. Введем функцию w = ,vона является сложной функцией аргументов x1 , . . . , xm . В силулеммы 5dw =∂wu∂w1vdu − udv· du +· dv = du − 2 dv =,∂u∂vvvv2что и требовалось доказать.§ 6. Геометрический смысл дифференцируемостифункцииI. Касательная плоскость и нормаль к поверхностиНапомним, что для функции одной переменной y = f (x) издифференцируемости в точке x0 следует существование касательной к графику функции в точке (x0 , f (x0 )).Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y), (x, y) ∈∈ D.
Ее графиком является поверхностьS = {N (x, y , f (x, y)) , (x, y) ∈ D}в прямоугольной системе координат Oxyz (рис. 9.10). ПустьN0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S , z0 = f (x0 , y0 ). Проведем через точку N0 плоскость P . Пусть N (x, y , z) — произвольная точка на поверхностиS , z = f (x, y); N N1 ⊥P , N1 ∈ P .Определение. Плоскость P , проходящая через точку N0поверхности S , называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при N → N0 (N ∈ S) расстояниеρ (N , N1 ) является бесконечно малой величиной более высокогопорядка, чем ρ (N , N0 ), то естьlimN →N0(N ∈S)2 В.Ф. Бутузовρ (N , N1 )= 0.ρ (N , N0 )34Гл.
9. Функции многих переменныхРис. 9.10.Так какρ (N , N1 )= sin ∠N N0 N1 , то из написанного предельρ (N , N0 )ного равенства следует, что ∠N N0 N1 → 0 при N → N0 .Теорема 17. Если функция z = f (x, y) дифференцируема вточке M0 (x0 , y0 ), то в точке N0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ),существует касательная плоскость к графику этой функции.Доказательство. Пусть N (x, y , z) ∈ S , z = f (x, y). Положим x −− x0 = Δx, y − y0 = Δy , z − z0 = f (x, y) − f (x0 , y0 ) = Δz . Таккак функция z = f (x, y) дифференцируема в точке M0 , то ееприращение Δz можно представить в видеΔz =∂z∂z(M0 ) Δx +(M0 ) Δy + o(ρ),∂x∂yгде ρ = ρ(M , M0 ) =(Δx)2 + (Δy)2 .
Введем обозначения:∂z∂z(M0 ) = A,(M0 ) = B и перепишем условие дифференциру∂x∂yемости в видеz − z0 = A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + o(ρ).Рассмотрим плоскость P , заданную уравнениемZ − z0 = A(x − x0 ) + B(y − y0 ),и докажем, что она является касательной плоскостью к поверхности S в точке N0 (x0 , y0 , z0 ).6. Геометрический смысл дифференцируемости функции35Плоскость P проходит через точку N0 (x0 , y0 , z0 ) и имеетвектор нормали n = {A, B , −1}. Нам надо доказать, чтоρ (N , N1 )→ 0 при N → N0 (N ∈ S), где N N1 ⊥P , N1 ∈ P.ρ (N , N0 )Пусть N2 — точка пересечения прямой N M с плоскостью P .Точка N2 имеет координаты (x, y , Z = z0 + A(x − x0 ) + B(y − y0 )),поэтому ρ(N , N2 ) = |z − Z| = o(ρ). Так как ρ(N , N1 ) ρ(N , N2 )(перпендикуляр меньше наклонной), а ρ(N , N0 ) ρ(M , M0 ) = ρ,тоρ (N , N1 )ρ (N , N2 )o(ρ)=→ 0 при N → N0 ,ρ (N , N0 )ρ (M , M0 )ρρ (N , N )1и, следовательно,→ 0 при N → N0 (N ∈ S).
Теоремаρ (N , N0 )доказана.Итак, плоскость, заданная уравнениемZ − z0 =∂z∂z(M0 )(x − x0 ) + (M0 )(y − y0 ),∂x∂yявляется касательной плоскостью к поверхности S (графикуфукнции z = f (x, y)) в точке N0 (x0 , y0 , z0 ). ∂z∂zВектор n =(M0 ), (M0 ), −1называется вектором∂x∂yнормали к поверхности S в точке N0 (x0 , y0 , z0 ).Примеры.1. Пусть поверхность S задана уравнением z = x2 + y 2 (этопараболоид вращения).Тогда точка N0 (1, 2, 5) ∈ S ;M0 (1, 2),∂z∂z(M0 ) = 2,(M0 ) = 4.∂x∂yУравнение касательной плоскости кданной поверхности в точке N0 :Z − 5 = 2(x − 1) + 4(y − 2).2. Пусть поверхностьS задана уравРис. 9.11.22нением z = x + y (это коническая поверхность, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
