В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 8
Текст из файла (страница 8)
, tk , то формула (9.24) изменится (то же самое относится к функцииu = f (x1 , . . . , xm ) и формуле (9.25)). Действительно, в силу инвариантности формы 1-го дифференциала имеем:du =∂u∂udx +dy ,∂x∂yгде dx и dy являются функциями t1 , . . . , tk , dt1 , . . . , dtk , аи∂u∂x∂u— функциями t1 , .
. . , tk . При вычислении второго диффе∂yренциала d2 u, как дифференциала от первого дифференциала,50Гл. 9. Функции многих переменныхрассматриваем du как функцию t1 , . . . , tk , то есть учитываемзависимость от t1 , . . . , tk всех входящих в du слагаемых и сомножителей: ∂u∂u2d u =ddx + dy =∂x ∂u ∂y ∂u ∂u ∂u2= ddx + d x + ddy + d2 y =∂x∂x∂y∂y 2∂∂∂u 2∂u 2=dx + dy u +d x+ d y .∂x∂y∂x∂yМы видим, что по сравнению со случаем, когда x и y —независимые переменные, выражение для d2 u содержит дополнительные слагаемые (они заключены в фигурные скобки).Таким образом, форма второго дифференциала не инвариантна. То же самое относится к дифференциалам более высокогопорядка.
Исключением из этого является случай, представленный далее в замечании.Замечание. Если x и y — линейные функции t1 , . . . , tk , тоестьx = α1 t1 + . . . + αk tk + αk+1 , y = β1 t1 + . . . + βk tk + βk+1 ,αi и βi — числа, то dx = α1 dt1 + . . . + αk dtk не зависит отt1 , . . . , tk , и поэтому d2 x = d(dx) = 0. Аналогично, d2 y = 0, и,∂2∂2следовательно, d u =dx + dy u, то есть формула (9.24)∂x∂yпри n = 2 остается в силе. То же самое будет для n > 2.И также, если x1 , . . . , xm — линейные функции t1 , .
. . , tk , тоестьxi = αi1 t1 + . . . + αik tk + αi,k+1 ,i = 1, . . . , m,(9.27)то формула (9.25) остается в силе, где dxi — дифференциалыфункций (9.27). Это замечание понадобится нам в следующемпараграфе.§ 8. Формула ТейлораДля функции u = F (t) одной переменной имеет место теорема: если функция u = F (t) (n + 1) раз дифференцируема в8. Формула Тейлора51окрестности точки t = t0 , то ∀t из этой окрестности справедливоравенство (формула Тейлора):F (t) = F (t0 ) + F (t0 )(t − t0 ) + . .
. ++1 (n)F (t0 )(t − t0 )n +n!1F (n+1) (t0 + θ(t − t0 )) · (t − t0 )n+1 ,(n + 1)!где 0 < θ < 1.Положим t − t0 = Δt = dt. Так как F (k) (t0 )(t − t0 )k == F (k) (t0 )(dt)k = dk F t=t , то, обозначив F (t) − F (t0 ) через Δu,0формулу Тейлора запишем в видеΔu = dF |t=t0 + . . .
+1 n1d F |t=t0 +dn+1 F t=t +θΔt0n!(n + 1)!(9.28)Таким образом, формула (9.28) — это обычная формула Тейлора для фукнции одной переменной, но записанная в специальном виде — через дифференциалы функции.Для функции многих переменных имеет место аналогичнаяформула.Теорема 19. Если функция u = f (x1 , .. . , xm ) (n + 1) раз диф00ференцируемав ε-окрестности 0 точки M0 x1 , . .
. , xm , то ∀ точки0M x1 + Δx1 , . . . , xm + Δxm из этой ε-окрестности приращениефункции Δu = f (M ) − f (M0 ) можно представить в виде1 2 1 n 1Δu = du|M0 + d u + . . . + d u +dn+1 u (9.29)2!M0n!M0(n + 1)!N,где N — некоторая точка, лежащая на отрезке M0 M , а дифференциалы dk u вычисляются по формулеkd u= ∂∂Δx1 + . .
. +Δxm∂x1∂xmФормула (9.29) называется формулой Тейлора дляфункции u = f (M ) с центром разложения в точкеM0 .Доказательство.Зафиксируем точку M (x01 ++ Δx1 , . . . , x0m + Δxm ) изуказаннойε-окрестностиku.Рис. 9.21.52Гл. 9. Функции многих переменныхточки M0 (рис. 9.21). Уравнения отрезка M0 M можно записатьв видеx1 = x01 + tΔx1 , . . . , xm = x0m + tΔxm ,0 t 1.(9.30)Точка M0 соответствует t = 0, точка M соответствует t = 1.На отрезке M0 M имеем:u = f x01 + tΔx1 , . . . , x0m + tΔxm =: F (t) —сложная функция одной переменной t, причем F (t) (n + 1) раздифференцируема на отрезке 0 t 1.Заметим, чтоΔu = f (M ) − f (M0 ) = F (1) − F (0).(9.31)Применим к разности F (1) − F (0) формулу (9.28).
Для этогов формуле (9.28) нужно положить t0 = 0, t = 1, dt = Δt = 1 −− 0 = 1. Получим1 n 1F (1) − F (0) = dF |t=0 + . . . + d F +dn+1 F (9.32)n!(n + 1)!t=0t=θ.Так как x1 , . . . , xm — линейные функции переменной t(см.(9.30)), то дифференциалы dk F можно вычислить по формуле (9.25) (см. замечание на стр. 50), то естьk ∂∂dk F t=0 =dx + .
. . +dxm u , k = 1, 2, . . . , n,∂x1 1∂xmM0где dx1 , . . . , dxm — дифференциалы функций (9.30): dx1 = dt ·· Δx1 = Δx1 , . . . , dxm = dt · Δxm = Δxm . Итак,k ∂∂dk F t=0 =Δx1 + . . . +Δxm u = dk uM , k = 1, 2, . . . , n,∂x1∂xmM00(9.33)и, аналогично,dn+1 F t=θ = ∂n+1 ∂Δx1 + . . . +Δxmu==∂x1∂xm0 +θΔx ,...,x0 +θΔx )N(xm1m1= dn+1 uN .(9.34)Так как 0 < θ < 1, то точка N лежит на отрезке M0 M .Подставляя выражения (9.33) и (9.34) в правую часть равенства (9.32) и учитывая (9.31), приходим к формуле (9.29).Теорема доказана.8. Формула Тейлора53Следствия.1. При n = 0 из (9.29) получаем формулу Лагранжа конечныхприращений для функции многих переменных:Δu = f x01 + Δx1 , .
. . , x0m + Δxm − f x01 , . . . , x0m =∂f∂f(N )Δxm .(N )Δx1 + . . . +∂x1∂xm= du|N =2. Формулу Тейлора можно записать не через дифференциалы функции, а через ее производные. Для этого нужнораскрыть выражения для дифференциалов dk u:k ∂∂dk uM =Δx1 +Δxm u =0∂x1∂xm=m!m!i1 = 1 i 2 = 1в частности,d2 u···m!kM0∂ u(M0 )Δxi1 . .
. Δxik ,ik =1 ∂xi1 . . . ∂xikm!M0∂2u=(M0 )Δxi Δxj .i,j=1 ∂xi ∂xjКроме того, положим Δxi = xi − x0i (i = 1, . . . , m). Тогда из(9.29) получим равенство ∂ff (x1 , . . . , xm ) = f x01 , . . . , x0m +(M0 ) x1 − x01 + . . . +∂x1 1∂ f∂f0 2 + ... +(M0 ) xm − x0m +(M)x−x+101∂xm2 ∂x211 ∂nf0 n+R+(M)x−xmn+1 =: Pn (x1 , . . . , xm ) + Rn+1 ,0mn! ∂xnm2где Pn (x1 , . .
. , xm ) — многочлен, зависящий от x1 , . . . , xm(степень которого не превосходит n), обладающий темсвойством, что все его частные производные до n-го порядка включительно в точке M0 равны соответствующимчастным производным функции f (x1 , . . . , xm ) в точке M0(он называется многочленом Тейлора функции f (M )), а1Rn+1 =dn+1 uN — остаточный член.(n + 1)!Замечание. Положим ρ = ρ(M0 , M ) = Δx21 + . . .
+ Δx2m .Нетрудно доказать, что при условии теоремы 19 справедливо равенство Rn+1 = o(ρn ). Это выражение называется формой Пеаноостаточного члена. Как и в случае функции одной переменной54Гл. 9. Функции многих переменныхостаточный член в форме Пеано можно получить при болееслабых требованиях, чем в теореме 19. В частности, для n = 2справедливаТеорема 19а . Если функция u = f (M ) дважды дифференцируема в точке M0 , то приращение функции Δu = f (M ) − f (M0 )можно представить в видеΔu = du|M0 + 1 2 d u M + o ρ2 ,02(9.35)где ρ = ρ(M0 , M ).Доказательство. Введем функциюg(M ) = f (M ) − f (M0 ) − du|M0 −1 2 d uM .02 Нам нужно доказать, что g(M ) = o ρ2 при ρ → 0.
Запишемболее подробное выражение для g(M ):g(M ) = g(x1 , . . . , xm ) = f (M ) − f (M0 ) −−m ∂f!i=1∂xi(M0 ) xi − x0i −m1 !∂2f(M0 ) xi − x0i xj − x0j .2 i,j=1 ∂xi ∂xjНетрудно проверить, чтоg(M0 ) = 0,∂g∂2g(M0 ) = 0,(M0 ) = 0, i, j = 1, . . . , m. (9.36)∂xi∂xi ∂xjФункция g(M ) отличается от дважды дифференцируемой вточке M0 функции f (M ) на многочлен второй степени, поэтомуфункция g(M ) также дважды дифференцируема в точке M0 , тоесть g(M ) дифференцируема в некоторой ε-окрестности точки∂gдифференцируемы в точке M0 .∂xi∂gПо определению дифференцируемости приращение функции∂xiM0 и ее частные производныев точке M0 можно представить в виде ∂g ∂g ∂g∂g=Δ(M ) −(M0 ) = d∂xi∂xi=m∂2gj=1∂xj ∂xi∂xi∂xi+ o(ρ) =M0(M0 ) xj − x0j + o(ρ).9. Локальный экстремумОтсюда, учитывая равенства (9.36), получаем:55∂g(M ) = o(ρ),∂xiгде ρ = ρ(M0 , M ).Запишем теперь разность g(M ) − g(M0 ) по формуле Лагранжа:m∂gg(M ) − g(M0 ) =(9.37)(N ) xi − x0i ,i=1∂xiгде N — некоторая точка на отрезке M0 M .
Так как ρ(M0 , N ) ρ(M0 , M ) = ρ, то∂g(N ) = o (ρ(M0 , N )) = o(ρ),∂xiа поскольку g(M0 ) = 0 и xi − x0i ρ, то из равенства (9.37)следует:m g(M ) =o(ρ) xi − x0i = o ρ2 .i=1Теорема доказана.Пример. Пусть u(x, y) = xy , M0 (1, 0). Тогда u(M0 ) = 1,∂u(M0 ) = 0,∂x∂u(M0 ) = 0,∂yпоэтому du|M0 = 0,а d2 uM = 2dxdy (см.
пример в §7), причем для точки M (x, y)0имеем равенстваdx = Δx = x − 1, dy = Δy = y − 0 = y ,ρ(M0 , M ) = (x − 1)2 + y 2 .Применяя формулу (9.35), получаем:Δu = xy − 1 = 1· 2(x − 1)y + o ρ2 ,2откуда xy = 1 − y + xy + o (x − 1)2 + y 2 .В достаточно малой окрестности точки M0 (1, 0) для приближенного вычисления xy можно использовать формулу xy ≈ 1 −− y + xy .§ 9. Локальный экстремумПусть функция u = f (M ) определена в некоторой окрестности точки M0 ∈ Rm .Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
