В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 27
Текст из файла (страница 27)
14.20). Ее можно разбитьна 4 «xyz -проектируемые» части.3) Если поверхность P представляет собой плоскую область, расположенную в плоскости, перпендикулярнойк оси координат, то она не является «xyz -проектируемой». Однако, формулаСтокса верна и в этом случае. Более того,для такой поверхности формула Стокса переходит в формулу Грина. Пусть, например,Рис.
14.20.плоская поверхность P перпендикулярна коси Oz . Тогда cos α = cos β = 0, cos γ = 1,Rdz = 0 и из формулы Стокса получаем:LP dx + Qdy =L ∂Q∂P−∂x∂ydxdy (формула Грина).P4) Формула Стокса остается в силе, если граница поверхности P состоит из нескольких замкнутых контуров. При этом влевой части формулы нужно написать сумму криволинейных интегралов по всем этим контурам, пробегаемым в положительномнаправлении.5) Для запоминания формулы Стокса полезно заметить, чтопервое слагаемое под знаком интеграла в правой части формулы(14.19) является произведением подинтегральной функции изправой части формулы Грина на cos γ , а два следующих слагаемых получаются из первого циклической перестановкой:P → Q x→ yα → β ; ; .Rzγ6. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути...
197§ 6. Условия независимости криволинейногоинтеграла второго рода от пути интегрирования впространствеПусть G — область в пространстве R3 , то есть открытоесвязное множество. Будем называть область G поверхностноодносвязной, если для любого замкнутого контура L, лежащегов области G, существует поверхность, ограниченная контуром Lи целиком лежащая в области G.Примеры. Шар, параллелепипед, область между двумя концентрическими сферами — поверхностно односвязные области;тор не является поверхностно односвязной областью.Теорема 5. I. Пусть функции P (x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z)определены и непрерывны в области G.
Тогда следующие триусловия эквивалентны:1. Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области G, справедливо равенствоP dx + Qdy + Rdz = 0.L2. Для любых двух точек A и B области G криволинейныйP dx + Qdy + Rdz не зависит от пути интегриинтегралABрования, расположенного в области G.3. Выражение P (x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz является полным дифференциалом, то есть в области G существует функция u = u(x, y , z), такая, чтоdu = P dx + Qdy + Rdz.При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB , лежащейв области G, имеет место равенствоP dx + Qdy + Rdz = u(B) − u(A).ABII. Если область G — поверхностно односвязная, а функцииP , Q, R имеют в области G непрерывные частные производныепервого порядка, то каждое из условий 1–3 эквивалентно условию∂P∂Q ∂Q∂R ∂R∂P4.=,=,=во всех точках области G.∂y∂x∂z∂y∂x∂z198Гл.
14. Поверхностные интегралы.→a = {P , Q, R}, то условие 4Если ввести вектор-функцию −→−→−можно записать в виде rot a = 0 .Доказательства утверждений I и II проводятся по той же схеме, что и в аналогичной теореме для криволинейных интеграловна плоскости:1→2→3→1и3 → 4 → 1.Отличие состоит лишь в том, что при доказательстве утверждения 4 → 1 нужно воспользоваться не формулой Грина, аформулой Стокса.Замечание.
Функция u(x, y , z) из условия 3 может быть найдена по формуле(x,y ,z)u(x, y , z) =P dx + Qdy + Rdz =(x0 ,y0 ,z0 )yxP (x, y0 , z0 ) dx +=x0zQ(x, y , z0 ) dy +y0R(x, y , z) dz + C ,z0где (x0 , y0 , z0 ) — какая-нибудь фиксированная точка, C — произвольная постоянная, а в качестве кривой интегрирования взяталоманая, отрезки которой параллельны осям координат.Список литературы1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.
Основы математического анализа. М.: Физматлит, 2009.2. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. М.: Дрофа, 2006.3. С.М. Никольский. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2001.4. В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин Математический анализ в вопросах и задачах. СПб.: Лань, 2008.5.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель, 2009..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
