В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Она была получена М.В. Остроградским в 1827 г. в связи188Гл. 14. Поверхностные интегралыс рассмотрением задачи о распространении тепла в твердомтеле. Гаусс получил эту формулу ранее в частном случае, когдаP = x, Q = y , R = z .Доказательство. a) Рассмотрим сначала случай, когда G —«z -цилиндрическая» область, и докажем справедливость равенства∂R(x, y , z) dxdydz =R(x, y , z) cos γ ds.(14.14)∂zGPСводя тройной интеграл к повторному, получаем:∂R(x, y , z) dxdydz =∂zG=dxdy∂Rdz =∂zz (x,y)D1z2 (x,y)dxdy · R(x, y , z)=z1 (x,y)DR(x, y , z2 (x, y)) dxdy −=z2 (x ,y)D(14.15)R(x, y , z1 (x, y)) dxdy.DПервый из двойных интегралов в правой части (14.15) выразимчерез поверхностный интеграл по верхней стороне поверхностиP2 (z = z2 (x, y)), а второй — через поверхностный интегралпо нижней стороне поверхности P1 (z = z1 (x, y)) (см.
формулу(14.11)):R(x, y , z2 (x, y)) dxdy =R(x, y , z) cos γ ds,P2 DR(x, y , z1 (x, y)) dxdy = −DR(x, y , z) cos γ ds.P1Обозначим через P3 боковую (цилиндрическую) поверхность области G. Так как в точках этой поверхности n ⊥ Oz , то cos γ = 0,и поэтомуR(x, y , z) cos γ ds = 0.P34. Формула Остроградского–Гаусса189Равенство (14.15) можно теперь записать в виде∂Rdxdydz =R cos γ ds + R cos γ ds + R cos γ ds =∂zGP2P1P3R cos γ ds,=Pгде поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности P .
Тем самым, справедливость равенства (14.14) для«z -цилиндрической» области доказана.б) Пусть теперь G — простая область. Разобъем ее на конечное число «z -цилиндрических» областей Gi с границами Pi(i = 1, 2, 3, ..., n). Запишем для каждой области Gi равенство(14.14):∂Rdxdydz =R(x, y , z) cos γ ds.∂zGiPiСуммируя эти равенствапо i от 1 до n, получим в левой∂Rчасти интегралdxdydz , а в правой части интеграл∂zGR(x, y , z) cos γ dxdy , поскольку поверхностные интегралы поPвспомогательным поверхностям, разделяющим область G на части Gi , берутся дважды, причем один раз по одной сторонекаждой такой поверхности, а другой раз — по другой стороне(рис.
14.15), и поэтому сумма двух таких интегралов равна нулю.Итак, для простой области G справедливо равенство∂Rdxdydz =R(x, y , z) cos γ ds.∂zGPАналогично выводятся равенства (путем разбиения области G на«x-цилиндрические», а затем на «y -цилиндрические» области):∂Pdxdydz =P (x, y , z) cos α ds,(14.16)∂xGGP∂Qdxdydz =∂yQ(x, y , z) cos β ds.P(14.17)190Гл. 14.
Поверхностные интегралыСкладывая (14.14), (14.16) и (14.17), приходим к равенству(14.13): ∂P∂Q∂R(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds.++dxdydz =∂x∂y∂zGPТеорема 3 доказана.Замечания. 1) Введем вектор-функцию a == {P , Q, R} и скалярную функцию, которая называется дивергенцией векторного по∂P∂Q∂Rля a: div a =++. Тогда формулу∂x∂y∂zОстроградского–Гаусса можно записать в видеdiv a dxdydz =(a · n) ds.GPРис. 14.15.2)Можнодоказать,чтоформулаОстроградского–Гаусса верна для любой областиG, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладкихповерхностей.Следствие.
Если функции P , Q, R таковы, что∂P∂Q∂R++= 1,∂x∂y∂zто из формулы Остроградского-Гаусса получим выражение дляобъема области G через поверхностный интеграл:V (G) =dxdydz =(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds.GP131313В частности, если P = x, Q = y , R = z , то∂P∂Q∂R++=∂x∂y∂z= 1, и для объема V (G) получается формула:1V (G) =(x cos α + y cos β + z cos γ) ds =3P1=3x dydz + y dzdx + z dxdy ,P5.
Формула Стокса191где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности P . Эту формулу можно записать в виде1V (G) =(r · n) ds, где r = {x, y , z}.3PПример. Вычислить 2x + f1 (y , z) dydz + (cos y + f2 (x, z)) dzdx+I=P+ (z + f3 (x, y)) dxdy ,где P — внешняя сторона сферы x2 + y 2 + z 2 = R2 . ЗдесьP = x2 + f1 (y , z), Q = cos y + f2 (x, z), R = z + f3 (x, y), поэтому∂P∂Q∂R= 2 x,= − sin y ,= 1. По формуле Остроградского–∂x∂y∂zГауссаI= ∂P∂Q∂R++∂x∂y∂zG=dxdydz =43(2x − sin y + 1) dxdydz = πR3 .G§ 5. Формула СтоксаПусть P — двусторонняя поверхность, ограниченная контуром L. Выберем одну из сторон поверхности, то есть ориентируемповерхность. Введем положительное направление обхода контура L, соответствующее ориентации поверхности, следующим образом: если наблюдатель находится на выбранной сторонеповерхности (то есть направление от ног к голове совпадает снаправлением вектора нормали), то при обходе контура в положительном направлении он оставляет поверхность слева от себя(рис.
14.16).Если граница поверхности состоит из нескольких контуров,то для каждого из них положительное направление обхода определяется таким же образом (рис. 14.17). Выбор положительногонаправления обхода контура называется также согласованиемориентации контура с ориентацией поверхности.Определение.
Назовем поверхность P «xyz -проектируемой»,если она взаимно однозначно проектируется на каждую192Гл. 14. Поверхностные интегралыРис. 14.16.Рис. 14.17.координатную плоскость прямоугольной системы координатOxyz .Такую поверхность можно задать любым из трех уравненийвида:z = f1 (x, y),x = f2 (y , z),y = f3 (z , x),(x, y) ∈ D1 ;(y , z) ∈ D2 ;(z , x) ∈ D3 .(14.18)Простейшим примером такойповерхности является плоский треугольник ABC , изображенный нарисунке 14.18. В дальнейшем подгладкой «xyz -проектируемой» поверхностью будем понимать такуюповерхность P , которая удовлетворяет следующим условиям:функции f1 , f2 и f3 из уравнений (14.18) имеют непрерывныечастные производные первого поРис.
14.18.рядка в замкнутых ограниченныхобластях D1 , D2 и D3 , а границейповерхности P является замкнутый кусочно-гладкий контур, взаимно однозначно проектирующийся на границу каждой областиDi (i = 1, 2, 3).Теорема 4. Пусть1) функции P (x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) и их частные производные первого порядка непрерывны в области G;2) гладкая «xyz -проектируемая» поверхность P , ограниченнаяконтуром L, расположена внутри области G.5.
Формула Стокса193Тогда справедливо равенство ∂P∂QP dx + Qdy + Rdz =−cos γ+L+ ∂RP∂x∂y∂Q∂P∂Rcos α +cos β ds,−−∂y∂z∂z∂x(14.19)где α, β , γ — углы между вектором нормали на выбранной стороне поверхности P и осями Ox, Oy , Oz , а ориентация контураL согласована с ориентацией поверхности P .Формула (14.19) называетсяформулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру L через поверхностный интеграл второго рода по поверхности P , ограниченной контуром L.Доказательство.Запишемуравнение поверхности P в видеz = f (x, y), (x, y) ∈ D ,Рис. 14.19.где D — проекция поверхности Pна плоскость Oxy .Обозначим буквой l проекцию контура L на плоскость Oxy .Контур l является границей области D (рис.
14.19).Рассмотрим криволинейный интеграл P (x, y , z) dx. ПреобLразуем его в интеграл по поверхности P по следующей схеме:(2)(1)(3)−→−→−→.LlDPДля определенности будем рассматривать верхнюю сторонуповерхности P . При этом контур L пробегается в соответствующем положительном направлении (см. рис. 14.19).(1) Пусть параметрические уравнения контура l имеют видx = ϕ(t), y = ψ(t), α t β ,и контур l пробегается в положительном направлении при возрастании t от α до β .7 В.Ф. Бутузов194Гл. 14.
Поверхностные интегралыТогда параметрические уравнения контура L можно записатьв видеx = ϕ(t), y = ψ(t), z = f (ϕ(t), ψ(t)), α t β.ПоэтомуβP (x, y , z) dx = P (ϕ(t), ψ(t), f (ϕ(t), ψ(t))) ϕ (t) dt,αLβP (x, y , f (x, y)) dx = P (ϕ(t), ψ(t), f (ϕ(t), ψ(t))) ϕ (t) dt,αlоткуда следует равенствоP (x, y , z) dx = P (x, y , f (x, y)) dx.Ll(2) Согласно формуле Грина ∂Q∂PP dx + Qdy =−dxdy∂x∂yDlсправедливо равенство∂P (x, y , f (x, y)) dx = −P (x, y , f (x, y)) dxdy =l=− ∂yD∂P∂P ∂f+·∂y∂z ∂ydxdy.D ∂f ∂f −→(3) Вектор n = − , − , 1 является вектором норма∂x∂yли на верхней стороне поверхности P , поэтому его координаты пропорциональны координатам единичного вектора нормали{cos α, cos β , cos γ}, в частности−∂f∂ycos β=1,cos γоткуда∂fcos β=−.∂ycos γ5.
Формула Стокса195Следовательно, ∂P∂P ∂fdxdy =−+·∂yD=∂z∂y ∂P∂P1cos β −cos γdxdy =∂z∂ycos γD= ∂P∂Pcos β −cos γ∂z∂y1 + fx2 + fy2 dxdy =D= ∂P∂Pcos β −cos γ ds∂z∂y(см. формулу (14.6)).PИтак, ∂P∂Pcos β −cos γ ds.∂z∂y(14.20)Аналогично можно доказать, что ∂Q∂QQdy =cos γ −cos α ds,(14.21)P dx =LP∂xL∂zPRdz =L ∂R∂Rcos α −cos β ds.∂y∂x(14.22)PСкладывая равенства (14.20), (14.21) и (14.22), приходим к равенству (14.19). Теорема 4 доказана.→Замечания.
1) Введем вектор-функцию −a = {P , Q, R} ивектор-функцию, которая называется ротором векторного поля→−a (M ): −→ → −− →ijk →rot−a = ∂ ∂ ∂ = ∂x ∂y ∂z P Q R = ∂R − ∂P → ∂Q ∂P −→∂Q →∂R −i +j +k.−−−∂y∂z∂z∂x∂x∂yТогда формулу Стокса можно записать в виде →−→→→−(rot−a ·−n ) ds.a ·d l =L7*P196Гл. 14. Поверхностные интегралы→a (M )Эта формула читается так: циркуляция векторного поля −вдоль замкнутого контура L равна потоку векторного поля→rot−a (M ) через поверхность, натянутую на контур L.2) Если поверхность P не является «xyz -проектируемой»,но допускает разбиение на конечное число «xyz -проектируемых»поверхностей, то формула Стокса остается в силе.Примером такой поверхности является полусфера, расположенная в полупространстве z 0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
