В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 3
Текст из файла (страница 3)
9. Функции многих переменных§ 4. Непрерывность функции многих переменныхПусть функция u = f (M ) определена на множестве {M } ⊂⊂ Rm и пусть точка A ∈ {M } и является предельной точкоймножества {M }.Определение. Функция u = f (M ) называется непрерывнойв точке A, еслиlim f (M ) = f (A) .(9.2)M →AТочка разрыва функции u = f (M ) — это предельная точкамножества {M }, в которой f (M ) не является непрерывной.Определение. Приращением (полным приращением) функции u = f (M ) в точке A называется функция Δu = f (M ) − f (A).Условие (9.2) непрерывности функции в точке A можно записать в видеlim Δu = lim [f (M ) − f (A)] = 0 .M →AM →A(9.3)Равенство (9.3) называется разностной формой условиянепрерывности функции в точке A.Пусть точки M и A имеют координаты: M (x1 , . . .
, xm ) иA (a1 , . . . , am ). Положим Δx1 = x1 − a1 , . . . , Δxm = xm − am , тогда x1 = a1 + Δx1 , . . . , xm = am + Δxm ,Δu = f (M ) − f (A) = f (a1 + Δx1 , . . . , am + Δxm ) − f (a1 , . . . , am ) .Разностная форма условия непрерывности функции принимаетвидlim Δu = 0 .Δx1 →∞.........Δxm →∞Введем теперь понятие непрерывности функции по отдельным переменным.Рассмотрим функцию двух переменных u = f (x, y). Зафиксируем значение аргумента y , положив y = y0 (рис. 9.3). Получаемфункцию одной переменной f (x, y0 ). Если эта функция непрерывна в точке x0 , то есть lim f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ), то будем гоx→x0ворить, что функция u = f (x, y) непрерывна в точке M0 (x0 , y0 )по переменной x.Аналогично определяется непрерывность функции f (x, y) вточке M0 по переменной y .Сформулируем другое (эквивалентное) определение.
Из точки M0 (x0 , y0 ) перейдем в точку M (x0 + Δx, y0 ), то есть дадим4. Непрерывность функции многих переменныхРис. 9.3.17Рис. 9.4.приращение Δx аргументу x (рис. 9.4). Функция u = f (x, y)получит приращениеΔx u = f (x0 + Δx, y0 ) − f (x0 , y0 ) .Оно является функцией одной переменной Δx и называетсячастным приращением функции f (x, y) в точке M0 , соответствующим приращению Δx аргумента x.Определение. Функция u = f (x, y) называется непрерывной в точке M0 (x0 , y0 ) по переменной x, если lim Δx u = 0.Δx→0Аналогичноопределяетсянепрерывностьфункцииu = f (x1 , .
. . , xm ) в данной точке по отдельным переменным.Непрерывность функции, определенную условием (9.2) (или(9.3)), называют также непрерывностью по совокупности переменных.Теорема 6. Если функция u = f (x, y) определена в окрестности точки M0 (x0 , y0 ) и непрерывна в точке M0 , то она непрерывна в этой точке по отдельным переменным.lim f (x, y) = f (x0 , y0 ). В частноДоказательство. По условию x→x0y→y0сти, lim f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ), а это означает, что f (x, y) непреx→x0рывна в точке M0 по переменной x. Аналогично доказываетсянепрерывность в точке M0 по переменной y .Замечание. Обратное к теореме 6 утверждение не верно.Пример.
xy, x2 + y 2 = 0 ,22x +yu(x, y) =x = y = 0.0,Функция u(x, y) непрерывна в точке O(0, 0) по отдельнымпеременным. В самом деле, u(x, 0) = 0, отсюда следует, что18Гл. 9. Функции многих переменныхlim u(x, 0) = 0 = u(0, 0), то есть функция u(x, y) непрерывна вx→0точке O(0, 0) по переменной x. Аналогично доказывается непрерывность функции в точке O(0, 0) по переменной y .Но lim u(x, y) не существует (см. пример 2 на стр.
13), поx→0y→0этому функция u(x, y) разрывна в точке O(0, 0) по совокупностипеременных.Рассмотрим еще два примера.1. Функция⎧⎨ x2 y, x2 + y 2 = 0 ,42u(x, y) =y⎩ x +0,x = y = 0.непрерывна в точке O(0, 0) вдоль каждой прямой, проходящей через точку O, так как вдоль каждой такой прямойlim u(x, y) = 0 = u(0, 0) (это было показано выше),(x,y)→(0,0)но вместе с тем, эта функция не является непрерывной вточке O по совокупности переменных, так как lim u(x, y)2.не существует.u(x, y) =x→0y→0(x + y) sinТак как lim (x + y) sinx→0y→00,11sin , x = 0 , y = 0 ,xyx = y = 0.11sin = 0 = u(0, 0), то эта функцияxyнепрерывна в точке O(0, 0) по совокупности переменных. Вместе с тем, она не определена на осях координат (кроме точкиO(0, 0)), и поэтому не является непрерывной по отдельным переменным в точке O(0, 0).Вопрос: как этот пример соотносится с утверждением теоремы 6?Основные теоремы о непрерывных функцияхТеорема 7 (арифметические операции над непрерывными функциями).
Если функции f (M ) и g(M ) определены намножестве {M } и непрерывны в точке A, то f (M ) ± g(M ),f (M )g(M ),f (M )(при условии g(A) = 0) непрерывны в точке A.g(M )4. Непрерывность функции многих переменных19Утверждение теоремы 7 следует из теоремы 4 и определениянепрерывности.Пусть аргументы функции u = f (x1 , . . . , xm ) являются ненезависимыми переменными, а функциями переменных t1 , .
. . , tk :x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xm = ϕm (t1 , . . . , tk ),(9.4)причем функции (9.4) определены на множестве {K(t1 , . . . , tk )} ⊂⊂ Rk .В этом случае будем говорить, что на множестве {K} определена сложная функция u = f (ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , ϕm (t1 , . . . , tk )).Теорема 8 (о непрерывности сложной функции). Пустьфункции (9.4) непрерывны в точке A(a1 , . . .
, ak ), а функцияu = f (x1 , . . . , xm ) непрерывна в точке B(b1 , . . . , bm ), где b1 == ϕ1 (a1 , . . . , ak ), . . . , bm = ϕm (a1 , . . . , ak ). Тогда сложная функцияu = f (ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , ϕm (t1 , . . . , tk )) непрерывна в точке A.(Докажите самостоятельно).Теорема 9 (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция u = f (M ) непрерывна в точке A и f (A) >> 0 (< 0), то ∃ δ -окрестность точки A, в которой f (M ) > 0 (< 0).Указание: для доказательства теоремы воспользуйтесь определением непрерывности функции в точке A и возьмите ε == |f (A)|.Теорема 10 (о прохождение непрерывной функции черезлюбое промежуточное значение).
Пусть функция u = f (M ) == f (x1 , . . . , xm ) непрерывна на связном множестве {M }, пустьM1 и M2 — две любые точки из {M }, f (M1 ) = u1 , f (M2 ) = u2 ,и пусть u0 — любое число из сегмента [u1 , u2 ].Тогда на любой непрерывной кривой L, соединяющей точкиM1 и M2 и целиком принадлежащей множеству {M }, найдетсятакая точка M0 , такая, что f (M0 ) = u0 .Доказательство. ПустьL = {M (x1 , . . .
, xm ) : x1 = ϕ1 (t), . . . , xm = ϕm (t), α t β} —непрерывная кривая, соединяющая точки M1 и M2 и целикомпринадлежащая множеству {M } (рис. 9.5).Точки M1 и M2 имеют координаты: M1 (ϕ1 (α), . . . , ϕm (α)),M2 (ϕ1 (β), . . . , ϕm (β)).На кривой L заданная функция является сложной функциейпеременной t:u = f (ϕ1 (t), . . . , ϕm (t)) =: F (t), причем по теореме 8 функцияF (t) непрерывна на сегменте [α, β]. На концах сегмента [α, β]20Гл. 9. Функции многих переменныхфункция F (t) имеет значения F (α) = f (ϕ1 (α), . .
. , ϕm (α)) == f (M1 ) = u1 и F (β) = f (M2 ) = u2 .В силу известной теоремы для функции одной переменной ∀ u0 ∈ [u1 , u2 ] ∃ t0 ∈∈ [α, β], такое, что F (t0 ) == u0 . Но F (t0 ) = f (ϕ1 (t0 ), . . .. . . , ϕm (t0 )) = f (M0 ), причемточка M0 (ϕ1 (t0 ), . . . , ϕm (t0 )) ∈∈ L.Рис. 9.5.Итак, ∃ точка M0 ∈ L:f (M0 ) = u0 , что и требовалосьдоказать.Для доказательства следующих трех теорем (первой и второйтеорем Вейерштрасса и теоремы Кантора) нам понадобитсяЛемма 3. Пусть {M } — замкнутое множество и пусть последовательность точек {Mn } → A, причем все Mn ∈ {M }. ТогдаA ∈ {M }.Доказательство.
Так как {Mn } → A, то в любой ε-окрестноститочки A содержатся члены последовательности {Mn }. Тем самым, в любой ε-окрестности точки A содержатся точки из множества {M }. Поэтому точка A — либо внутренняя точка множества {M }, и тогда она принадлежит этому множеству как ивсякая внутренняя точка, либо A — граничная точка множества{M }, и тогда она принадлежит {M }, так как множество {M } —замкнутое множество (то есть содержит все свои граничныеточки). Таким образом, в любом случае A ∈ {M }.
Лемма 3доказана.Замечание. Это утверждение аналогично следующему утверждению для одномерного случая: если все xn ∈ [a, b] и {xn } → c,то c ∈ [a, b].Определение. Функция u = f (M ) называется ограниченнойна множестве {M }, если ∃ числа C1 и C2 , такие, что ∀ M ∈∈ {M } : C1 f (M ) C2 .Теорема 11 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция u = f (M ) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M }, то она ограничена на этом множестве.Доказательство. Допустим, что u = f (M ) не ограничена на множестве {M }. Тогда ∀ натурального числа n∃ Mn ∈ {M } : |f (Mn )| > n.
Тем самым последовательность{f (Mn )} — бесконечно большая. Из ограниченной последовательности точек {Mn } можно выделить сходящуюся подпоследо-4. Непрерывность функции многих переменных21вательность. Пусть подпоследовательность {Mkn } → A. В силулеммы 3 точка A ∈ {M } и поэтому функция f (M ) непрерывна вточке A. Следовательно, {f (Mkn )} → f (A), а это противоречиттому, что {f (Mkn )} — бесконечно большая последовательность.Полученное противоречие доказывает, что наше предположениене верно и, следовательно, функция u = f (M ) ограничена намножестве {M }.Замечание. Если множестве {M } не является ограниченнымили не является замкнутым, то непрерывная на таком множествефункция u = f (M ) может быть неограниченной на этом множестве.Задание. Придумайте соответствующие примеры.Определение.
Число U называется точной верхней граньюфункции u = f (M ) на множестве {M }, если1. ∀ M ∈ {M } : f (M ) U; < U∃M ∈ {M } : f (M) > U.2. ∀ числа UОбозначение: U = sup f (M ).{M }Аналогично определяется точная нижняя грань функции:inf f (M ).{M }Теорема 12 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывнаяна замкнутом ограниченном множестве функция достигает наэтом множестве своих точных нижней и верхней граней.Теорема доказывается так же, как и аналогичная теорема дляфункции одной переменной.Определение. Функция u = f (M ) называется равномернонепрерывной на множестве {M }, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 (зависящеетолько от ε), такое, что ∀ M1 и M2 из множества {M }, удовлетворяющих условию ρ (M1 , M2 ) < δ , выполняется неравенство|f (M1 ) − f (M2 )| < ε.Задание.
Придумайте пример функции двух переменныхu = f (x, y), которая является: а) равномерно непрерывной нанекотором множестве; б) непрерывной, но не равномерно непрерывной на некотором множестве.Теорема 13 (Кантора). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этоммножестве.Теорема доказывается так же, как и для функции однойпеременной.22Гл.
9. Функции многих переменныхЗадание. Придумайте примеры, когда двумерное множествоне является ограниченным или не является замкнутым, и непрерывная на таком множестве функция f (x, y):а) не достигает своих точных граней;б) не является равномерно непрерывной.§ 5. Частные производные и дифференцируемостьПусть точка M (x1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
