В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому в точке x =функция u = x2 + (1 − x)222лю при x =имеетминимум, и, следовательно, на прямой x + y = 1 функцияu = x2 + y 2 имеет минимальное значение в точке с абсциссой1 11x = , то есть в точке M0 , . Иными словами, функция22 21 122u = x + y имеет в точке M0 ,условный минимум при2 2условии связи x + y = 1.Перейдем к общей постановке задачи об условном экстремумефункции.4.
Условный экстремум87Рассматривается функцияu = f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (M )(10.38)при условии, что ее аргументы связаны между собой m соотношениями (условиями связи), m < n:F1 (x1 , ..., xn ) = 0, ..., Fm (x1 , ..., xn ) = 0.(10.39) 0Пусть координаты точки M0 x1 , ..., x0n удовлетворяют уравнениям (10.39).Определение. Говорят, что функция u = f (M ) имеет в точкеM0 условный максимум (минимум) при условиях связи (10.39),если существует окрестность точки M0 , такая, что для любойточки M (x1 , ..., xn ) (M = M0 ) этой окрестности, координатыкоторой удовлетворяют уравнениям (10.39), выполняется неравенство f (M ) > f (M0 ) (f (M ) < f (M0 )).Иначе говоря, условный минимум (максимум) — это наименьшее (наибольшее) значение функции в точке M0 по отношениюне ко всем точкам из некоторой окрестности точки M0 , а толькок тем из них, которые связаны между собой условиями связи.Экстремум функции без условий связи (то есть тотэкстремум, который рассматривался в главе 9) будем называтьбезусловным.Два метода решения задачи об условном экстремумеПервый метод.
Сведение к задаче о безусловном экстремуме. Пустьуравнений (10.39) в окрестности ω 0 для 0системыточки M0 x1 , ..., xn выполнены условия теоремы 5 о неявныхфункциях:1. функции F1 (x1 , ..., xn ), ..., Fm (x1 , ..., xn ) дифференцируемыв окрестности ω точки M0 ;2. частные производные3.точке M0 ;∂Fi(i, j = 1, ..., m) непрерывны в∂xjD (F1 , ..., Fm ) F1 (M0 ) = 0, ..., Fm (M0 ) = 0,D (x1 , ..., xm ) = 0. (10.40)M0Тогда в некотором параллелепипеде Q, содержащемся в ω ,система уравнений (10.39) имеет единственное решение относительно x1 , ..., xm :x1 = ϕ1 (xm+1 , ..., xn ), ..., xm = ϕm (xm+1 , ..., xn ),(10.41)88Гл.
10. Неявные функциипричем ϕ1 , ...ϕm — дифференцируемые функции, и справедливыравенстваϕ1 x0m+1 , ..., x0n = x01 , ..., ϕm x0m+1 , ..., x0n = x0m .В указанном параллелепипеде Q условия связи (10.39) эквивалентны соотношениям (10.41), в которых xm+1 , ..., xn можно рассматривать как независимые переменные, а x1 , ..., xm являютсяфункциями этих независимых переменных.Если удается найти функции (10.41) в явном виде, то, подставляя их вместо x1 , ..., xm в формулу (10.38), получаем:u = f ϕ1 (xm+1 , ..., xn ) , ..., ϕm (xm+1 , ..., xn ) , xm+1 , ..., xn =:=: g (xm+1 , ..., xn ) = g (M ) ,(10.42)где M = M (xm+1 , ..., xn ) ∈ Rn−m .Функция g (xm+1 , ..., xn ) является функцией n − m независимых переменных xm+1 , ..., xn .
Еслиимеет (безуслов 0 эта функция0ный) экстремум в точке M0 xm+1 , ..., xn , то функция f (M )имеет в точке M0 x01 , ..., x0n условный экстремум при условияхсвязи (10.39) (или, что то же самое, при условиях связи (10.41)),и обратно.Таким образом, задача об условном экстремуме функцииf (M ) при условиях связи (10.39) сводится в параллелепипедеQ к задаче о безусловном экстремуме функции g (M ). Именнотакой подход был использован в рассмотренном в начале параграфа примере.Второй метод (метод Лагранжа).В этом методе не будут использоваться явные выражениядля неявных функций (10.41), хотя по-прежнему будем считать,что условие (10.40) выполнено, 0и потому в параллелепипеде Q0с центром в точке M0 x1 , ..., xn уравнения (10.39) определяютединственную совокупность неявных функций вида (10.41).Введем так называемую функцию Лагранжа:Φ (M ) = f (M ) + λ1 F1 (M ) + λ2 F2 (M ) + ...
+ λm Fm (M ) ,где f (M ) — функция (10.38), F1 (M ) , ..., Fm (M ) — функции из(10.39), λ1 , ..., λm — неизвестные пока числа (они называютсямножителями Лагранжа).Заметим, что в точкахM ϕ1 (xm+1 , ..., xn ) , .., ϕm (xm+1 , ..., xn ) , xm+1 , ..., xn ,4. Условный экстремум89удовлетворяющих условиям связи (10.39), выполняются равенстваΦ (M ) = f (M ) = g (M ) ,где M = M (xm+1 , ..., xn ) , g (M ) — функция из (10.42). Итак,g (xm+ (10.43) 1 , ..., xn ) == Φ ϕ1 (xm+1 , ..., xn ) , .., ϕm (xm+1 , ..., xn ) , xm+1 , ..., xn .Выведем при условиях (10.40) необходимое (по Лагранжу)условие условного экстремума функции f (M ) в точке M0 приусловиях связи (10.39).Пусть функция f (M) (а значит и функция Φ (M )) диффе00ренцируема в точке M0 x1 , ..., xn , и пусть f (M ) (а значит иΦ (M )) имеет в точке M0 условный экстремум при условиях связи (10.39). Тогдафункцияg (M ) имеет безусловный экстремумв точке M0 x0m+1 , ..., x0n .
Поэтомуdg M = 0.0Это равенство в силу (10.43) можно записать в виде∂Φ∂Φdg M =(M0 ) dx1 + ... +(M0 ) dxm +0∂x1∂xm∂Φ∂Φ(M0 ) dxm+1 + ... +(M0 ) dxn = 0,+∂xm+1∂xn(10.44)где dxm+1 , ..., dxn — дифференциалы независимых переменныхxm+1 , ..., xn , а dx1 , ..., dxm — дифференциалы функций (10.41) вточке M0 .Докажем, что числа λ1 , ..., λm можно выбрать так, что будутвыполнены равенства∂Φ∂Φ(M0 ) = 0, ...,(M0 ) = 0.∂x1∂xmНапишем равенства (10.45) в развернутом виде:⎧ ∂f∂F1∂Fm⎪(M)+λ(M)+...+λ(M0 ) = 0,⎪m100⎨ ∂x1∂x1∂x1.................................................⎪⎪⎩ ∂f (M0 ) + λ1 ∂F1 (M0 ) + ...
+ λm ∂Fm (M0 ) = 0.∂xm∂xm∂xm(10.45)90Гл. 10. Неявные функцииНаписанные равенства представляют собой систему m линейных уравнений относительно λ1 , ..., λm , а определитель этой системы является транспонированным по отношению к якобиануD (F1 , ..., Fm ) , отличному от нуля в силу (10.40). СледовательD (x1 , ..., xm )M0но, из этой системы однозначно определяются λ1 , ..., λm .В силу (10.45) равенство (10.44) принимает вид∂Φ∂Φ(M0 ) dxm+1 + ... +(M0 ) dxn = 0,∂xm+1∂xn(10.46)а поскольку dxm+1 , ..., dxn — дифференциалы независимых переменных, то из (10.46) следуют равенства∂Φ∂Φ(M0 ) = 0, ...,(M0 ) = 0.∂xm+1∂xn(10.47)В самом деле, если положить в (10.46) dxm+1 = 0, dxm+2 == ... = dxn = 0 (такой выбор возможен именно потому,что xm+1 , ..., xn — независимые переменные), то получим∂Φ(M0 ) = 0, и аналогичным образом получаются остальные∂xm+1равенства в (10.47).Проведенные рассуждения позволяют сформулировать следующую теорему, связанную с равенствами (10.45) и (10.47).Теорема 8 (необходимое по Лагранжу условие условногоэкстремума).
Пусть выполнены условия (10.40) и пусть функция f (M ) дифференцируема в точке M0 и имеет в этой точке условный экстремум при условиях связи (10.39). Тогда существует функция Лагранжа Φ (M ) = f (M ) + λ1 F1 (M ) + ... ++ λm Fm (M ) (то есть существуют числа λ1 , ..., λm ), такая чтовсе ее частные производные первого порядка в точке M0 равнынулю:∂Φ(M0 ) = 0, i = 1, ..., n.(10.48)∂xiТеорема 8 дает возможность предложить следующий алгоритм отыскания точек условного экстремума функции f (M ) приусловиях связи (10.39).Вводим функцию ЛагранжаΦ = f (x1 , ..., xn ) + λ1 F1 (x1 , ..., xn ) + ... + λm Fm (x1 , ..., xn )с неопределенными пока коэффициентами λ1 , ..., λm и составляемсистему уравнений, используя равенства (10.39) и (10.48):F1 = 0, ..., Fm = 0,∂Φ∂Φ= 0, ...,= 0.∂x1∂xn(10.49)4.
Условный экстремум91Система (10.49) содержит n + m уравнений относительно n + mнеизвестных: x1 , ..., xn , λ1 , ..., λm .Пусть x01 , ..., x0n , λ01 , ..., λ0m — решение системы (10.49). Тогдав точке M0 x01 , ..., x0n функция ЛагранжаΦ = f (x1 , ..., xn ) + λ01 F1 (x1 , ..., xn ) + ... + λ0m Fm (x1 , ..., xn )удовлетворяет условию (10.48). В силу теоремы 8 это означает,что точка M0 является точкой возможного условного экстремумафункции f (M ) при условиях связи (10.39).Чтобы установить, имеет ли на самом деле функция f (M )условный экстремум в точке M0 , воспользуемся тем, что вопрособ условном экстремуме функции f (M ) в точке M0 эквивалентен вопросу о безусловномэкстремуме функции g (M ) в точкеM0 x0m+1 , ..., x0n (см.
(10.42)).В свою очередь, чтобы установить, имеет ли функция g (M )безусловный экстремум в точке M0 , нужно рассмотреть второйдифференциал функции g (M ) в точке M0 (в связи с этим будемсчитать, что функции f (M ) , F1 (M ) , ..., Fn (M ), а значит иg (M ), дважды дифференцируемы):d2 g M = Q(dxm+1 , ..., dxn ),0где Q — квадратичная форма относительно dxm+1 , ..., dxn . Еслиэта квадратичная форма знакоопределенная, то функция g (M )имеет в точке M0 экстремум, а значит функция f (M ) имеетв точке M0 условный экстремум при условиях связи (10.39).Если же эта квадратичная форма знакопеременная, то условногоэкстремума функции f (M ) в точке M0 нет.Это и есть достаточное условие наличия или отсутствияусловного экстремума функции f (M ) в точке M0 при условияхсвязи (10.39).Вычисление квадратичной формы Q(dxm+1 , ..., dxn)Встает вопрос о том, как вычислить квадратичную формуQ(dxm+1 , ..., dxn ), то есть как найти ее коэффициенты, если намне известны явные выражения функций (10.41), хотя сами этифункции существуют в силу условий (10.40).Из (10.43) следует, что первый дифференциал функцииg (M ) можно записать в виде ∂∂dg M =dx1 + ...
+dxn Φ,∂x1∂xnM (ϕ1 ,...,ϕm ,xm+1 ,...,xn )92Гл. 10. Неявные функцииздесь dxm+1 , ..., dxn — дифференциалы независимых переменных, а dx1 , ..., dxm — дифференциалы функций (10.41) в точкеM (xm+1 , ..., xn ):dxi = dϕi M , i = 1, ..., m.В точкеM0x0m+1 , ..., x0n2 d gM0второй дифференциал d g M имеет вид20 ∂∂dx1 + ... +dxn∂x1∂xn= ∂Φ(10.50)2 Φ+M0∂Φ+(M0 ) d x1 + ... +(M0 ) d2 xm .∂x1∂xm2В силу (10.48) каждое слагаемое в квадратных скобках равнонулю, и значитd2 g M0= ∂∂dx1 + ...
+dxn∂x1∂xn2 Φ,(10.51)M0где dxi (i = 1, ..., m) выражаются формулой (10.50) при M == M0 .Таким образом, для нахождения d2 g M , то есть для вычисле0ния квадратичной формы нужно вычислить второй дифференциал функции Лагранжа Φ (M ) в точке M0 , причем так, как еслибы все аргументы x1 , ..., xn были независимыми переменными, азатем заменить dx1 , ..., dxm дифференциалами неявных функций(10.41) в точке M0 .В свою очередь, чтобы найти дифференциалы dϕ1 , ..., dϕmфункций (10.41) в точке M0 , не используя явных выражений дляэтих функций (у нас нет этих явных выражений), поступим так.Предположим, что в уравнения (10.39) вместо x1 , ..., xm подставлены функции (10.41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
