В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу. Часть 2 (1109583), страница 18
Текст из файла (страница 18)
12. Кратные интегралыn!функции равна1 · P (Gi ) = P (G) — площади области G, иi=1поэтомуdxdy = P (G).GМногие физические величины выражаются черездвойные интегралы. Например, если ρ(x, y) — плотность электрического заряда в области G, тоρ(x, y)dxdy — величиGна заряда, содержащегося вэтой области.Для двойных интегралов можно развить такуюже теорию, как для определенных интегралов.Для произвольного разnбиения G =Gi введемРис.
12.8.i=1верхнюю и нижнюю суммы Дарбу функции f (x, y):S=nMi P (Gi ) , s =i=1nmi P (Gi ) ,i=1где Mi = sup f (x, y), mi = inf f (x, y), P (Gi ) — площадь Gi .GiGiСуммы Дарбу обладают такими же свойствами, как и вслучае определенного интеграла, в частности, существуют I == sup {s}, I = inf {S}, при этом I I , lim s = I , lim S = Id→0d→0(лемма Дарбу).Теорема 3. Для того, чтобы ограниченная в квадрируемой области G функция f (x, y) была интегрируемой в этойобласти,необходимо и достаточно, чтобы I = I . При этомf (x, y)dxdy = I = I .GТеорема 4.
Для того, чтобы ограниченная в квадрируемойобласти G функция f (x, y) была интегрируемой в этой области,необходимо и достаточно, чтобы ∀ ε > 0 существовало разбиениеобласти G, у которого S − s < ε.Теорема 5. Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутойквадрируемой области, то она интегрируема в этой области.3.
Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования117Определение. Множество точек на плоскости называетсямножеством площади нуль, если ∀ ε > 0 существует конечноечисло многоугольников, содержащих в себе все точки этогомножества и имеющих сумму площадей меньшую, чем ε.Теорема 6. Если функция f (x, y) ограничена в квадрируемой области G и непрерывна в этой области, за исключениеммножества точек площади нуль, то эта функция интегрируема вобласти G.Теоремы 3–6 доказываются так же, как для определенногоинтеграла.Двойные интегралы обладают такими же свойствами, какопределенные интегралы.§ 3. Вычисление двойных интегралов с помощьюповторного интегрирования1) Сначала рассмотрим случай, когда функция f (x, y) определена в прямоугольнике Q = {(x, y) : a x b, c y d}.Теорема 7.
Пусть:f (x, y)dxdy ,1. существует двойной интегралQd2. ∀x ∈[a, b] существует определенный интеграл I(x) = f (x, y)dy .cbТогда существует определенный интегралbся повторным и записывается в видеbaddx f (x, y)dy ) и справедaливо равенствоI(x)dx (он называет-cdf (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy ,Qacто есть двойной интеграл равен повторному.Доказательство. Разобьем сегмент [a, b] на n частичных сегментов точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b, а сегмент [c, d] — наm частичных сегментов точками c = y0 < y1 < .
. . < ym = d.118Гл. 12. Кратные интегралыРис. 12.9.Рис. 12.10.Проведем через точки разбиения прямые, параллельные осямкоординат (координатные линии). Прямоугольник Q разобьетсяна mn частичных прямоугольников (рис. 12.9)Qij = {(x, y) : xi−1 x xi , yj−1 y yj }(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m).Положим mij = inf f (x, y), Mij = sup f (x, y). Δxi = xi − xi−1 ,QijQijΔyj = yj − yj−1 , dij — диаметр Qij , d = max dij .
Отметим, что1in1jmP (Qij ) = Δxi · Δyj .На каждом частичном сегменте [xi−1 , xi ] возьмем произвольным образом точку ξi (рис. 12.10). Так какmij f (ξi , y) Mij при yj−1 y yj , тоyjyjmij dy yj−1yjf (ξi , y)dy yj−1Mij dyyj−1илиyjmij Δyj f (ξi , y)dy Mij Δyj (i = 1, . . . , n; j = 1, . . .
, m)yj−1Просуммируем эти неравенства по j от 1 до m при каждом i:mj=1dmij Δyj f (ξi , y)dy cmj=1Mij Δyj .3. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования119Заметим, что средняя часть неравенств есть I(ξi ).Умножим эти неравенства на Δxi и просуммируем по i от 1 доn:n mnn mmij Δxi Δyj I(ξi )Δxi Mij Δxi Δyj .i=1 j=1i=1i=1 j=1Средняя часть полученных неравенств является интегральнойсуммой функции I(x), соответствующей разбиению сегмента[a, b] на частичные сегменты [xi−1 , xi ], а левая и правая части —нижней и верхней суммами функции f (x, y), соответствующимиразбиению прямоугольника Q на частичные прямоугольники Qij(поскольку Δxi · Δyj = P (Qij )).Перейдем к пределу при d → 0. Тогда все Δxi → 0.
Изусловия 1) в силу теоремы 3 и леммы Дарбу следует, что пределылевой и правой частей неравенств равны двойному интегралуf (x, y)dxdy . Следовательно, существует предел средней чаQсти, а это и есть по определению интегралполучаем равенствоbbbI(x)dx. В результатеadf (x, y)dxdy = I(x)dx = dx f (x, y)dy.aQacТеорема доказана.Замечание. Поменяв в условиях теоремы 7 местами x и y ,получим равенствоdbf (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx.cQaПример. Пусть Q = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1}.y=1 11 11xexy dxdy = dx xexy dy = dx · exy = (ex − 1)dx =Qxx)|10000y=00= (e −= e − 1 − 1 = e − 2.Задание. Попробуйте вычислить этот двойной интеграл, интегрируя сначала по x, а потом по y , и посмотрите, что из этогополучится.120Гл. 12. Кратные интегралыРис.
12.11.2) Пусть теперь функция f (x, y) определена в областиG = {(x, y) : y1 (x) y y2 (x), a x b}, где y1 (x) и y2 (x) —непрерывные функции (рис. 12.11).Теорема 7 . Пусть:1. существует двойной интегралf (x, y)dxdy ,Gy2(x)2. ∀x ∈ [a, b] существует определенный интеграл I(x) = f (x, y)dy .Тогда существует повторный интегралby2(x)bf (x, y)dyI(x)dx = dxay1 (x)y1 (x)aи он равен двойному интегралу:by2(x)f (x, y)dxdy = dxGaf (x, y)dy.y1 (x)Теорема 7 доказывается путем введения прямоугольникаQ = {(x, y) : a x y , c y d}, содержащего область G(рис. 12.11), и применения теоремы 7 к функцииf (x, y), (x, y) ∈ G,F (x, y) =0,(x, y) ∈ Q\G.4.
Замена переменных в двойном интеграле121Примеры.x и параболой y = x21. Область G ограничена прямойy =(рис. 12.12). Вычислить I =xy 2 dxdy .G1-й способ.1xI = dx0x21xy dy =32113x x −x60√y2-й способ. I = dy01dx =3xy 2 dx = . . . =yРис. 12.12.1x5x8 1−= .584001.40Рис. 12.13.2. Область G — криволинейная трапеция (рис. 12.13).P (G) =f(x)bdxdy = dxGdy = f (x)dx.0abaЕще раз получили формулу площади криволинейной трапеции.§ 4. Замена переменных в двойном интегралеРассмотрим двойной интегралGf (x, y)dxdy .
Перейдем отпеременных (x, y) к новым переменным (u, v) посредством формулx = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), (u, v) ∈ g.(12.3)122Гл. 12. Кратные интегралыПри некоторых условиях на область G, функцию f (x, y) и функции (12.3) имеет место формула D(x, y) dudv , (12.4)f (x, y)dxdy =f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) gGгдеD(u, v) ϕu ϕv D(x, y)= — якобиан функций (12.3) по u и v .D(u, v)ψ ψ uvФормула (12.4) называется формулой замены переменных вдвойном интеграле.Рассмотрим (нестрогий) вывод формулы (12.4). Пусть функции (12.3) удовлетворяют условиям:I. Если точка (u, v) пробегает область g , то точка (x, y) == (ϕ(u, v), ψ(u, v)) пробегает область G, причем различным точкам (u, v) из области g соответствуют различные точки (x, y) изобласти G.II. Функции ϕ(u, v) и ψ(u, v) имеют в области g непрерывныечастные производныепервогопорядка. ϕ ϕ u v D(x, y) = 0 ∀ (u, v) ∈ g.= III.D(u, v)ψψ u v Зафиксируем переменную u, положив u = u0 = const.
Тогдаиз уравнений (12.3) получим:x = ϕ(u0 , v), y = ψ(u0 , v).(12.5)Уравнения (12.5) являются параметрическими уравнениями кривой, лежащей в области G (рольпараметра играет v ). Аналогично, положив v = v0 = const, получим параметрические уравнения другой кривой, лежащей вобласти G:Рис. 12.14.x = ϕ(u, v0 ), y = ψ(u, v0 ), (12.6)u — параметр. Кривые (12.5) и (12.6) пересекаются в точкеM0 (x0 , y0 ), где x0 = ϕ(u0 , v0 ), y0 = ψ(u0 , v0 ) (рис. 12.14).4.
Замена переменных в двойном интеграле123В силу условия I точка M0 (x0 , y0 ) соответствует только однойточке (u0 , v0 ) из области g . Таким образом, точка M0 однозначноопределяется парой чисел (u0 , v0 ). Поэтому эти числа можнорассматривать как новые координаты точки M0 . Кривая (12.5),на которой координата u постоянна, а меняется только координата v , называется координатной v -линией, а кривая (12.6) —координатной u-линией. Так как координатные линии (12.5)и (12.6), вообще говоря, кривые, то числа u0 и v0 называютсякриволинейными координатами точки M0 .Итак, равенства (12.3)можно рассматривать какформулы, посредством которых в области G вводятсякриволинейные координатыточек.Рассмотрим две парыблизкихкоординатныхлиний в области G.
Ониограничивают криволинейный четырехугольник QРис. 12.15.(рис. 12.15). Вычислимприближенно площадь этого четырехугольника, заменив его→→параллелограммом, построенным на векторах l1 и l2 .→l1 ={ϕ(u− ϕ(u + Δu, v) , v), ψ(u + Δu, v) − ψ(u, v)} == ϕu · Δu, ψu · Δu ,→ l2 = ϕv · Δv , ψv · Δv ,где производные ϕu , ψu , ϕv , ψv берутся в некоторых промежуточных точках.→→ → i→ →jk P (Q) ≈ l1 × l2 = | ϕu Δu ψu Δu 0 | = ϕv Δv ψv Δv 0 D(x, y) →· Δu · Δv= ϕu ψv − ϕv ψu Δu · Δv· k ≈ D(u, v) (u,v)(считаем Δu > 0, Δv > 0), (u, v) — какая-нибудь точка криволинейного четырехугольника.Разобьем область g на частичные области gij отрезками прямых u = ui и v = vj (i = 0, 1, . . .
, n; j = 0, 1, . . . , m) (рис. 12.16).124Гл. 12. Кратные интегралыРис. 12.16.Рис. 12.17.При этом область G разобьется на частичные- области Gij координатными u и v -линиями (рис. 12.17): G = Gij .i,jПоложим Δui = ui − ui−1 , Δvj = vj − vj−1 .В каждой частичной области Gij возьмем в качестве проui , vj ), yij =межуточной точки точку Kij (xij , yij ), где xij = ϕ(= ψ(ui , vj ), и составим интегральную сумму функции f (x, y) дляполученного разбиения области G. Учитывая, что D(x, y) P (Gij ) ≈ · Δui · Δvj ,D(u, v) (ui ,vj )получаем!I(Gij , Kij ) = f (xij , yij )P (Gij ) ≈i,j D(x, y) !ui , vj ), ψ(ui , vj )) ≈ f (ϕ(D(u, v)i,j(ui ,vj )· Δui · Δvj .(12.7)Так как Δui Δvj = P (gij ), то сумма в правой части равенства (12.7) является интегральной суммой для функции D(x, y) , соответствующей разбиению областиf (ϕ(u, v), ψ(u, v)) D(u, v) g на частичные области gi,j (в рамках нашего нестрогого выводане обращаем внимания на то, что примыкающие к границе частичные области gij не являются прямоугольниками).Пусть g и G — замкнутые квадрируемые области, а функцияf (x, y) ограничена в области G и непрерывна всюду, кроме, бытьможет, множества точек площади нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
