Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Этот факт следует из того, что отображения ф и 11 не вырождены, то есть матрицы якоби,7Е и 1; отображений 1э и 11 имеют максимальный ранг, равный /с, и,Уй —— ,7у,,7э. Таким образом, ориентируемая поверхность допускает в точности две ориентации. 'Для того чтобы определить понятие ориентированной поверхности, состоящей из многих гладких кусков, нам прежде всего потребуется "согласовать" ориентацию поверхности и ее границы. б46 ~ 2.
СОГЛАСОВАНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Определим сначала внешнюю сторону гранины дА С К". Так как она является кусочно-гладкой поверхностью размерности А — 1, то в каждой точке ее гладкости можно задать вектор нормали к ней (этот вектор ортогонален касательному надпространству размерности А — 1). Прямая, проходншая через рассматриваемую точку хе б дА и коллинеарная вектору нормали, пересекает множество А по некоторому отрезку в силу выпуклости А. Тогда направляюшнй вектор б луча этой прямой с началом в точке хю не пересекаюший множество А, называется внешней нормалью к границе дА в точке хю а вектор (-6) — внутренней нормалью. ПУсть паРаметРизациЯ т = Х((), Х = (Хм..., хь), 1 = (П,...,1ь,) задает данный гладкий кусок границы множества А.
Будем говорить, что эта параметризаиия отвечает (соответствует) внешней стороне гранины дА, если матрица Якоби этого отображения. дополненная слева вектором внешней нормали й, т.е. матряца с „дх дх ') ' дг~ ' ' дав-1/ ' имеет положительный определитель. Тем самым на прообразе А мы согласовали ориентацию множества А и ориентации его границы дА. Далее пусть, как и раньше, ф: К вЂ” > К" зада< т параметризацию поверхности В = ф(А) и пусть т: )и" ' — > Кь задает параметризацию границы дА. Тогда отбражение ф.
т задает парамегрнзацию границы дВ поверхности Ь. Будем говорить, что ориентация поверхности В и ориентапия ее гранины дВ согласованы, если дВ есть образ границы дА, параметризация которой отвечает ее внешней стороне. Пример. Пусть множество дВ задается уравнением на границе дА выпуклого множества А в 1г — 1 - мерном пространстве, где ~ — кусочно-гладкая функция на А.
Тогда множество дВ является кусочно - гладкой поверхностью размерности А — 1 и ее параметризацию лх можно задать следуюшими уравнениямя: х1 = П, -,хь-1 =1ь-м хь =,1(Н,,,1ь-1). Матрица Якоби этого отображения имеет ранг, равный й — 1, поскольку она содержит единичную подматрицу размерности А — 1. Внешняя нормаль б к поверхности В коллинеарна вектору дУ д/ д~ '1 Ь д1,' д1т'' ' дГь 1',) ' Ь' а матрица может быть записана в виде «ас 1 О ° ° . О а1 а1 а1 ь ае, ас, ' ам, и ее определитель равен Следовательно, ориентация поверхности В и ориентация ее границы дВ в данном случае согласованы, если Ь вЂ” нечетное число.
В случае четного числа Й для того, чтобы согласовать ориентации поверхности В и ее границы, следует ориентацию границы дВ заменить на противоположную. Определим теперь кусочно-гладкую Ь-мерную ориентированную поверхность в п-мерном пространстве, состоящую из нескольких связанных между собой гладких ориентированных кусков с согласованно ориентированными границами. Пусть два таких куска 1а1 . А1 -+ В1 и фз . Аз -+ Вз соприкасаются по участку (6) их границ дВ1 и дВз, причем В1 Г1 Вг — — (6) С дВ1 г1дВз. Если при этом: 1) участок (6) является кусочно-гладкой поверхностью размерности Ь вЂ” 1 и 2) две ориентации поверхности (Ь), порождаемые ф1 и фю являются противоположными, то объединение поверхностей В = В10Вз мы будем рассматривать как одну кусочно- гладкую ориентированную поверхность В (состоящую из двух кусков поверхности В1 и Вт).
Аналогично поступаем и для случая любого конечного количества связанных между собою подобным образом гладких кусков поверхности. Заметим, что при разбиении гладкого куска ориентированной поверхности на две кусочио-гладкие ориентированные поверхности при помощи кусочно-гладкой ориентированной граничной поверхности эта граничная поверхность относительно каждого из получившихся ориентированных кусков приобретет противоположные ориентации. Совокупность карт, отвечающих всем кускам даняой поверхности, будем называть ее атласом. 848 6 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Определение. Пусть 1 < 6 < о.
Тогда дифференциальной формой 6-го порядка, определенной на открытом множестве У С !й», будем называть следующее выражение (канонический внд дифференциальной формы): ы =ы(х,И*) = ~~~ ~ Р',»,,„,(х) ~(х,„, Л-. ЛЫх,„„ 1(пз1(" (»1 ° <» причем операция Л внешяего произведения дифференциалов (формальная) удовлетворяет условиям: а) (Ых Л Ыу) Лйх = ах Л (Ыу Л Ых) (ассоциативность); б) бх Л Иу = — йу Л Их (антнснмметрнчность); в) п(ах1+6хз)леул лат = а ах~ лаул ..лих+6ыхтлнул лнх 'та, 6 б и (нолнлияейяость). Дифференциальную форму ыэ вида ы = г(х) ИХ~, Л Л Нх назовем базисной дифференциальной б-формой.
Примеры. 1. Пусть 6 = !. Тогда форму первого порядка можно представать в виде жм 2. Пусть 6 = я. Тогда сумма в определении дифференциальной формы ы состоит аз одного слагаемого, и форма ы имеет вид ы(х,Их) = Р(х) Ых1Л Лдх». 6 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ Определение понятия замены переменных в дифференциальной форме пужао в осаоваом для того, чтобы ввести понятие поверхностного интеграла по ориентированной кусочно-гладкой поверхности, размерность которой меньше размераости осаоваого пространства. Но, разумеется, опо имеет место а в случае, когда эти размерности совпадают. По существу, дапаое определение достигается заменой х аа ф(!) и бх; иа фр;(6).
Определение. Пусть ы — дифференциальная 6-форма н ф— гладкое отображение, ф: 2» -> й». Тогда имеет место следующее правило замены пере!венных й = ф(!): ы(х, Ых) = ы1(г,а!), где М! =Ы1(1,Й) = ~~ " ~~ Кп, и!„(Р(1)) 1Фт!(()Л "ЛФ»Ч(!), !<»!!« т!<п и 11,(1) = ~~ — ' 11„. , д1, Приведем форму ы! к каноническому виду »!1(1 ~() = ~~' ' ' ' )' Фа, л! (!) !1'"ю» ' ' ' » !1С»! ° 1<а«" »»<» Для этого сначала преобразуем к каноническому виду элементарную форму ыо, где ыо = Ьр 1(1) л л Фт,(1) Имеем »10 = ~~' ' !11»! » '' Г! ~ !11»! и и 'у У"" ...
' " 11„, Л "Ла,„= юп!»!и! д1„' д1„ ! 1<» «г,<п !!» юп!1 "Ра1/ '1""-' '" — ") 11„, Л Л 11„. — Е)( е 1<»!« »!<и О(1.„.,!. ) Здесь еп равно +1 или — 1 в зависимости от четности подстанов. ки !г, составленной из чисел а(г ),...,!г(гь). Подставляя последнее выражение в равенство, определяющее форму ы1, найдем Ф„,.=;-, ~ ~, .(.-())"'».„" 1<»!1« та<» 11(1„! 1„„ ! Форму ы! обычно обозначают символом ы! — у'ь! и называют формой, ныпуцнрованной отображением 1е. или просто нндуднрованной формой. Примеры. 1. Пусть й = 1.
Тогда и и р'. = ~,'Ф„()) а„, Ф,(К) = ~ Г (у1(!)) ~ . »=! !пп1 2. При !с = и имеем 1"ы = ~(Ф(()) "' а1Л" да„. ЕУ(Ю1, „1! ) П(11,...,1») Лекпия 17 ~ 5. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ Сначала рассмотрим интеграл от дифференциальной и-формы по п-мерной ориентированной поверхности В в пространстве и измерений. Канонический вид формы ы в этом случае можно записать.так; ы = Р(х)ох1 Л Л ох„, Опредслим интеграл от ы по поверхности В (ориентированной естественным образом) как п-кратный интеграл Римана, т.е. ы = / Р(х) Их1... ох„. в в Поскольку после замены переменных й = фф, связанной с параметризацией поверхности В = ф(А), отвечающей ее ориентации, мы приходим к дифференциальной х-форме х ы, определенной на Й-мерном множестве А в пространстве Й измерений и имеющей канонический внд ы1=~э ы=ф(Н,...,гь)й! Л Лйю по аналогии со случаем х = п мы имеем правило, выражающее й-кратный поверхностный интеграл от й-формы м1 через обычный х-кратный интеграл Римана.
Это обстоятельство позволяет нам дать следующее определение поверхностного интеграла от дифференциальной формы. Определение. Поверхностным интегралом 1 по кусочно- гладкой ориентированной поверхности В от гладкой дифференинальной Х-формы ы (т.е. формы с гладкими коэффицентами) называется выражение ы= х'м, в А где множество А есть йэмеряое выпуклое компактное измеримое по Жордаяу множество в пространстве й измерений, В = ф(А). При этом интеграл по множеству А, как и в случае й = и, выражается через обычный й-кратный интеграл Римана с помощью формальной замены выражения й~ Л Лйь на выражение й,...йю Заметим еще, что если параметрнзация гг поверхности В определяет на В ориентацию, противоположную заданной, то согласно данному выше определению в А Пример.
Пусть В = Ь - окружность с центром в нуле радиуса 1 на плоскости хОу, пробегаемая против часовой стрелки. Зададим эту ориентацию с помощью отображении у1 . '[0,2х] -~ В равенствами х = сов 8, у = з)п 8, 0 ( Х < 2х. Рассмотрим дифференциальную 1 - форму хау — уИх ы= г+ уг Тогда имеем ~р'м = й. Отсюда следует, что г» /ш=/у'м=/ й=2к. ь х о Для проверки корректности определения интеграла )ы надо дока- в зать, что его величина не зависит от параметризации ф, сохраниющей ориентацию.
Напомним, что любые две такие параметризации ф и у' связаны между собой соотношением ~ = гг Л, где Л: А -+ А1 некоторый диффеоморфизм с положительным якобианом. Т е о р е м а 1. Пусть параметрнзапни ф: А -+ В и 1»: А1 -+ В задают одну и-ту же ориентацию поверхности В. Тогда имеем А А Д о к а з а т е л ь с т е о. Дифференциальная форма уэ»ю является й-формой в пространстве %~ той же размерности к, поэтому канонический вид ее таков: Воспользуемся теперь формулой замены переменных: где последний интеграл является обычным х-кратным интегралом Римана. Отсюда по теореме о среднем имеем Теорема 2 доказана. 1 6. ОПЕРАЦИЯ ВНЕШНЕГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В дальнейшем мы всюду будем пользоваться тем, что выражение, т,е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
