Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 100
Текст из файла (страница 100)
о<~<я<~ Это означает, что !пп РЩ) = О. Ю -+сю Теорема доказана полностью. Примеры. 1. Пусть о н )2 — вещественные числа н а иррациональное число. Тогда последовательность (оп+11) равномерно распределена по модулю 1. Действительно, прн любом фиксированном целом числе гп, отлнчном от нуля, имеем м 1 ! !)1-1 ~~, 2л!ил(ап+В) ~ < !гм = Х) еьп !гп!а( Так как о — иррациональное число, то и!пята ф О, Поэтому т!у — ! О прн 1У вЂ” ! со. Следовательно, согласно критерию Г.Вейля последовательность 1оп+ 121 равномерно распределена по модулю 1.
2. Пусть а — иррациональное число н Ьхи = х„л1 — хп -! а прн и -+ оэ. Тогда последовательность (х„) равномерно распределена по модулю !. В частностн, последовательность хп = оп+ а/й равномерно распределена по модулю 1. Положим х„.л1 — хп = а+уп, 1пп уп = О. Рассмотрнм трнгонометрнп-+аа ческую сумму к у-1 ~~,» 2ллпла„ и=1 Тогда имеем М а 2лппа !!! — 1 Л и 2л!ил)а„+! — у ) 7ме и=! м л!-1 !липа +л + г)у, где Ю ))! — 1 ч (етп!ил)и +! — У„) е2мти +!) г!у = п=1 Отсюда получим Я (1 е2пииа) ) ))! — 1(е2и!!и и+! 2и!и!и! ~ Ж !Г ') < ))! — 1 ~~ л )Е 2и!лиу 2 М 1) = — ~~! )э1п ЯтУ„) < 2Я)т))У' ~ )У„). и=! п=1 и=1 Правая часть последнего равенства стремится к О прн )л' — ! оо.
Действительно, имеем Воспользуемся тем, что 1пп (уп~ = О. Получаем и-ссо 11гп Х ~ (у„( = О. п=1 Поэтому имеем 1пп гч = О. М-с со ТаК КаК 1 — Ет 1спп ф О (ВВИду ИррацИОНаЛЬНОСтИ ЧИСЛа а), та 1пп Яьс = О, а это и означает, что последовательность (тп) равно- 1Ч-ссо мерно распределена по модулю 1. 3. Пусть (гп) — последовательность чисел Фибоначчи: г1 —— 1,гт = 1,Р„+1 = Р'„+ Р'„1 при и > 2.
Тогда последовательность (1пгп) равномерно распределена по модулю 1. Действительно, для г'„имеет место формула 1 1+ ч'5 1 — ~/5 Отсюда получим Р„+1 1+ чг5 1пп = а. г"„2 Следовательно, при п -э оо имеем, что 1п Г„+1 — 1п г'„-+ 1п а, поскольку число !па является иррациональным, Значит, в силу утверждения примера 2 последовательность (1пг„) равномерно распределена по модулю 1. 4. Пусть 1пп т'(т) = а — иррациональное число. Тогда последовательность (т'(и)) равномерно распределена по модулю 1.
В самом деле, из теоремы Лагранжа о конечных приращениях имеем 1ПП п1т(П) = а. и-с со Отсюда, используя утверждение примера 2, получим, что (у(п)) равномерно распределена по модулю 1. Прежде чем рассматривать следующий пример, докажем неравенство Г.Вейля — ван дер Корпута. Лемма. Пусть и1,..., и1ч — любые комплексные числа, Н натуральное число, 1 < Н < Н. Тогда справедливо неравенство ип < Н(ст + Н вЂ” 1) ~~1 ~и„( + 1<п<1Ч 1(п<1Ч его Н-1 +2(Ф+ Н вЂ” 1) ~~1 (Н вЂ” 6) и„и»ел Е Л=1 1<»<Л1-Л Ф Л'+И-1 Н-1 и»-т.
т=е «=1 Возводя обе части этого равенства в квадрат, и, пользуясь неравен- ством Коши: получим Н ~~1 и» < (Ф+ Н вЂ” 1)И1, »=1 где И+И-1 Н-1 И1 = ~ ~~~~ и»,„ «=1 Преобразуем сумму И1. Для этого выделим сумму "диагональных" членов И11 и сумму»недиагональных» членов И11.
Имеем И-1 И-1 ЛГ+И-1 И'= ~~~ ~~1 ~ и» й» л = И11+И'1, =е л=о »=1 где Н вЂ” 1 Л1+Н вЂ” 1 и»,„ »=1 ЛЕН-1 И'1 = ~~~ ~~~ ~~1 (и«-»1и»-л+ й«-п~и«л). об «<а <и-1 Очевидно, справедливо равенство ФЕН-1 и«-т = ~и«, »=1 »=1 б71 Здесь и обозначает число, комплексно сопряженное к числу и. Доказательство. Для удобства рассуждений определим числа и» для всех целых значений и следующим образом: и» = О при и < О и при п > Ф, Тогда имеет место равенство поскольку и„= О при и < О и при и > гЛ!. Поэтому И7~ — — Н У и„ п=! Преобразуем сумму И'г.
Для этого обозначим п — пг = 1, и — 1 = 1+ И. Получим н-!и- -гн — л И7г =,!,~ ! (игй!.лл + й!и!.лл). =а л=! !=! н-! и-л-! и-л н — ! )И7г) < 2 ~~! ~~! ~ и!и!+л = 2 ~ (Н вЂ” Л вЂ” 1) ! и„и„ел л=! =о !=! л=! и=! Лемма доказана. 5. Пусть для любого фиксированного натурального числа Ь последовательность (х„+л — х„) равномерно распределена по модулю 1. Тогда (х„) равномерно распределена по модулю 1. Зафиксируем целое число пг, отличное от нуля,, и натуральное число Н. По неравенству Г.Вейля — ван дер Корпута имеем г (Н + !У вЂ” 1),(Н вЂ” И) Нги Х ~- л=! «=! При любом' фиксированном 1! > 1 последовательность (х„+л — х„) равномерно распределена по модулю 1, следовательно, по критерию Г.Вейля при гг' -+ оо Устремляя гУ к бесконечности в предыдуплем неравенстве, получим г — 1 )пп ~ егкзтх и->сс гг э=! 1 < —.
Н 67г Меняя порядок суммирования по 7! и по т в сумме И'г, и, переходя к неравенствам, имеем В силу того, что последнее неравенство имеет место для сколь угодно больших Н, имеем М 1пп — 7 е ' *"=0, Ю-поп /1' ~-~ пп1 а зто и означает, что !в„) р.р. п1о11 1. б. Пусть 6 > 1 — некоторое фиксированное число.
Пусть также предел 1пп Ь вп = а является иррациональным числом. Тогда последовательность !вп)— равномерно распределена по модулю 1. Доказательство утверждения получается по индукпии по параметру 6. При 6 = 1 оно совпадает с утверждением примера 2. Предположим, что зто утверждение. верно при /с = тп. Докажем его при /г = то+!. Имеем /4 /'~ Хп) — /~ Вп+1 и'- Вп— ба+1 ! /) оп+1 + + и ~л+1 Отсюда при фиксированном 6 > 1 и при п -+ оо получим Ьл)Ь ип) -+ 6а, причем 6а —. также иррапиональное число. Заметим теперь, что /4(~ х ) = з !1зьх ).
В силу предположения индукции, примененного к последовательности имеем, что последовательность (Ььв„) равномерно распределена по модулю 1 при любом фиксированном 6 > 1. Следовательно, из утверждения примера б имеем, что последовательность !хп) — равномерно распределена по модулю 1. В частности, отсюда следует, что последовательность значений мвогочлена /!и) со старшим козффициентом, являющимся иррациональным числом, будет равномерно распределена по модулю 1. Примерные вопросы и задаЧи к коллоквиумам и экзаменам Семестр 1, коллоквиум )(г) 1. Множества.
Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения, функции. Взаимно - однозначное соответствие. Обратная функция. 2. Эквивалентность множеств, Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. 3. Теорема Г.Кантора о неэквивалентности множества и множества всех его подмножеств.
4. Множество мощности континуум. Несчетность континуума. б. Иррациональность квадратного корня из двух. Десятичная запись вещественного числа. Свойства вещественных чисел. Аксиома Архимеда. 6. Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества. Т, Лемма об отделимости множеств. Лемма о системе вложенных отрезков. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков. 6. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства.
9, Неравенство Бернулли и бином Ньютона. 10. Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства. 11. Предельный переход в неравенствах. 12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. 13. Число оее и его иррациональность. Постоянная Эйлера. 14. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела ограниченной числовой последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. 13. Критерий Коши сходимости последовательности. 16. Теорема Штольца.
Предел последовательности средних арифметических членов сходящейся последовательности, Существование решения уравнения И.Кеплера. 1Т. Сумма членов бесконечной геолгетрической прогрессии. Итерационная формула Герона, Предельные соотношения: [гпт ау"=!,н>0; [цп и ~"=!. «-гсо а-+со Задачи к калнокену.ну 1. Докатить, что [а,Ь) (а,Ь), [а,Ь[ [а,Ь).
2. вирА = — ая((-А), вирА ЫВ = игах(вирАвирВ). ' 5. а) йп — "„о О, гдг Ь вЂ” постоянная. в б). !нп н(аг(а — !) т )и а, а > О. -г 4. Пусть (нп х = +оо. Тогда !нп -ьт-'~-*-а = +со. и-г о а+, а 5. Пусть р > О дня всех н б [г( н (нп р = р. Тогда (нп (рг ...ра)П = р. »-г а а-г 674 В. Исходя из 1пп (1+ 1/и)« = е доказатг«что !пп —,— ",1« = е. «-г -~ »ы) 7. Доквзатги что последовательность а = (1+ 1/и) +г строго убывает тогда и только тогда, когда р > 1/2. В.
Для любого рационального числа г с условием )г) < 1 справедливо равенство 1 + г < е' < 1 + — ,',. 10. Пусть к — последовательность с ограниченным изменением, т.е. существует С > О, такое, что для всех и 6 )»( имеем ~", »)кье» вЂ” кь! < с, Тогда последовательность к« сходится. 11. Пусть 0 < кг«е < кг«+ к .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
