Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Тогда существует предел !пп 12. а) !!т (а +6«) < 1»т а + !пп 6«, если последние пределы существуют. 6). Если существует предел 1пп а« = а и Пга 6«ы 6, то 1!га а«6« = а6. «-г в). !!гл ૠ— — !Пп ( а ), «е 12. Пусть 1пп а =+со. Тогда существует пипа ен 14. Пусть !пп а« = а. Тогда последовательность (а«) имеет либо наибольший, либо наименьший злемемт, либо и тот и другой. 15. Пусть е = а! + ° + а« -е +со, аь > О, Пгл а = О. Тогдь множество предельных точек дробных частей (е ) совпадает с отрезком (О, 1].
15. Пусть Пгл (е Е» — е ) = О и ме существует ми комечного, ни беском*чного предела !пп е«, и пусть 1 = )НП е , Ь = !пп е . Тогда последовательность е расположена всюду плотмо на отрезке (1, Ц. 17. а) Пусть а«> 0 и 1пп а = О. Тогда существует бесконечно много номеров и, таких, что а > плах(а«1»,а«эз,а«гз,.,.). 6) Пусть а«> 0 и !!щ а = О.
Тогда существует бесконечно много номеров и, таких, что а < ппп(аг,аз, °,а»-1). Семестр 1, коллоквиум»»г2 1. Предел функции в точке. Функции, бесконечно малые в точке. Финальная ограниченность функций, имеющих предел в точке. Ариф- метические операции над функциями, имеющими предел. Свойство монотонности предела функции. 2. Критерий Коши существования предела функции по базе мно- жеств. 3. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне. 4.
Теоремы о пределе сложной функции по базам множеств. б. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерыв- ность, Арифметические операции над непрерывными фуцкциями. Непрерывность синуса и показательной функции. 6. Замечательные пределы. 7. Разрывы функции в точке и их классификация. Разрывы монотонных функций. й. Критерий непрерывности монотонной функции.
Теорема о непре- рывности обратной функции. Непрерывность элементарных функций. 675 Непрерывность уравнения Кеплера. 9. Теоремы Коши о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке. 10. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке. Свойства открытых и замкнутых множеств на числовой осн. 11. Лемма Бореля о конечном покрытии компакта открытыми множествами. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на компакте. 12. Понятия дифференциала и производной функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
Односторонние производные. Связь дифференцируемости и непрерывности функции. 13. Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциремость решения уравнения Кеплера. 14. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производные элементарных функций. 15.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формулы Лейбница и Валле Пуссена. 16. Теорема Дарбу о возрастании функции в точке. Теорема Ролля о нуле производной. Теоремы Коши и Лагранжа о конечных приращениях. 17. Теорема Ферма об экстремуме функции.
Теорема Дарбу о промежуточном значении производной. Теорема о точках разрыва производной на интервале. Задаци к кслгюкеиущу 1. Доказатгч что а) !пп — * = 0 (а > 1, и > 0), б) !пп — бе — = 0 (з > 1, е > ° .т 4 о). Э. Пусть фумкшгя 1(х) огранмчема на любом интервале (1,Ь), Ь > 1. Тогда а) йщ 1(з)- = йш (1(х+1) — /(х)); б) Бщ (1(х))П = !пп с(~-Тс (1(х) > С > 0). 3. Пусть функшгя Лх) ограничена на любом интервале (1,Ь), Ь > 1, и пусть !нп (1(х+ 1) — Лх)) = оо. Тогда !пп 1(з( = оо. -г 1 4. Пусть при х > 1 эвдама последовательность вещественнаэначнык функций уг (.г), Л(х),...,,г (х),.... Тогда найдется функция,г(х), растущая быстрее любой из этих фумкций при х -е +со. 5.
Пусть 1(х) непрерывна на отрезке [о,Ь). Тогда функции ( -с, если ((х) < -с, у (з:) = 1(х), есэи )„Г(х)! < с, с, если /(х) > г, гце с > 0 — любое веществемное число, щ(х) = 1и! Лу), М(х) = зцр „г(у), <у<з <з< также непрерывны. 5. ПУсть /(х) иепРеРывна и огРаничена на интеРвале (а,+оо), Тогд любого числа Т найдется последовательность хв -е +сю, такая, что ]нп (/(х„.!. з-ге,; Т) — /(х )) = О. ) (*) (,),*, )(()= 9.
Для того, чтобы функцию /(х), непрерывную на «оиечном интервале (а,6), можно было продолжить непрерывным образом иа отрезок [а,6] необходимо и достаточно, чтобы функция Дх) была равномерно непрерывна на интервале (а, Ь). 9. Пусть функция /(х) определена на всеЯ числовой оси, непрерывна котя б» в одной точке, периодична и отлична от постоянной, Тогда она имеет наименьший положительный период.
10. Пусть функция /(х) непрерывна на всей числовой оси, отлична от постоянной и удовлетворяет функциональному уравнению /(х + у) = /(х)/(у] Тогда /(х) = в*, где а ж /(1). В этой задаче условие непрерывности можно заменить на условие ограниченности функции на любом интервале (О,п). 11. Доказать, что функция ][ е гм, если х;Ь О, [ О, если т= О, бесконечно дифференцируема при х = О. 12. Привести пример функции, определенной на всей числовой оси, непрерывной и разрывной почти всюду на ней. 13. Пусть уравнение хз+рх+д = О, р,д б 16 имеет три различных вещественных корня.
Тогда р < О. 14. Пусть функция /(х) имеет производную (п — 1)-го порядка на интервале (а,6), и раз дифференцируема на отрезке [а,Ь] и справедливы равенства /(хе) = Лхг) = = /(х ) (а = хе < х) « - х = 6). Тогда существует точка Ь б (о,Ь), такая, что /!"](() = О. 15. Пусть функция /(х) дифференцнруема на [1, +оо) и ]]т /'(х) = О. -еею тогда ]нп Д-*6 = О. и наоборот, если /(х) = о(х), то !нп ]/'(х)] = О. *-Н 1б. Пусть функпия /(х) непрерывна на [а,+со), /(а) < 0 и при некотором положительном Ь для всек х > а выполняется неравенство /'(х) > .Ь Тогда уравнение /(х) = 0 имеет едииственнмй корень в интервале (е, а — Да)/Ь).
17. пусть функции /(х) и у(х) дифференщгруемы и раз пря х > хо пусть также /(хе) =9(хс) /! ](хо) = д( ](хс) при Й = 1,...,п — 1 и /! ](х) > у( ](х] при всгк х > хо. Тогда при х > хо справедливо неравенство /(т) > 9(х). Семестр 11, коллоквиум 1. Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке 2.
Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий ингегрируемости функции по Риману. 3. Интеграл Римана как предел по базе. Классы интегрируемых функций. 4. Основные свойства определеннгно интеграла. Аддитивность интеграла 5. Интеграл как функция верхнего [нижнего) предела интегрирования.
Производная интеграла. 6. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля. 7. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. 8. Первая и вторая теоремы о среднем значении. 9. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. 10. Неравенства, содержащие интегралы. 11. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. 12. Определение несобственного интеграла. Критерий Коши и достаточное условие сходимости несобственных интегралов. 13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Специальные признаки сходимости. 14. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле. 15.
Кривые в многомерном пространстве. Теорема о длине дуги кривой. 16. Плошадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана. 17. Критерий иэмеримости множества по Жордану. 18. Свойства меры Жордана. Измеримость спрямляемой кривой. 19. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции. 20.
Определение и свойства меры Лебега. Интеграл Лебега. Интеграл Стильтьеса. Задача к коллоквиуму Ы 11усть /(х) б Я[а,6]. Тосда точки иепрерывиости функции /(х) иа отрезке [а,Ь] образуют всюду плотное множество. 2. Пусть /(х) б 66[а,Ь]. Тогда для выполнения равенства / /т(х) дх = О 6 т необходимо и достаточио, чтобы /(х) = о во всех точках иепрерывиости функции /(х) иа отрезке [о,6].
3. пусть /(х) б н[а,Ь]. тогда фуикция /(х) удовлетворяет условию йпг [ ]/(х+ а о, Ь) — /(х)] дх = О. 1 г г, тг . !» — Нгт 4. Найти предел йгп — [з(п — „+ мп — + ° + мп— г ". б. Пусть Лх) б С[0,+ос), 1цп /(х) = А. Найти предел 1(гп /е /(пх) дх. г-гч -го б.
Пусть /(х) иепрерывиая периодическая функция с периодом Т. Тогда функцию Ь(х) = / /(х) дх можно представить в виде суммы лииейиой функции и хо периодической фуикции с периодом Т. 7. Пусть /(х) — миогочлеи степени большей 1. Тогда / шп(/(х)) дх сходится. о 67В в. Пусть /'(г) — монотонва и [/'(к)[ > А на [а,6].
Тогда имеем ]ь Х (/(к)) «/з < л2. 9. Пусть /е(т) — непрерывна и [/о(к)[ > А на [о,6]. Тогда имеем ь /в«п(/(к)) «)к < вюл. 10. Пусть функция /(я) монотонна на интервале (О,о) и существует интеграл /кг/(т) ат. Тогда йш яр+1/(с) = О. а -«ео 11. Пусть /(я) Е й[а,6]. Тогда йш //(е)мппк «/к = О. «-«в ь ь 12.
Пусть /(к) Е й[а,6]. Тогда йп« / /(з)[з)пик[«/к = 2 / /(к) «/к. -«О ! /2! 13. Пусть /(т) Е й[0,1]. Тогда !«т — „1 /( — "„) = [ /(е) «(к. « "в « =1 а 14. Пусть /(е) б й[0,1]. Тогда йт „+ " " = О. (( )(е)(в) (е))2/( ! +1)) 1б. Доказать формулу Валлиса я = )нп Г2,"д/ —, интегрируя по отрезку [О,к/2] неравенство в!иге+1 т < мпг" т < мпз" ' к.
12. Пусть функция /(к) ограничена. Для того чтобы / Е й[а,6] необходимо и достаточно, чтобы для любого в > 0 н любого Ь > 0 множество точек отрезка [а,6], в которыя /(я) имеет колебание больше чем в, можно покрыть конечным числом интервалов, сумма длин которых меньше Ь (Критерий Дюбуа-реймона). 13. Пусть /,д б й[о,Ь[. Тогда п«ак(/,д) б й[а,Ь] и ппп(/,д) б й[а,Ь].
ь 19. Пусть а(Г) 6(1) Е С[о Ь] и / (о(Г)я (Г)+ 6(Г)к(Г)) «/Г = 0 гг(Г) Е Пг[а 6], к(а) = к(Ь) = О. Тогда функция о(!) дифференцируема и а'(!) = Ь(Г). 20. При в > 1 имеем /(в) = С; и "= в / -(3)Г Ык+ — '+ 2, р(к) = у — (я). 1 1 21. )оп (С(в) —,1 / = 1. 22. Пусть /(т) > О и не убывает на [1,+со), и пусть при т — 1 +со справедливо соотношение / /(„= г/и к. Тогда имеем /(т) к при т-г +оо.
1 23. Пусть /(к) > О на [О,-роа), и пусть при Ь -+ О+ справедливо равенство Е ве Т /(г)г в« «)г 1. тогда при т -+ +со имеем / /(! «/2) т. о а 24. Пусть Дк) > 0 на [а,6] и / б й[е,Ь]. Тогда справедливо равенство 1/ !1\п ) / (я) от = впр /(х). Е(,Ь! Семестр 11, экзамен 1. Критерий Римана интегрируемости функции на отрезке 2. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. 3. Интеграл Римана как предел по базе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
