Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 96
Текст из файла (страница 96)
О~(Фз, и) оЯ вЂ” ~~~ йч фИУ где и — внешняя нормаль к поверхности 5. Отметим еще три интересных следствия формулы Гаусса — Остроградского. Справедливы следующие равенства: 1) И(п ф)й~ = Ш(~ фМУ 5 Ъ 2) О(п,фМ= Ш('у,ф)йУ, 3) ПйЛЮ=Щт7ЛаР 5 Действительно, рассмотрим, например, формулу 2). В ней первая акоордината векторного равенства имеет вид ()гсозд — Ясов у)НЯ = — — — еК Для векторного поля ф~ — — (О, В, — ч) предыдущее равенство представляет собой обычную формулу Гаусса — Остроградского. Аналогично устанавливается равенство вторых, третьих координат равенства 2). Равенство 3) следует из формулы Гаусса — Остроградского для векторных полей (Л,О,О),(О,Л,О),(О,О,Л).
Обозначим через Н диаметр области Р, а через р()г) ее обьем. Тогда, используя теорему о среднем для каждой компоненты векторных полей гоГ1е = [~7, р[ и ягас) Л = '7Л в равенствах 1),2),3), а затем, переходя к пределу при е'-+ О, получим 4) с)1т р = !пп -„+ Ц(п, ф) ИЯ, 5) гог~р = 1пп -„(1р) Ц[п, у] Ня, 6) бган Л =!пп +) Д'пЛ ИЯ. 3~0 к Интеграл в равенстве 4) представляет собой поток векторного поля р через замкнутую поверхность о', являющуюся границей тела К По аналогии с зтим интегралы в равенствах 5) и 6) назовем векторными поп~охами соответственно векторного поля у н скалярного поля Л через поверхность Я.
Отметим также, что зти формулы дают инвариантное относительно выбора прямоугольной системы координат определение градиента, дивергенция и ротора. 1) для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой ь' Е Й (Р(М), т(М))й = О, 2) гоФР(М) = О. Напомним, что для отображения Р(М) = (Р(М),Я(М),В(М)) в силу определеняя имеет место равенство /дВ дЯ дР дЯ дЯ дР'~ го$Р(М) = ~ — — —, — — —,— — — ) . ~,ду дг' дх дх'дх ду) Определение 3.
Векторное ноле ф(й) называется соленондальным (или трубчатым), если существует векторное поле ф(й) такое, что ф(й) = го1 ф(й), а векторное поле ф(й) называется векторным потенциалом поли ф(й). Т е о р е м а 2. Пусть П вЂ” выпуклый компакт. Для того чтобы векторное поле ф было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы для всех точек Й выполнялось равенство Йч ф:— О. Д о к а з а пг е л ь с пг е о. Необходимосгаь. Поле ф является соленоидальным.
Следовательно, ф(й) = го4 ф(й). Но поскольку для любого векторного поля Ф справедливо равенство йчгог ф = О, имеем сйчф = О на области П. Необходимость доказана. Досягапгочносгаь. Пусть теперь уф = О на области П. Докажем, что существует векторное поле ф такое, что го4ф = ф. Поставим в соответствие векторному полю ф = (Р, Я, В) дяфференциальную форму ы = ы(г, дг) = Рду Л Их + Яах И дх + 1Их Л Иу, г= (х,у,х),де= (Их,ду,дх). Тогда условие огч ф = О на П эквивалентно тому, что да = О яа й. А условие существовання векторного поля ф = (А, В,С), удовлетворяющего равенству гоГф = ф, означает, что найдется дифференциальная форма о = Адх + Вду + Сдх такая, что Иа = ы.
б40 Будем искать форму а, исходя из равенства 1 Г,~(гг,,(гг-,Уг)) Иа =) й й = м(г, Йт). о Рассмотрим сначала только одно слагаемое мо = Рг дх Л Ыу. Имеем я(той(тг, 4т)) ця дРг д)о дй~ /д(Ртх) д(Роу) дРо'1 2Рт+х — +у — +г — ) =г + +г— дх ду дг ) ~, дх ду дг ) ' Далее воспользуемся тем, что дм = О, т.е.
дР дЯ дРт — + — + — = О. дх ду дг Получим д(РН(гг, дг)) ('д(йх) д(йу) дР дЦ') й ), дх ду дх ду/ + дх д(йх — Рг) д(Ргу — Яг) ду Отсюда имеем 1 0(гоРо(гг, о( )) мо= йяхЛНу= й о )( 1 (' д('Г д à — ( (Ях — Рг)1 й сЬЛ о(у+ — ! (Яг — Ку)г й дуЛ Нх. дх ),/ ду о о Аналогично получим соотношения 1 ~Г(ггд(гг, Гу)) й й ЫгЛй: = о 1 1 — l (Яг — Рту)1 й дг Л дх+ — 1(Ру — Ях)г й Нх Л дг, дг ./ дх о о 641 1 1 — (Ру — Чх)1 нг пу Л <Ь+ — (Вх — Рх)$ й Ых Л Ыу. ду / дх о о Следовательно, форму а можно взять в виде 1 а = (Ях — Ву)1 й Их+ о 1 1 + (Вх — Рх)й й Иу+ (Ру — Цх) Й й, о о Теорема 2 доказана полностью.
Замечание. Теорема 2 — частный случай теоремы Пуанкаре о множестве замкнутых н точных дифференциальных форм. Форму а в доказательстве достаточности теоремы 2 можно выбрать не единственным способом. Например, условию теоремы удовлетворяет любая форма вида а+И. Отметим также, что любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей. Пример.
Пусть У вЂ” некоторый выпуклый измеримый по Жордану компакт,, У С )кз. Для любой фиксирпванной точки Р б)й~ и любой точки М б У определим радиус-вектор' т = т(М) = (х(М), у(М), х(М)), т = и элемент объема нУ области У в виде еУ = ех(М) Иу(М) ех(М). Пусть на области У задано векторное поле ~' = ЯМ). Тогда можно определить силовое поле Н = Й(Р) векторного поля ЯМ) по следующей формуле: Й = Н(Р) = — ') ИУ.
Отметим, что в любой точке Р б 1кз определено силовое поле Н(Р). В случае Р б Же~ У интеграл, задающий поле Й, представляет собой обычный тройной интеграл Римана от гладкой функции. Если же Р б У, то этот интеграл является несобственным и его сходимость следует из признака сравнения (для этого область У можно разбить на шаровые слои с центром в точке Р и радиусом т с условием е<т<26,6=2 ", ЙЕИ). Покажем, что для любой точки Р ф 'т' имеет место равенство )ркН = О, т.е. в силу теоремы 2 поле Н является соленоидальным в области эаз э эт Действительно, если еы ег, ез — орты, направленные по осям координат Ок, Оу, Ог прямоугольной системы координат, = Оэ гг гз), б = (к, у, з), то имеем е1 ег ез 31 гг уз к у Ы вЂ” Ьу Ззх — Аг — Лу угк тз тз тз Отсюда дР, Зз дОж, . Зу дН, .
-3» — = Озу — Лз) —, — = Ьг узе) = Ог* угу) де т'' ду т"' де тз' Следовательно, дР дЯ дЯ г))тЙ = — + — + — = О, дк ду дг т.е, поле Й является соленоидальным в области Жз~ 1т. Покажем теперь, что при Р ф 'т' векторным потенциалом поля Й является векторное поле го1 -- — — 3 Действительно, имеем еэ д зэ ег ез 3 з е„ е. гз ге гоФ вЂ” = ['эг, -) = т т 643 т.е. поле Н представляется в виде Н = гог,т. В силу, гладкости подынтегральной функции можно поменять порядок следования оператора гог и тройного интеграла. Тогда достаточно доказать, что Г. ОУ~, а®~ Г, д(-,1, О®~ = е1 ~яз — — яз — ) + ез ~31 — — яз — ) + ду дз ) ~ дз де ) /.
д( ) . д(1)~ +ез р — ' д* ду ) = — Ре1 — ееез — Вез, где функции Р,Я и й определены выше. На этом мы завершаем рассмотрение вопросов, связанных с векторным анализом. Глава ХХ1 ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА Лекция 16 $1. ПОНЯТИЕ ОРИЕНТИРОВАННОЙ МНОГОМЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Общая формула Стокса является естественным многомерным обобщением теоремы Ньютона — Лейбница о выражении определенного интеграла через первообразную функцию.
Впервые зта формула была опубликована А.Пуанкаре в 1899 году в знаменитом мемуаре "Новые мегоды небесной механики". Чтобы подчеркнуть возможность использования найденной формулы при интегрировании по поверхности .любой размерности, он назвал ее обобщением теоремы Стокса, имея в виду формулу Стокса, связывающую поток векторного поля через поверхность и его циркуляцию вдоль границы поверхности.
Современное изложенве доказательства различных вариантов общей формулы Стокса, как правило, опирается на применение достаточно развитой теории внешних дифференциальных форм н интегралов от них по поверхностям. Эта причина, по - видимому, является определенным препятствием для полного изложения ее доказательства в курсах анализа. Здесь мы предлагаем новый вариант доказательства общей формулы Стокса, использующий, по существу, те же средства, что и в классическом трехмерном случае. Сначала с помощью параметризации поверхности мы определяем понятие интеграла от дифференциальной формы. При атом мы показываем, что его значение с точностью до знака не завнсят от выбора параметризации. Далее обосновывается связь между выбором параметризации, определяющей ориентацию поверхности, и знаком интеграла.
Следующий шаг — введение правила согласования ориентации поверхности и ориентации ее границы, что одновременно используется для конструирования поверхности путем "склейки" образов выпуклых множеств по общим частям их границ, имеющих противоположную ориентацию. Заметим, что использование выпуклости прообразов зтих множеств вносит некоторые упрощения в доказательство основной теоремы без существенного ограничения общности. Отметим еще раз важность проблемы согласования ориентации поверхности и ориентации ее границы, которая возникает неоднократно в процессе изложения. Уже на примере самой формулы Ньютона— 645 Лейбница эта особенность выявляется как зависимость знака интеграла от направления интегрирования, т.е.
изменение знака интеграла при перестановке пределов интегрирования. Наиболее просто вопрос о согласовании ориентаций поверхности и ее границы решается в случае поверхностей размерности 1 (кривые) и коразмерности О. Данное обстоятельство лежит в основе нашего индуктивного определения ориентации поверхности и ее границы. При этом согласование ориентаций проводится с использованием выпуклости прообраза поверхности. В заключение следует сказать, что основная трудность при выводе общей формулы Стокса как раз и состоит в построении необходимой системы понятий, в то время как само доказательство очень простое. Пусть и и и — натуральные числа, 1 < и < и.
Мы определим кусочно-гладкую ориентированную поверхность размерности к в пространстве и измерений индукцией по ее размерности Й. При и = 1 эта поверхность представляет собой кусочно-гладкую кривую без кратных точек, на которой задано направление обхода, т.е. начало следующего гладкого куска кривой совпадает с концом предыдущего.
При этом под гладким куском кривой мы понимаем образ 'направленного отрезка числовой оси при гладком взаимно однозначном отображении, имеющем ранг, равный единице. Пусть и > 2. 'Тогда поверхность (точнее, гладкий кусок поверхности) размерности и определяется как образ В выпуклого й-мерного множества А в к-мерном пространстве, имеющего кусочно-гладкую границу дА, при гладком взаимно однозначном невырожденном (то есть ранга й) отображении ф, то есть В = 1э(А). Заметим, что в этом случае д — граница поверхности В является поверхностью размерности 1 — 1 > 1(дВ = ф(дА)). Прообраз А отображения <р называется картов гладкого куска поверхности В.
Само отображение ф назовем параметризацией данного куска поверхности. Пусть заданы две параметризации ~р и 11 поверхности В. Будем говорить, что они определяют одинаковую ориентацию поверхности В, если замена параметров является диффеоморфизмом Л с положительным якобианом 11. Если же якобиан 11 отрицателен, то параметризации ф н ф задают противоположные ориентации. Заметим, что если якобиан отображения А положителен хотя бы в одной точке, то он положителен и для всех точек множества А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
