Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 91
Текст из файла (страница 91)
При выводе формулы площади фигуры Я мы видели, что число (Уг(хкп)(д(Р»у) равно площади параллелограмма, в который переходит квадрат Р» ~ прн замене отображения ккг = й(х) — г(хк ~) на линейное отображение р вида р = р(х) = А(хк ~)(х — хк ~) = Иг(хк ~), где А(й» ~) — матрица Якоби отображения г = г(х) в точке х = х» ь Итак, при вычислении рЯ) мы берем разбиение Р на квадраты Рк О а затем для каждого квадрата Р» ~ заменяем отображение Ьг на линейное отображение Нг(хк ~).
При такой замене мы можем сказать чему равна площадь образа. Сумма же полученных площадей по всем парам (к,(), х,( = 1,...,и, дает нам интегральную сумму а(Т). Естественно ту же самую схему положить в основу определения площади поверхности ф и в общем случае, т.е. надо взять разбиение Т квадрата Р на равные квадраты Рку, х,! = 1,..., э. Далее, заменить отображение ккг на линейное отображение р, р= рк. (х) =" (хк, ) и просуммировать меры Вк ~ = р(Р» ~).
Тогда мы получим э э а(Т) = ~ ~~~ р(В» ~). кап пм ээг Определение 3. Если существует предел а(Т) при Ьт -+ О, то этот предел мы я будем называть плон»адью поверхности (~. Осталось провести явное вычисление величины а(Т) и найти ее предел д(Я). Для этого заметим, что векторы е1 = (Л,О) и ег = (О, Л) при отображении р = Ыг(х» ~) переходят в векторы дг, дг„ аг = р(ег) = Л( — „,...,— ) дх1' ' ' ' дх1 дг, дг„ аг Р(С2) = Л( —,..., — ). дхг''''' дхг Теперь надо найти площадь параллелограмма, образованного векторами а| и аг, Для этого мы воспользуемся формулой из линейной алгебры, которая утверждает следующее г ~(ааыа1), (аыаг) ~ Е Г О г 1(аг,а»), (аг,аг) ) Р 0 Приведем простой вывод ее. Очевидно, формула площади параллелограмма, составленного из векторов а» и аг, имеет вид аг(аы аг) (р Преобразуем эту формулу. Получим ((а»)) р = (аг))а»(( — аг(аы аг), аг)(а»(( — а»(аы аг)) = = )(а,((а )аг))г — 2)(а1цг(ааы аг)г + айаг((г(ааы аг)г.
Следовательно, рг (~а ((г((а ((г (а, аг)г = ЕС.' — Ег = Г(х). Таким образом, будем иметь и а(Т) = ~ ~~~~ „/Г(х» ~)п(П» ~). »=щ=1 Функция ~/Г(х) непрерывна на О, поэтому существует предел !пп а(Т) = ~ / ~/Г(х)дхгдхг = д(1~). а; -»с и Другими словами, мы имеем ~)о) = 11 'Уа — т'р О Эаметим, что последний интеграл может оказаться как собственным, так и несобственным. Отметим, что величина площади параллелограмма, образованного сторонами а1 = Иг,,ау = Иг,, как известно, равна р(ЯИ)) = И [[[г „г,]0'. Отсюда мы получим еще одну формулу для площади поверхности д(Я) = / ~ '0[г~, г ]][)Ьг1Ыхз.
Р Примеры. 1. Площадь поверхности верхней полусферы х +у + 11 = 1, > 0 равна 2л. Имеем я~+у~(1 = )*, Ю. *).* = )) - *' — 7, )с г) = * Следовательно, получим ~)о) = т1+у2(1 Перейдем к полярным координатам. Будем иметь г 1 1 рЯ)= ] 1()оз~ =л/ =л/ — =2л. о о 2. Площадь двумерного тора Я Е К~, задаваемого уравнением т = т(р, В) = ((Ь+ асоеВ) сов ~р, (Ь+ асоаВ) е)п)р,аз)пВ),Ь > а, на области 1т изменения параметров, В = ((уу, В) )О < )р < 2л, 0 < В < 2л).
Имеем г = ( — (Ь + а сов В) в1п р, (Ь + а сов В) сов р, О), гв —— (-а в1 и В сов р, — а вш В в1п 1а, а сов В), Е = (г оа ) = (Ь+а сов В), Р = (г, гв) = 0,6 = (гв, гв) = а, Да - г' = ° в.~ ° .. в = в -:- ° в). Отсюда получим 2г 2г ~(а)=1) лс — г ~ге=)ыг) а+ ь)В=4~1 Р о о Ь 16.
ПЛОЩАДЪ М -МЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ М ИЗМЕРЕНИЙ Пусть гп, и — натуральные числа, 1 < гп < и. Назовем т — мерной поверхностью О в В." множество точек (г),г = (гы..., г„), таких, что г = г(х), где х = (хп...,х„,) б П, причем множество гу ограниченно и измеримо по Жордану, а отображение г взаимно-однозначно отображает В на Я и оно непрерывно всюду на 11, за исключением множества Л, имеющего нулевую меру Жордана.
Будем говорить, что гладкая поверхность Я невырождена, если ранг матрицы Якоби отображения г = г(х) максимален, то есть равен гп. Пусть для простоты множество й есть куб и пусть Т вЂ” разбиение его на равные кубы ОЬ го стороной 6. Пусть, также, хй — левая нижняя вершина куба 1УЬ. Положим р = рй(х) = аг(хй), ЛЬ вЂ” — р(ОЬ) и определим интегральную сумму а(Т) = ~.р(Л;) Определение 1. Площадью поверхности 1в назовем величину р(11) = 11 (Т). аг-+о Для вычисления а(Т) нам необходимо найти объем параллелепипеда 1Ц, образованного векторами а1 — — йг„,...,а = Ьг, воо Из линейной алгебры известно, что где Г,„= Г(а1,..., а„,) — определитель матрицы Грама, (а1, а1) ...
(а1, а,„) (Йп„а») ... (ап„а,„) Г(а1,, а„,) = Дадим прямой вывод формулы для У . При гп = 1,2, очевидно, имеем ~/Гз = У1 ° Из = Уз »/Г1 — — йа»й = У1, 6„, = с»а1+ + с,„»а,„ Тогда справедлива следующая цепочка равеиств -г г (а1, а,„) Г (а,„, а1) ... (а,„, а,„) Г Гп~-1 (а1, а1) (а»,а 1) (а1,6 ) (а,„1, а1) ... (а,„1, а,п 1) (а,„1, 6,„) (Ь,а») ... (Ь,а») ЦЬ 'Оз + Г О (Ьт ~ О1) ° ° ° !)~па П Гиз-1 так как определитель в числителе первого слагаемого равен О (последняя строка в нем есть линейная комбинация предыдущих).
Таким образом, объем У = р(В») параллелепипеда Я» равен ео» Следовательно, Ц = -"га, Докажем, что Из = 1г -, где И вЂ” расстояние вектора а,„до п1 — 1 — мерного пространства с базисом а»,...,а Представим а,„в виде а,„= 6„, + И„,, где 6„, Е (а1,...,а 1) = А, И„, .1 А. По условию существуют некоторые вещественные числа с»,...,с 1, такие, что Заметим, что Гм > О. Это следует из равенств =62 >О,Г,=ЦО,О2>О, Г Следовательно, имеем а(Т) = ~~1 ~/Г(г (йй),..., г (йй))р(0„-).
Перейдем в етом равенстве к пределу при Ьт -+ О. Получим р(42) = / / О Это и есть формула для вычисления площади и1 - мерной поверхности в и - мерном пространстве. При и2 = 1 она дает формулу длины дуги гладкой кривой П(1„2) = ( ))г (1)))й, а при т = и мы приходим к формуле замены переменных О в и — кратном интеграле р(1Е) = / / Л11х1...Ие = ~ / )Д(й))Ие1...Их где 1е(й) — - якобиан отображения г = г(й).
Замечания. 1. Пусть А = (а1,...,а,„) — матрица из и2 векторов- столбцов в и — мерном пространстве и А' — транспонированная к ней матрица. Тогда из формулы Бине-Коши имеем а„2 ... амм а!о1 Г„=$'2= Е а1 1 а1 2 ... а1 па 1(ю~( (ю (л Это равенство означает следующее. Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные ие - мерные подпространства (обобщение теоремы Пифагора). 2. Справедливо неравенство Адамара Г(а1» а~и) < Г(а1) 1 (а~и) причем равенство достигается только, если векторы а; и а,1 11 у', ортогональны для всех 1 < 1', !' < и1.
3. В силу своего определения величина площади и2-мерной поверхности не зависит от выбора параметризации. Глава ХХ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекции 10 Ь 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы — зто интегралы по кривой 1, в и- мерном пространстве. Мы рассмотрим два вида таких интегралов: интегралы первого и второго рода.
Сделаем некоторые допущения. Пространство, в котором задана кривая 1,, будем для простоты считать двумерным. Саму кривую 1, будем считать кусочно-гладкой, т.е. ее можно разбить на конечное число гладких кусков (участков). Будем рассматривать только один такой кусок. Как известно, кривая 1, является образом некоторого отрезка [а,Ь] при отображении г = г(1), Х б [а, Ь], где г(1) = (х(1), у(М)), причем х(1) и у(1) — гладкие функции на отрезке [а,Ь]. Кроме того, внутренние точки отрезка переходят во "внутренние" точки кривой, а концы отрезка — точки а и 6 — переходят в граничные точки кривой А и В, т.е.
б(а) = А,б(6) = В. Будем предполагать, что кривая Ь невырождена, т.е. не содержит особых точек. Другими словами, для любого 1 б [а,6] вектор г (1) отличен от нуля. Пусть Т вЂ” размеченное разбиение отрезка [а,Ь]: а = 1с < 1~ < . < 1 = Ь, бы...,( — точки разметки, хь = хЦь),уа = у(бь), 6 = 1,..., еп Ыь --- длина части кривой Ь, которая является образом отрезка схь = [8ь п1а]. Для рассматриваемой кривой Е длина кривой выражается по формуле Пусть функция у(х,у) определена на кривой 1,. Определение 1. Если существует предел при Ьт -+ О интегральных сумм ~п и~(Т) = ~~~ у(хю уь)Ыю ах1 то он называется интегралом первого рода от функции у(х, у) по кривой Ь.
еоз Этот интеграл обозначается так: !1 ж у(х, у)с(!. Рассмотрим интегральную сумму пз(Т), где пз(Т) = ~' у(хм уз)ЬхюЬхь = х(Са) — «(Сь 1). хи! Определение 2. Если существует предел (з интегральных сумм оз(Т) при Ьт -+ О, то он называется интегралом второго рода от функции у(х, у) в направлении от А до В. Обозначается этот интеграл символом !3 = у(х, у) !х. Аналогично определяется еще один интеграл второго рода !з = у(х, у)ИУ.
Для интегралов !з и !з обычно употребляют обозначения !з — Р(х, у)йх, (з = 9(х, у)ИУ. лв Выражение ! = Р(х,у)Их+ Я(х,у)ду лв называется общим криволинейным интегралом второго рода по кривой 1, = АВ от линейной дифференциальной формы РМх+ ЯИУ (здесь кривая обозначается своими начальной и конечной точками). з 2. СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1. Пусть х = х(!) — постоянная величина. Тогда имеем (з — — Р(х, у)дх = О. лв Действительно, так как для любого разбиения Т величина Ьхз О, то пз(Т) = О. Отсюда следует, что (з — — О. = 1 (Е»)»)1» + 0(ь (Л1»)Ы»).
Поскольку у(х,у) непрерывна на компакте А, она ограничена на нем, т.е. найдется М > О такое, что для любых (х,у) б Л имеем ~у(х, у) ~ < М. Преобразуем интегральную сумму х»(Т). Получим (Т) = ~» у(х», у ) 1Ь1 = ~у(х», у),)1 ф,)Ь1» + 0 ~~) МЫ»ь)(Ь1») = Е»(Т) + 0(11), где Л < М(пах»)((з1») . ~~)»»1» < М(Ь вЂ” а) тахь)(1»1»). Так как 11 -+ О при Ьг -+ О, то зто значит, что (г1(Т) и Е»(Т) одновременно сходятся и имеют один и тот же предел. Теорема 1 доказана. Эта теорема дает универсальный метод вычисления значений криволинейных интегралов. Следующие следствия из теоремы 1 получаются простым переходом от криволинейных интегралов к интегралам Римана, позтому мы не будем приводить их доказательств. 1». Справедливо следующее равенство: РИх+ 0(1у = ~(Рсоа а1+ 1:)сова»)(1(, где т = (х,у ) — касательный вектор к кривой Л в точке (х,у), а е» и ет — единичные орты, направленные по осям координат Ох и Оу.
2». Если для любых точек (х,у) б 1, справедливо неравенство у|(х,у) < у»(х, у), то имеем ) у»й < ) ух(11. ь ь 3». Выполняется неравенство ) / у(11( < ( )у((11. ь ь 4». Если у непрерывна на кривой Л, то существует точка б б А такая, что ) у(11 = у(б)р(Е), где (п(Л) — длина кривой 1. » 3. Значение криволинейных интегралов первого и второго рода не зависят от выбора параметризации, так как от нее не зависят интегральные суммы в нх определении, В частности, интеграл Г1 не зависит от того, какую точку А или В считать началом, а какую — концом кривой Ь (параметризацви в этом случае можно определить, например, соотношением 1 = а+ 6- и), В то же время имеет место равенство [ = — ], т.е.
величина АВ ВА интеграла зависит от выбора направления обхода кривой Ь. Рассмотрим две параметризации кривой б: Р = Р(1),1 Е [а,Ь] и г1 — — г,(и), и Е [ац Ь|]. Пусть 1 = 1(и) — гладкое отображение отрезка [амЬь] на отрезок [а, Ь]. 'Гогда имеем г1 — — гь(и) = Р(1(и)), х1 — — х(1(и)). Отметим, что производная 1 (и) имеет один и тот же знак на всем отрезке [аь,6ь]. В противном случае по теореме Вейерштрасса существовала бы точка ио Е [ам6ь], такая что 1 (ио) = О. Но тогда г,(ио) = г,(1(ио)) 1 (ио) = О, и кривая Е имеет особую точку, т.е. она является вырожденной, что на самом деле не так, Поскольку при отображении 1 = 1(и) концевые точки отрезка [ац 61] переходят в концевые точки отрезка [а,6], при 1 (и) > О имеем 1(а1) = а,1(61) = 6. Действительно, из теоремы Лагранжа при некотором с Е [ам Ь1] имеем 1(Ьь) — 1(аь) = 1 (Р)(61 — а1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
