Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Т е о р е м а 1. Для существования обобщенного двойного интеграла 1 необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл ,1, причем тогда 1 = Х Д о к а з а тл е л ь с т в о. Сначала заметим, что теорию Дарбу и критерии интегрируемости можно перенести на случай обобщенного двойного интеграла. 1.
Пусть существует интеграл Х по прямоугольнику Р. Тогда в силу критерия интегрируемости ((п10(Т) = О) имеем, что дли всякого т е > О найдется разбиение Т такое, что й(Т) < е, причем Т состоит из прямоугольников Рь ь Возьмем в качестве Вь ~ = В О Рь ь Тогда получим разбиение г множества В. Колебание функции д(х,у) на множестве Вь ~ не превосходит ее колебания на Рь ь поэтому имеем П(т) < П(Т) < е, т.е.
согласно критерию интегрируемости существует обобщенный интеграл 1. Аналогично можно получить неравенство Я(т) < Я(Т), поэтому 1' < Б(Т), 1* <,1*,1 = 1" < Х" = Х 1 < Х Из подобного неравенства для нижних сумм Дарбу имеем в(т) > в(Т), 1 = 1, > Х, = Х Из этих неравенств следует, что 1 = Х Необходимость доказана. 2. Пусть существует обобщенный интеграл 1 по ограниченному измеримому множеству В. Надо доказать, что существует интеграл Х от функции до(х, у) по прямоугольнику Р, содержащему В.
Из критерия интегрируемости имеем, что существует разбиение т = (Во,..., Во) такое, что Й(т) < е. Для каждого г = 1,...,1 множество В„измеримо, поэтому д(дВ„) = О. Следовательно, найдется простейшая фигура Р, состоящая из прямоугольников Рь ь и, такая, что суммарная площадь всех Рь ь содержащих хотя бы одну точку границы дВ„, г = 1,...,1, не превосходит е, т.е.
Р(Р) < е. Продолжим прямолинейные отрезки границы Р до пересечения со сторонами прямоугольника Р. Получим разбиение Т этого прямоугольника. Вклад ьп в омега-сумму 11(Т) тех прямоугольников, вво которые принадлежат Р ~ Р; не превосходит й(г) < е. Вклад же мз в й(Т), тех прямоугольников, которые принадлежат Г, не превосходит ыз < 2Мд(Г) < 2Ме. Следовательно, имеем й(Т) = ач + ыт < (2М+ 1)е. Отсюда в силу критерия интегрируемости функции по прямоугольнику следует, что существует интеграл 1. Рассуждая аналогично для верхних сумм Дарбу получим неравенство Б(Т) — 2Ме < о(г).
Следовательно, 1 < У+ 2Ме. В силу произвольности выбора положительного числа г отсюда будем иметь,У < У. Из оценок для нижних сумм Дарбу получим противоположное неравенство 1 ) У. Таким образом, У = Х Теорема 1 доказана полностью. Из эквивалентности определениЯ интеграла Римана видно, что можно было бы ограничиться при построении теории квадратами К З Р и разбиениями их на пз равных квадратов, и при этом класс интегрируемых функций был тем же самым, что и при определении обобщенного интеграла.
Но при таком построении теории есть одно неудобство, связанное с тем, что в пересечении двух квадратов не обязательно получится квадрат, поэтому мы и ограничились рассмотрением прямоугольников. Лекция 4 $7. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА Приведем свойства двойного интеграла, а в случае существенного отличия их от свойств однократного интеграла дадим их доказательства. Пусть Р, Ры Рт,...
— язмеримые по Жордану множества, и функции д(х, у), д1(х, у), дт(х, у) — интегряруемы по Риману на рассматриваемых множествах. Тогда ямеют место следующие свойства. 1с. Справедливы равенства: а) Д (д1(х, у) + дт(х, у))Пхну = Д д1(х, у)охоу+ Д дт(х, у)охау, и и и 6) Д сд(х,у)ИхИу= сД д(х,у)охау Ус б В (свойство линейно- и и сти) .
2~. Пусть функции д1 и дт интегрируемы на Р, тогда д1дт интегрируема на Р. 3е. Пусть на Р справедливо неравенство д1(х,у) < дт(х,у). Тогда а) Д д1(х,у)ахар < Ода(х,у)ахИу (свойство монотонности), и и 6) Пусть также )д(х,у)~ интегрируема на Р. Тогда (Цд(х, у)Нхну( < О )д(х,у))бахну, в) Пусть 7(х,у) > О, гп = нКд(х,у), М = аирд(х,у). Тогда р существует число с, т < с < М такое, что 7'(х,у)д(х,у)пхф= с 7(х,у)охау (теорема о среднем). 4о О 1,(~,~„(Р) и Это утверждение следует из эквивалентности определения меры Жордана и определения обобщенного двойного интеграла.
5с. Если р(Р) = О, то Д д(х, у)ахау = О для любой ограниченной .о на Р функции д(х,у). Д о к а з а т е л ь с т е о. Так как д(х,у) ограничена на множестве Р, то найдется число М > О такое, что для всех точек Действительно, имеем О у»(х, у)»1р = О У1(х, у)йр = Р,о1Р~Р,1 = ~~ д1(х, у)»1р + О д1(х, у)й2» = 0 + О У2(х, у)йн = Р» Р~Р» Р'»Р» — 92(х, У)»»д+ ~~ У2(х У)пд — ~~ У2(х» У)»(Р. Р'» Р, Свойство 7е доказано. 2 8.
ПЕРЕХОД ОТ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ Сформулируем теорему о равенстве двойного и повторного интегралов. Т е о р е м а 1. Пусть функпия у(х,у) ннтегрируема на прямоугольнике Р = 1ь х 12, 71 = (п,,Ц,72 — — (а2,62]. Пусть также для любого фиксированного значения х Е 11 функпия 7(у) = 1 (у) = У(х у) от одной переменной у является интегрируемой по у на отрезке 12 и ь, 6(х) = ( 7(у)»1у. Тогда имеет место формула а» ь, А = О у(х, у)»1ЫУ = / А(х)»1х = а, ь, ь, ь, ь, а» 1 а, а» т.е. двойной интеграл равен повторному ннтеграпу. Д о к а з а п» е л ь с п» е о.
Для любого разбиения Т= = Тр прямоугольника Р имеем неравенства п»ь ~ < у(х,у) < Мь ~, где (х, у) Е Рь ~ и величины ть ~ и Мь ь к = 1,..., т, ! = 1,..., и имеют обычный смысл. При фиксированном х = б» зто неравенство можно проинтегрировать по у в пределах от у» ь до уь Получим гнь»»зу» < 2~ у(Сь, у)41у < Мь ~Ь уь 564 Просуммируем это неравенство по !. Будем иметь и ь а и тпт, т!ьу! < ~ у(сь, у)!!у = Ь(~ь) < ~ Мь т!ьу!. !=1 ат "в'множим последнее неравенство на !зхь и просуммируем его по Ь.
Получим т и и1 в(Т) = ~ ~~~ пть т!ахабу! < ~~! Ь(сь)Ьхь = <т(У(х)) < ь=! !=! ь=! м и < ~ Я Мь,!!Ьхь!Ьу! = ЯТ), в=11=1 где У(х) — разметка разбиения Т отрезка )!. Кроме того, имеем в(Т) < А < $(Т). Так как у(х,у) иытегрируема яа Р, то для любого числа в > О найдется число б = б(в) > О такое, что для всякого разбиения Т с условием !Ьт < б имеем Я(Т) — в(Т) < г. Разбиение Т = (Т(х), Т(у)) образовано парой разбиений — одно Т(х) по оси Ох, другое Т(у) по оси Оу.
В качестве разбиения Т(х) можно взять любое разбиение с условием !ьт! ! < б. Возьмем любую разметку разбиения Т(х). Получим размеченное разбиение У = У(х) отрезка 1т. Далее, в силу того, что оба числа А и о(У) лежат на одном отрезке длииы в, имеем )тт(У) — А! < в. Заметим, что это иеравенство справедливо для любого размеченного разбиения с условием !ь г < б. Следовательно, имеет место равенство ь, А= )тгп в(У) = / Ь(х)т!х. от~0 а! Теорема ! доказана. Заметим, что случай интегрирования по любому измеримому множеству Р мало чем отличается от рассмотренного.
Пусть прямоугольник Р содержит О. Тогда по определению имеем а = ! /,~.,!а.а, = ! )и[., Ва.а,. 565 где дь совпадает с функцией д на множестве Р и дь = О вне Р. Обозначим через Е(х) множество точек у, для которых (х,у) б П. Пусть Е(х) состоит из конечного числа отрезков' ((дс(х),ч)с(х)), ",(~с(х), гс(х)). ь.
Тогда если И(х) = ) дьс(у, то, как мы видели, ас ь А = Ь(х)с(х, ас где ь, е.( ) сс*с =~ис*,ссср= у' ) ас*,рсс„. ,ас Сс, (е) Следовательно, имеет место формула с ь, е() А = ~ / с(х / д(х,у)с(у. ас И„(х) Эта формула обобщает утверждение теоремы 1. $9. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ НА ИЗМЕРИМОМ МНОЖЕСТВЕ Имеют место следующие утверждения.
Т е о р е м а 1. Пусть фуякция д(х,у) непрерывна иа прямоугольнике Р. Тогда д(х, у) иитегрируема иа ием. ,.То к а з а пс е л ь с са в в. Прямоугольник Р— компакт. Поэтому функция д(х,у) равномерно непрерывна на нем. Другими словами, для любого ес > О найдется число вс — — Бс(ес) > О такое, что для любого разбиения Т с условием с!»т < 6с имеем ьс»,с = М» с — сп» с < яс. Следовательно, Г)(Т) < ~~~ ~ ьс»,с)с(Р» с) < ес~~ ~ р(Р»,с) = еср(Р), »х1 с»п »хп сьп Возьмем любое е > О и положим ес = е(р(Р).
Тогда для любого разбиения Т с условием Ьт < в»Я)с(Р)) получим, что ))(Т) < е. Это означает, что 1пп ()(Т) = О, т.е. функция д(х,у) интегрируема на Р. ат -~ь Т е о р е м а 2. Пусть д(х,у) огранвчеиа и непрерывна иа измеримом множестве В. Тогда д(х, у) витегрируема иа й. Докажем более общую теорему, из которой следует теорема 2. Т е о р е м а 3. Пусть д(х,у) ограничена на замкнутом измеримом множестве Х) и непрерывна во всех точках множества й, за исключением множества 1ты првчем р(01) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
