Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Зафиксируем произвольное г1 > О и возьмем величину Ь столь малой, чтобы общая площадь всех квадратов Р» ь содержащих хотя бы одну точку границы дЯ компакта (), была бы меньше г1. Назовем такие пары (Ь, 1) особыми, а остальные — обычными. Диаметр а»х каждого множества Я»~, отвечающего особым (Ь,!) при отображевик ф, по теореме 2 возрастает не более, чем в с раэ, т.е.
его образ В» ~ можно накрыть кругом радиуса, не превосходящего сЬ или квадратом со стороной, не превосходящей 2сЬ. Его площадь не превосходит 4сэЬэ. Обозначим через д1 сумму по особым парам (Ь,() площадей В»х = ф(ф,х). Имеем д1 = ~ д(В» ~) < ~ 4ссд(Р» ~) < 4сэгы (»Л (»,О Поскольку дВ принадлежит объединенню этих В»,ь д(дВ) < 4сэеь Ввиду произвольности выбора числа е1 > О отсюда имеем, что д(дВ) = О, т.е. множество В измеримо по Жордану.
Обозначим через д(В) меру Жордана области В. Тогда имеем И д(В) =Р1+дэ, где велйчина д1 определена выше и дэ = 2, (»(В»у). (» 0 О Символ 2, означает, что суммирование ведется по обычным парам (о,й (Ь,!). Рассмотрим теперь какой-либо квадрат Рь и целиком лежащий внутри Я. Тогда имеем 1,)о г = Ро ь Обозначим его вершины через хо,хо+ аг йо+ аг йо+ аг + аг, причем ЦагЦ = ЦагЦ = Л. Очевидно, что для любого х Е Рок имеем Цх — йоЦ = ЦгахЦ < 2Л, Пусть А— матрица Якобы отображения уг.
Тогда при линейном отображении с этой матрицей А квадрат Рог перейдет в параллелограмм К с вершинами уо = ф(хо) уг — — уз(хо) + Ааг = уо + Ьы уг = Ф(хо) + Ааг ш ус+ Ьг,уз = го(хо)+А(аг+ аг) = ус+ (Ьг+Ьг). Пусть а(Ьх) — функция, определенная в утверждении теоремы 3 г11. Заключим стороны параллелограмма в "рамку" Кы образованную точками, отстоящими во внешнюю сторону от параллелограмма на расстояние, не превосходящее р = о(2Л) 2Ь.
Тогда К С Кы Докажем, что Вон С Кгг то есть, что для любой точки х Е Рог ее образ у = ф(х) Е Кг. Действительно, так как й Е Рьу, то уо+ИоЬ(х) Е К. Поэтому имеем Цф(х) — ф(хо) — сЬр(х)Ц = Яйо гЬх)Ц < 2Ьа(2Л) = р, то есть ~р(х) Е Кы Теперь заметим, что множество Вьх измеримо по Жордану по тем же причинам, что и В. Периметр параллелограмма К не превосходит с 4Л. Поэтому, исходя из построения фигуры Кг будем иметь р(Кг) < р(К) + р с 4Ь+ 4ирг Поскольку Воя С Кы то величина р(Вм~) удовлетворяет неравенству р(Вод) < р(Кг).
Используя эти неравенство, приходим к оценке р(Вьх) < д(Кг) < р(К) + р ° с ЬЛ+ 4ярг = р(К) + га(Л). Из линейной алгебры известно, что для линейного отображения с матрицей А, определитель которой равен /, и при котором квадрат Рог переходит в параллелограмм К, справедливо равенство Используя это равенство, получим Далее, для хаждой особой пары (Ь,!) выберем произвольным образом точку йь~ Е ф,у и образуем сумму где ~ означает, что суммирование ведется по особым парам (Ь,1).
Так как функция ~1о(х)~ непрерывна на компакте Я, то по теореме Вейерштрасса она ограничена некоторой постоянной с2 > О. Поэтому )О1) < С2 ~' /Л(Я» 1) = С2Р1 < С2Е1. Пусть о = н1 + о2, где оз = ~ ~/и(х» 1) у1(ф, 1), причем в последней сумме суммирование распространено на обычные пары (Ь,1). Оценим разность между интегральной суммой о и величиной р(В). Имеем )р(В) — о/ = )~ ~(р(В»з) — )гз(х»1)),и(1„2»1))+~~~ Р(В»1) — п1/ < < !~~ /+ /~ /+ )а1).
Воспользуемся ранее доказанными неравенствами. Получим ~Е ~ — „,.(б)), Е '=Е М.,) (Е, О (Ь) < 4с~г1, )о1) < сзк1. Сумма и представляет собой интегральную сумму для функции ~.1о(х)! по множеству 1~. При Ь -+ О эта сумма сходится к интегралу 1А(хПбр Поскольку — »з- стремится к нулю при Ь -+ О, то из полученных а1»1 выше оценок при Ь -+ О находим р(В) < 1+ ~р(В) — 1~ < .у+ с!(4сз + с2). В силу произвольности выбора числа С1 отсюда получим, что р(В) < Х Теорема 1 доказана полностью. Т е о р е м а 2. Пусть 1Π— измеримый по Жордану компакт в пространстве Й" и В образ его при гладком взаимно однозначном отображении <р.
Тогда 1) множество В измеримо по Жордану, 2) Р(В) < 1 ) 'Ь1фд, гДе 1 = 1Π— Якобиан отобРажениЯ У. е Д о и а з а 1а е л ь с 1а в о. Покажем, что в условии теоремы 1 можно отказаться от требования выпуклости множества Я. Для 12 Ъм~и ~ю кв~~7м '~~~~ч ~ия1ич этого, как и в теореме 1, рассмотрим разбиение су на обычные и особые множества Я» О полагая при этом, что мера р(В) объединения О всех стандартных квадратов, содержаших особые множества Я» О не превышает еы где 81 > Π— - любое нагеред заданное число. При доказательстве теоремы 1 показано, что мера р(И') образа ИУ множества УУ при отображении ~р ие превосходит 4сзев Далее, каждое обычное множество Я»~ = Р» ~ является стандартным квадратом, и тем самым удовлетворяет условиям теоремы 1, поэтому для каждого из них справедливо неравенство р(П»п) < (У(пр. Здесь, как и раньше, Л» ~ = уф»у) = Ф(Р»у).
Суммируя по всем парам (Уг,1), мы приходим к неравенству В силу произвольности выбора 81 > О оно влечет за собой справед- ливость неравенства р(П) < ". 1У(бд Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Пусть условия теоремы 2 выполнены и, кроме того, при всех й Е Я имеет место неравенство (,У-~ > б, где б > О— некоторое фиксированное число. Тогда справедлива формула р(У1) = ". (У(Ур.
е Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение ф, определенное на множестве й и обратное к отображению ф. Тогда ~У является гладким отображением, его якобиан,Уе непрерывен и (,Уе( = (,У~ '( < б По теореме 2 имеет место оценка р(Н) < ~ . / ~,УВ( ГУр = вар в(Т), т е 5 та где а(Т) — нижняя сумма Дарбу по неразмеченному разбиению Т множества Ц. »» Имеем в(Т) = 2 т»р», где Я» — элемент разбиения Т множества »=! !й на области Я!,..., 1'„>„, измеримые по Жордану, п»к = »п()У91, рк = е. у»Я») и су» = »!»(В»). По теореме 2 при всех» от 1 до и справедлива оценка »!е ! <у" у ~м»». Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим ~.7;,~ (д < Мкр(УУ»), где Мк = зир),Уе).
Теперь заметим, что Уе — —,У-, поэтому гв» = М я» Но тогда приходим к неравенству и ь з(Т) < ~ гв»М»н(Н») = ~ р(Я») = у»(Я). к=! »=1 Тем самым получены неравенства которые равносильны равенству Теорема 3 доказана. Т е о р е м а 4. Утверждение теоремы 3 остается в силе и без ограничения на значение якобиана,Уз.
Д о к а з а»п е л ь с я» е о. Рассмотрим множество К точек й Е О, в которых якобиан У(й) = У-(й) обращается в нуль. Покажем, что множество точек К вЂ” замкнуто. Действительно, если яа — предельная точка для К, то найдется последовательность й„б К такая, что й„-» йе при и — » со. Тогда з(й„) = О и в силу непрерывности функции У(й) справедливы равенства У(йе) = .У( 1пп й„) = 1пп У(яа) = О. !и 579 Т е о р е м а 5 (формула замены переменных в кратном интеграле), Пусть Рв — взмервмый по Жордаву компакт и 1в — гладкое взаимно.однозначное отображение компакта Ре ва Р. Пусть также фувкцвя у(у) ивтегрируема ва Р, а фувкцвя Дх) = у(ф(х))~,7е(х)~ ввтегрвруема ва Рд. Тогда имеем ,У о к а з а ш е л ь с т е о.
Возьмем произвольное разбиение Т области Р на измеримые области В1,...,В<, и пусть 1вЯ,) = В„в = 1,...,1. Обозначим через о1, = шту(р), М, — — виру(у). По теореме о среднем имеем Из теоремы 4 следует, что р(В,) = ('" (')/фи. Позтому, просумми- О. рован предыдущие неравенства по в от 1 до 1, получим т.е. справедливы следующие неравенства для верхних н нижних сумм Дарбу от функции у(у) по области Р, отвечающих разбиению Т: в(Т) С ° ° ° д(Ях))(уе(х)(Ых ( Я(Т).
В силу интегрируемости функции у(у) получим а(Т) -+ А, Б(Т) -+ А при <вт -+ О, где А = ( ) у(у)11у. Следовательно, имеем в у(у)1(у = " уУ(х))(УЕ(х)(Ьх Теорема 5 доказана. Замечание. В теоремах 4 и 5 в качестве отображения 1в можно взять любое ортогональное отображение. Якобиан етого отображения равен 1. Следовательно, мера Жордана и интеграл Римана инвариантны относительно движений пространства и их определение не зависит от выбора прямоугольной системы координат. Отметим, что ипвариаитность меры Жордаиа ранее была получена нами из геометрических соображений. Примеры.
1. Переход к полярным координатам от прямоугольных координат производится по формулам х = тсозу, у = тз1пу т > 0,0 < х < 2л. Якабиаи отображения 1х, у) э (т,~р) равен т. Формула замены пере- меииых имеет вид В(х, у)йхйу = д1тсозх,тягах)тйтйВ.
2. Переход к сферическим координатам от декартовых прямоугольных координат выполняется по формулам х = тсоз~рсозВ, у = гв1п1гсоз В, х = тв)пВ, где т — длина радиус-вектора текущей точки М от начала координат,  — величина угла между радиус-вектором ОМ и его проекцией иа плоскость хОу, 1с — величина угла между осью Ох и дМ, и, кроме того, т > О, 0 < у < 2я, )В) < -'. Якобиаи этого отображения равен гз сов В. Таким образом, получаем для дифференциального выражения элемента объема сйт следующую формулу: ИЪ' = Ахо'ут1х = т~ соз ВАтй1я1В.
Лекпия 7 1 13, КРИТЕРИЙ Л ЕБЕГА Начнем с определения множества нулевой меры Лебега. Открытый параллелепипед назовем стандартным, если его ребра параллельны осям прямоугольной системы координат. Объединение не более чем счетного числа стандартных параллелепипедов назовем простейшей фигурой. Определение 1. Множество А точек в пространстве й" имеет лебегову меру нуль, если для любого е > О существует конечное или счетное множество открытых стандартных параллелепипедов П», lс = 1,..., с объемом р(П») = б», покрывающих А,А С 0 П», и таких, »хи что 2,е»<е »хп Л е м м а 1. Конечное или счетное объединение множеств лебеговой меры нуль является множеством лебеговой меры нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
