Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Следовательно, 1(Ь,) > 1(а1), а это и означает, что 1(аь) = а,ь(61) = Ь. Далее воспользуемся теоремой 1 и теоремой о замене переменной в интеграле Римана, Получим цепочку равенств ь д(Р)ах = / у(Р(1))х (1)аь = ь, ь, д(Р(1(и)))х (1(и))1 (и)о1и = д(Р,(и))х,(и)ди = у(Рь)аахм а1 В случае 1 (и) < О имеем 1(а1) =' 6,1(61) = а, Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что при переходе в этом случае от одной параметризации к другой параметризации справедливо равенство д(Р) ах = — у(Р1) й:м ь ь Аналогичные свойства для криволинейных интегралов имеют место в пространствах размерности большей двух. Например, в трехмерном случае имеем ь у(х, у, х)ь(1 = у(х(ь), у(ь), х(1)) (х'(ь))т+ (у (1))~ + (х'(1))таь, / = ~(Рсоьо~ + Ясовоз+ Всоеаа)М!, где т = г /~т ~, сое аа = (т, еа), и = 1, 2, 3. На етом мы завершаем изучение общих свойств криволинейных интегралов. Лекции 11 9 3, КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ.
ФОРМУЛА ГРИНА В силу аддитивности интеграла второго рода для любых крквых 11 — — АВ н Ьт = ВС в случае, когда кривая 1, = Ь1 О Ь9 не имеет кратных точек, получаем / д«1х+ / д«1х = / д«1х. АВ ВС АС По этой же формуле определяется и понятие интеграла по кривой Ь в том случае, когда точки А и С совпадают. В этом случае объединение кривых Е = 11019 называется замкнутой кривой. Дадим точное определение.
Кривая Ь называется замкнутой кусочно-гладкой кривой (без кратных точек), если: 1) 1,=Ь,ОЬ9; 2) Ь1 и ь9 — кусочно-гладкие кривые, концы которых совпадают; 3) других общих точек кривые Ь1 и Ьз не имеют. Если на кривой Ь1 задано направление обхода, т.е. задана начальная точка А и концевая точка В, и если на кривой Ьт за начальную точку принять В, а за концевую точку А, то на кривой Ь будет задано направление обхода в том смысле, что для любых трех различных точек Ан Аю Аз б В всегда будет иметь место один из двух порядков следования точек: А1А«АзА«или А«АзА9АС Поскольку на любой замкнутой кривой Ь имеется в точности два направления обхода, одно из них, естественно, считать положятельным, а другое — отрицательным.
Заметим, что при этом для интеграла 1 от дифференциальной формы Р«1х+Я«1у по замкнутой кривой Е, взятому в положительном направлении, используется обозначение У = 1Р(Ь+ Еу. ь Дадим определение того, как выбирать положительное направление обхода замкнутой кривой. Сначала рассмотрим важный пример окружности Е: в~+ у9 = 1.
За положительное направление обхода окружности берется "направление обхода против часовой стрелки". Оно определяется так. Разобьем окружность на верхнюю полуокружность 1,1 . х +у = 1, у > О, н нижнюю полуокружность Ью На верхней .'О 1««««« «« «н«««««««««а«« «««««ч 609 полуокружности за начало отсчета возьмем точку А с координатами (1,0), а концевой точкой будем считать точку В, а для нижней полу- окружности Ьэ за начальную точку возьмем В, а эа концевую точку А.
Ясно, что на окружности Б можно однозначно задать направление обхода, указав в любой произвольно взятой на ней точке А касательный вектор й. Будем рассматривать окружность Б на плоскости хОу в пространстве Ж~. Пусть в каждой точке ее заданы й — вектор внешней нормали к окружности, лежащий в плоскости хОу, й — касательный вектор к ней.
Если орт еэ, направленный по оси Ох, совпадает с векторным произведением [й, т), то будем говорить, что вектор б задает положительное направление обхода окружности Б. Это свойство окружности мы положим в основу определения положительного направления обхода общей кривой Л. Определение 1. Пусть замкнутая кусочно-гладкая кривая Б без кратных точек является границей выпуклого множества П на плоскости хОу.
Пусть ез — орт, направленный по оси Ою В каждой точке кривой Б зададим касательный вектор й и вектор внешней нормали п. Будем говорить, что на кривой Б задано положительное направление обхода, если вектор ез совпадает с векторным произведением [и, г~!. Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы доказать формулу Грина, которая устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой Б = дР, являющейся границей области П, и двойным интегралом по этой области.
Для простоты будем рассматривать случай выпуклой области П. Т е о р е м а 1 [формула Грина). Пусть П вЂ” выпуклый, измеримый по Жордану, компакт, граница Б = дП которого является замкнутой невырожденвой кусочно-гладкой кривой. Т!усть также функции Р[х, у) и Я[х, у) непрерывны на 0 и имеют там же непрерывные частные производные в и в . Тогда справедлива формула дР до ! Рь+чь =)! [ — — — ) 1 ч, где кривая Б обходится в положительном направлении. Д о к а з а т е л ь с гп е о. Мы докажем только равенство Р ах = — — и'хе'у. ь Ю що Равенство же (/д доказывается аналогично.
Пусть отрезок (а, 6] является проекцией области В на ось Ох. Через точки (а,О) и (Ь,О) проведем вертикальные прямые х = а и х = Ь, В силу выпуклости множества х граница его 6 = дВ разбивается на четыре участка: отрезки С1 и Ьз, лежащие на прямых х = а и х = 6 (каждый из них может состоять только из одной точки), и кривые Лэ и Ьэ, лежащие в полосе между этими кривыми. На кривых Ь1 и ьз величина х постоянна, поэтому РЙх = / Рйх = О.
Всякая прямая х = хе при хе Е (а, 6) пересекает (в силу выпуклости х ) каждую из кривых Ьт и Ьэ строго в одной точке, которые обозначим соответственно ~р1(хе) и ~рэ(хе), т.е. кривая Аэ является графиком функции у = ~р1(х), а кривая А4 — графиком функции у = ~р2(х). Заметим, что из кусочной гладкости кривой А следует кусочная гладкость функций ~р1(х) и уг(х). Из теоремы о выражении криволинейного интеграла через интеграл Римана имеем ь ь Р(х, у)ох = / Р(х, р~(х))йх, / Р(х, у)ах = — / Р(х, рэ(х))Нх. Отсюда получим Р(: й~ = ~(Р(х,т (х)) — Р(,~рг(х))Ух = и. с,иь, Поскольку функция — непрерывна на В, по теореме Ньютона эг ээ Лейбница имеем ей~) г1( ) Следовательно, ь Фз(х) Н = — / Йх / — 4у = — ~~ — Йхйу, а е (~~ 611 В силу того что РгСх= / Рдх=О, Ъ| ЬО справедлива формула Н = у Рдх.
ь Тем самым, теорема 1 доказана. Заметим, что в силу аддитивности интеграла формула Грина верна для областей, являющихся конечным объединением выпуклых областей. Примеры. 1. Площадь области Р выражается согласно формуле Грина через криволинейный интеграл в следующем виде: 1 Г СО(Р) = хну= — удх = — и хду — удх.
2 С 2. Пусть у: Рб -ь Р— гладкое взаимно однозначное отображение двух плоских областей. Пусть также якобиан этого отображения 1 = Щф не меняет знак в области Рб и 18(дРа) = дР. Кроме того, пусть 8"„эх„- непрерывна на Рб. Тогда, исходя из формулы примера 1, проведем вычисление меры области Р. Имеем СО(Р) = хну. 8П Далее, пусть задана параметризация вида и = и(С), э = е(С), а < С < Ь, кривой дРб. Тогда соответствующая параметризация кривой дР задается уравнениями х = а(и(С), е(С)), у = у(и(С), 8(С)). Из выражения криволинейного интеграла через интеграл Римана получим ь ь О(О) = 1 *ОУ = С,ь) — О = /,(ь ( — — ...
— — ) О. ОСу(С) Г Гду ди ду ди'ь й 1,ди дС дэ й) 8П О О Но последний интеграл можно представить как интеграл по кривой дРь. Имеем СО(Р) = б х ( — да+ — й> 1ду ду 1,да де 8РО где е = +1, если кривые дРд и дР имеют одинаковое направление обхода, и -1 в противном случае. б12 Лекпия 12 г 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рассмотрим гладкую поверхность Р в йз. Будем считать, что опа иевырождена во всех своих точках, т.е. при ее параметрическом задании т = г(и,д), где г = (я,у,д),(и,д) Е Рд, ранг ее матрицы Якоби максимален и равен двум.
Допустим сначала, что область Рд является квадратом. Возьмем его размеченное разбиение У на равные квадраты Р»1 с разметкой (и»1, д»1), й,1 = 1,...,п. Здесь точка (а»1,6»1) — вершина левого нижнего угла квадрата Р»б со стороной б. Рассмотрим область Р»1— элемент поверхности .Р, соответствующий квадрату Р»1, т.е.
Р»1 = г(Р»1). Рассмотрим также множество точек Я»1 — часть касательной плоскости к поверхности Р в точке г»1 = г(и»1,с»1), отвечающую квадрату Р» 1. На поверхяости Р в точке г = г(и,и),(и,д) Е Рд, определены два касательных вектора к пей г1 и тг, являющихся первым и вторым столбцами матрицы Якоби Уг(и,д), т.е. д» ди 1 д ° '1 /д» 1 дь д В силу условия невырожденности матрицы Якоби имеем, что для любой точки (и,д) Е Р векторное произведение [г1,гг] отлично от нуля, Заметим, что особымн точками поверхности называются такие ее точки, в которых ранг ее матрицы Якоби меньше двух.
Рассмотрим вектор [1 1 ~ 1 г) ))[й1, гг))) Определение 1. Вектор и = й(г) будем пазывать нормалью к поверхности Р, отвечающей параметризацяи т = У(и, 6). Такое название вызвано тем, что вектор й перпендикулярен касательным векторам г, и тг. В частности, при (и, э) = (и»,1, о»1) имеем, что вектор и перпендикулярен к касательной плоскости Й»1.
Заметим, что если б — длина стороны квадрата Р»1, то Я»1 представляет собой параллелограмм и его плошадь р(Я»,1) равна ))[г1,гг))[бг, где касательные к поверхности Р векторы г1 и гг взяты в точке й(а»1,6»1). Заметим также, что если задана другая параметризация р поверхности Р, то всегда выполнено одно из равенств, й(г) = й(р) или 614 й(г) = — й(р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
