Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 90
Текст из файла (страница 90)
и -+со Пусть (Р„) — другая Р-допустимая последовательность и О д(к, у)дхо1у — соответствующая ей последовательность интегралов. и'. Зафиксируем теперь некоторое множество Р и рассмотрим последовательность Р„= Р,„1 1Ри. Очевидно, последовательность (Р„) является Рт - допустимой.
В частности, для любого п имеем Р„С Р„+1, 0 Рн = Р, и все ьк1 множества Р„являются открытыми, связными и измеримыми по Жордану. Для дальнейшего будет необходима следующая лемма 1, имеющая и самостоятельный интерес. Л е м м а 1 (лемма об исчерпывании). Справедливы соотношения: 1пп р(Р„) = а(Р ), 1пп п(Р '1 Р„) = О. ,,7 о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность р„= р(Р„) неубывающая и ограничена сверху числом р(Р ). Следовательно, существует число ро —— 1пп р„, причем ро < п(Р о-+сэ Надо доказать, что ро — р(Р ), Рассмотрим замыкание Р множества Р, то есть множество Р = Р '11дР . Так как множество Р измеримо, то р(дР ) = О.
Следовательно, для любого е > О существует открытое простейшее множество И' = И', Е П такое, что р(И') < е, дР С И' Множество Р„, — компакт, а множества (Р„),и = 1,2,..., н И1 образуют его покрытие открытыми множествами. Из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие множества Р„,; Р„, С . С Р„, и И'. Отсюда имеем Р„, О Иг Э Р . Следовательно, т.е. для любого е ) О справедливо неравенство до+ с > р„„+с ) р(Р ). Поэтому имеем ро > р(Р ). Но мы уже показали, что 115 < 11(Р ). Таким образом, получаем, что ро = 11(Р ). 590 Далее, в силу того что (Рт '10„)(зР„= 0 и (Рт ~ 0„) ОР„=-(о, из свойства аддитивности меры имеем р(Р 1( 0„) + р(Р„) = р(.0 ). П~ Следовательно, (пп р(0 (, 0„) = О. Лемма ! доказана.
в-> во С л е д с т в и е. Пусть выполнены условия леммы 1. Пусть также д(х, у) янтегряруема на Р . Тогда ямеет место равенство !пп / ~д(х,у)(1х(!у = з~з~ д(х,у)(1х(1у = 1 Д о х о з а т е л ь с т в о. В силу свойства аддитивности интеграла имеем Поскольку функция д(х,у) ограничена на Р, т.е. существует число с > О такое, что для любой точки (х,у) Е Р„, имеем !д(х,у)! < с, при и -+ оо получим )1 — д(а, у)1!х((у! < ср(0 ~ 0„) -+ О.
и'„' Следствие доказано. Завершим п(еперь доказотельстово теоремы 1. Так как Р„С Р~, то справедливо неравенство з~д(х, у)((п < 1„< 15. Перейдем в зтом неравенстве к пределу при и -+ со. Используя следствие, получим 1 = '(го д(х,у)((р < 15. о-~со 1 1 Отсюда имеем, что существует 1 = (пп 1, причем 1 < 1о. Но если теперь в наших рассуждениях последовательности Р„и Р„ поменять местами, то получим противоположное неравенсгво 15 < 1.
Следовательно, 1 = 19. Теорема ! доказана. 591 Т е о р е м а 2. Пусть функции 9(х, у) и 9о(х, у) янтегрируемы на любом измерямом по Жордану компакте, содержащемся в множестве Р, я пусть на этом множестве Р справедливы иеравеяства О < 9о(х,у) < 9(х, у). Тогда имеем: 1) если несобственный интеграл Цу(х,у)ар = 1 сходится, то скоп дится интеграл Цуо(х, у)йр = 1о, 2) если же несобственный интеграл Цуо(х,у)ар расходится, то и будет расходиться и интеграл Ц9(х, у)йр.
и Д о к а в а т е л ь с гл е о. 1) Так как интеграл 1 сходится, то существует Р-допустимая последовательность (Р„), такая, что при и -~ оо имеем 1 = 9(х,у)ар-+1. Р Но тогда справедливы неравенства — уо(х, у)ар < 1 < 1 и, кроме того, последовательность 1„является неубывающей. Следовательно, существует предел 1пп 1„= 1о < 1. По теореме 1 имеем, о-еоа что существует несобственный интеграл 1о = Цуо(х, у)4~ и 2) В силу расходимости интеграла Цуо(х,у)о1р для любой Р и допустимой последовательности Р„при и -+ оо имеем 1„= 90(х у)йр + Следовательно, при и — > оо получим 1„-++со, поскольку 1„> 1„, Теорема 2 доказана. С л е д с т в и е теоремы 2.
Пусть несобственный интеграл О Фх уНА и сходится. Тогда сходится интеграл О'9(. УИР и Последний ряд сходится при — а+и < О, т.е. при а > п. Пусть Кя— множество точек й вида Ой)) < А. Тогда имеем дФ. ) = р(К, ) — р(Кя) = А" Ь(К!) — и(К )). Отсюда ~" ~=. > ~~, 1,+па2""(р(К ) — р(К )). )!кб> ! Последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2" ", Следовательно, по признаку сравнения интеграл расходится при а < и. 2.
Интеграл 1!й 1).)-+ + я)-- 1)е)!>! где а1,...,а„< О, сходится при — + . + — < 1 и расходится при 1 1 — + ..+ — >1. 1 1 а~ а„ Пусть Ял — множество точек, для которых справедливо неравенство А < )к1)"' + + )я„)"" < 2А. Тогда для любой точки * Е 5л имеем )я,) < (2А)11 ь,а = 1,...,и. Следовательно, 1 !1(Ял) < — 2".2 ~ а .2~! +'а 2" Отсюда получим, что интеграл сходится при — + + — — ! < О.
1, 1 а~ о Пусть К4 множество точек й с условием )я1)"'+ .. + ~к„)ь" < А и 5л —— К!я '! Кя. Очевидно, имеем д(Бя) = р(Ктл) — ДКх) = А" + + (р(Кз) — р(11)). Следовательно, интеграл к — „„(,.) > 1Ф))>1 > ~~~, — ь 2 * " (!1(Кг) — !1!К1)) " 1 ь(- + + ) а=а расходится при — „' +...+ — ' — ! > О. На этом мы завершаем рассмотрение теории несобственных кратных интегралов.
Лекция 9 5 !б. ПЛОЩАДЪ ПОВЕРХНОСТИ Наша задача со< тоит в том, чтобы распространить понятие измеримости на множества, расположенные на двумерных поверхностях в пространствах размерности три и выше. Для этого нам необходимо ответить на следующие вопросы. Что такое поверхность? И какие поверхности мы будем рассматривать? Раньше (во втором семестре) мы называли поверхностью 1~ множество точек (з,у,з), удовлетворяю1цих уравнению х = д(х,у) для некоторой функции у(х,у) от двух переменных з и у, причем точка (з, у) принадлежит некоторому множеству на плоскости хОу. Обычно от функции у(х, у) требуют непрерывности всюду, за исключением, быть может, множества б нулевой меры Жордана.
Проекцией поверхности 1~ на плоскость х09 является область Р. Предположим, что область Р— измеримый по Жордану компакт. Пусть измеримые множества Р,,...,Р~ образуют его разбиение т. Возьмем точки М,, М, на границе соответственно каждой из областей Р,,..., Р,. Этим точкам при проекции на плоскость соответствуют точки Мы...,.5?, на поверхности 1~ Пусть уы...,-ц — углы между нормалью к поверхности Я в точке Ф„з = 1,...,1, и осью Оз. Рассмотрим части касательных плоскостей Щ„з = 1,..., 8, проходящих через точки Ф, и имею1цих своей проекцией на плоскость хОу область Р,.
Получим "чешуйчатую" поверхность. Из линейной алгебры известно, что ее площадь р(Я,) равна Назовем плоцшдью поверхности Я величину Поскольку уравнение поверхности имеет вид х = у(х, у), то нормаль ее в точке М поверхности Я можно представить в виде 595 Следовательно, имеем Отсюда получим Итак, из не вполне строгих геометрических соображений мы получили формулу площади поверхности в трехмерном пространстве. Далее мы дадим некоторое уточнение и обобщение этого понятия.
Определение 1. Поверхностью Ьг в п - мерном пространстве )й" называется множество точек (г),г = (г),..., г„), таких, что й = г(х), где й .= (хы хз) Е Р, причем область Р является ограниченной и измеримой по Жордану, отображение г = г(й) есть взаимно однозначное отображение внутренних точек множества Р на точки множества Я и г = г(й) непрерывно всюду, за исключением множества Ь, имеющего нулевую меру Жордана. Напомним, что отображение г = г(й) = (г),...,г„) непрерывно в точке х, если непрерывны функции гь = г),(х),х = 1,...,п.
Назовем отображение й(х) = (г)(й),...,г„(х)) гладким, если для любой точки й Е Р функции гь(х),х = 1,...,и, имеют непрерывные частные производные (иа границе дР рассматриваются односторонние производные). Замечание. 11оверхность 1„) можно задать различными способами. Указанное выше задание поверхности Я называется параметрическим (или параметризапией множества Е)), Выбор параметризации также может быть разным. При любых фиксированных значениях с) и ст кривые на Я вида г = г(хмсз) и й = г(с),хз) называются криволинейными координатами на поверхности Я.
Каждой точке г Е ьг соответствует пара (с),сз) криволинейных координат. Определение 2. Поверхность м' называется гладкой, если задающее ее отображение г = й(й) является гладким. Гладкая поверхность называется невырозкденной, если ранг матрицы Якоби отображения г = г(й) максимален, а именно: оя равен двум. Мы стремимся определить меру, то есть понятие плошади множеств на мевмроз)сденнмх поеерхнося)ях.
Для этого сначала уясним какими свойствами должна обладать плошадь или мера множества. Кроме обычных свойств меры (монотонность, адцитивность, инвариантность относительно ортогональных преобразований пространства, независимость от параметризации) необходимо, чтобы в случае гз = О,..., г„= О, то есть "плоского" отображения г = г(х), мы имели формулу д(Я) = О ~Лг(х) ~Йх1йхм п где 'Уг(х) Якобиан отобРажениЯ г = г(й), уг(х) = эг э.к Для простоты рассуждений предположим, что плоское множество Р есть замкнутый квадрат. Тогда в этом случае мера р(кз) образа Р есть предел при вахт -к О интегральных сумм а(Т) для разбиения Т квадрата Р на равные квадраты Рк ~, х,( = 1,..., я, со стороной Ь (р(Р» 1) = 62), э э а(Т) = ~ Я ~)1г(хк ~Яр(Р» ~), »=ш=1 где хку левая нижняя вершина квадрата Р» ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
