Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 87
Текст из файла (страница 87)
тогда функция д(х, у) интегрируема на О. ,7 о к а з а т е л ь с щ е о. Зафиксируем произвольное число е1 > О. Так как множество й измеримо, то существует замкнутая простая фигура Р С Р такая, что р(Р '1 Р) < ею Кроме того, существует открытая простая фигура Р1 такая, что Р~ С Р1 и р(Р1) < ею Тогда пРостаЯ фигУРа Рт = Р 1 Р1 замкнУта и Р(Р '1 Рз) < 2ею Функция д(х,у) непрерывна в каждой точке фигуры Рм поэтому из теоремы 1 следует ее интегрируемость на Рю Следовательно, существует разбиение Т= Тг, такое, что й(Т) < ею Дополним зто разбиение Т до разбиения т множества й, добавив к нему фигуру ь'е = Р '1 Рт.
Тогда в сумму й(г) добавится слагаемое, равное (Мо — то)р(Оо), где гпо = 1Ыд(х,у), Ме = знрд(х,у). и. по Следовательно, имеем й(г) < е1 + (Мо — гпе)2е1 = е1(2Мо — 2що + 1) = е, т.е. 1п1'й(г) — О. т Это и означает, что функция д(х,у) интегрируема на О. Теорема 3 доказана. Лекция 5 з 10. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ранее мы определили двукратный интеграл как предел по базе Ьг -+ 0 (или Ьд -+ 0 на множестве 17), где У и р' размеченные разбиения соответственно прямоугольника Р и множества П. Это определение можно дословно перенести на случай функций от большего числа переменных. Другими словами, если, например, в определении интеграла 1 функцию д(х,у) заменить на функцию д(х) = д(хы...,х„) при и > 2, а области П,Пы...,й, считать и- мерными, то поскольку измеримость по Жордану была определена при любом и > 1, мы тем самым получим определение и - кратного интеграла по области П С й", измеримой по Жордану.
Для этого интеграла введем следующее обозначение: Точные определения для общего случая переписывать не будем. Нас будут в основном интересовать случаи и = 2,3. В этих случаях интеграл 1 обычно записывают так: Отметим, что все факты, доказанные ранее для случая и = 2, без принципиальных изменений в доказательстве переносятся на общий случай п > 2. Укажем только, что сюда относятся и критерий интегрируемости функции в разных формах, и свойства 1 — — 7 двойного интеграла. Приведем формулировку теоремы о сведении и-кратного интеграла к (и — 1)-кратному интегралу.
Ограничимся случаем и = 3. Т е о р е м а 1, а) Пусть существует тройной интеграл А от функции д(х, у, х) по параллелепипеду Р = 1~ х 1т х 1з. Пусть также существует двойной интеграл И(х) по прямоугольнику Я = 1з х 1з, т.е. нцтеграл И(х) = ) ) д(х,у,х)пупа. Тогда функция И(х) является е янтегрвруемой на отрезке 1~ и справедливо равенство А = И(х)вх. ц б) Пусть Р С Р = 11 х 1о х 1з и пусть при фиксированном х Е 11 символ Р(х) обозначает собой измеримую по Жордану область точек (д, г) б 1о х 1з с условием (х, у, х) Е Р (то есть Р(а) является пересечением множества Р с плоскостью, состоящей из точек, у которых первая координата фиксирована и равна х), Пусть также при всяком таком х существует интеграл Й(х) = Д д(х, у, х)ндаю Тогда имеем А = 1~ 6(х)ох.
При фиксированном х, применяя аналогичную теорему к двойному интегралу Ь(х), получим Ьг )ь(х) = ~ь)у ~ д(х,у,х)Нх, аь ойьо) где множество Р(х, у) является пересечением множества Р с плоскостью х = сопеФ, у = сопеФ, Пример 1. Найти значение величины интеграла 1 = ~ / ~(х,)...Ях„)йх,...Их„, В где область Р определяется условиями 'Р = ((хю...,х„)(0 < х1 « х„< 1), Обозначим через Р область Р =((хы...,х„)$0<х 00« х 1„)<1), отвечающую перестановке т чисел 1,...,и.
Для различных перестановок о и г области Р и Р, не пересекаются. Далее, интеграл 1(о), отвечающий области интегрирования Р, от той же самой функции 1'(х1)...1(х„) будет равен 1. Количество перестановок и чисел равно и!. Следовательно, 1 1 1 е п)1 = "~ 1„= 1~ / ~(х1)...Дх„)йх1...ь1х„= ) 1(х)ох о о о Таким образом мы свели вычксление и-кратного интеграла к одно- кратному и получили формулу Пример 2.
Докажем следующую формулу Дирихле — Лиувилля. Пусть 1(х) непрерывна на отрезке [0,1] и пусть 5 есть симплекс в и-мерном пространстве, определяемый условиями х1+ . ° . + х„< 1, Х1 > О,..., Хп ) О. ТОГда ИМЕЕМ 1 = А~(Р1, " ,Рп) = / " / У(х1 + " + х«)х",' '...хй" 'йх1...((х» = Действительно, положим Л = х1+ +х» 1. Расставим пределы интегрирования в интеграле Х Тогда два последних интеграла по переменным х» 1 и х» будут иметь вид Н= 1 й*„, 1 У(1+*„,+х»)х„-- -' „--'й „. Сделаем во внутреннем интеграле замену переменной вида 1 — » Х» — Х»-1 О Тогда Хп-11(Е Ихп =— оз Х»-1 + Хп и интеграл Н принимает вид Поменяв порядок интегрирования в Н, получим «[1-,11 о о /» Следовательно, объем п-мерного шара радиуса а равен ~~'а+1)а". 1 11.
СВОЙСТВА ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЫПУКЛОМ МНОЖЕСТВЕ Известно, какую большую роль в построения теоряи однократных интегралов играет метод замены переменной. В случае же кратных интегралов роль этого метода не меньше (а быть может, н больше). Для его обоснования нам понадобятся некоторые свойства гладкях отображений. Пусть функция у(д),у = (уы...,у„), определена на компактной измеримой области О С )и" и интегрируема на Р. Пусть У обозначает интеграл / у(9) Ь~ Ь и Рассмотрим отображение у = р(х) измеримого компакта Рв СВ." на множество 1л, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между внутренними тачками множеств 11 и Пю Напомним, что отображение у = ф(х) задается системой н функций, У1 'р1(хы ° ° х») У» = 1Р»(х1, ° ° ° х») определенных на Пв.
Будем считать, что каждая из этих функций имеет все непрерывные частные производные на Ов. Замечания.1. Функции рь(й) называются криволинейными координатами, определенными на 1лв. 2. Условие взаимной однозначности отображения ф: Ов -+ О для внутренних точек области 11в обеспечивается требованием отличия от нуля якобиана этого отображения в каждой кочке области Рд (теорема об обратном отображении). Перейдем теперь к формулировке и доказательству утверждений о гладких отображениях на областях, Т е о р е м а 1.
Пусть Вв выпуклое я замкнутое множество и р(х) гладкая функция на множестве Ов. Пусть также точки и и я+ах принадлежат Рд. Тогда существует точка с = х+вЬх, 0 < в < 1, такая, что Ь1в = (Ьх,игаса 1р(б)). Д о к а з а т е л ь с т в в. Рассмотрим функцию Л(1) одной переменной 1, 0 < 1 < 1, Л(1) = р(й+1Ьх). Ясно, что Л(1) гладкая функция на отрезке [0,1]. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа конечных приращений. Тогда существует число В, 0 < В < 1 такое, что Ь~р = гЬЬ = Ь(1) — Ь(0) = Ь (В)(1 — 0) = Ь (В). Функция Л(Г) является сложной функцией от С и по правилу диффе- ренцирования сложной функции получим Ь (В) = Ьхг + .. + — Ьх„= (их,йгаг) ф(()), дф(4) дф(В) дхг дх„ где 4 = х + ВЬх. Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2.
Пусть ф(х) гладкое отображение выпуклого компакта Рд на область Р. Тогда существует число с > О такое, что для любых точек аг, ат Е Рд справедливо неравенство ))ф(аг) — ф(аат) й < с))аг — аг)), где )Щ длина вектора в евклидовой метряке. Л о к а з а вг е л ь с т е о. Из теоремы ! при Ь = 1,..., и имеем ф»(аг) — ф»(аат) = с»ф» = (аз — аг,йгЫ ф»(С»)), где сь — — аг + В»(аз — аг) и В» — некоторое число из интервала (0,1). Далее воспользуемся неравенством Коши )(а, Ь)( < ))а)) ))6)).
Получим )Ьф») < Оат — аг () й бган ф»(С») О. Поскольку Рс компакт и фуякпия ОйгЫф»(х))! непрерывна на Рщ ояа ограничена иа этом компакте некоторой постоянной с» > О. Используя это и числовое неравенство а~ + .. ° + а~» < )аг) + ° .. + )а будем иметь 'ОгЬф)) < ),Огфг)+ .
+)гЬф„) < (сг+. +с„)))гЬхп = сйгЬЦ, где гзх = ат — аь Теорема 2 доказана. Обозначим через Ат(х) матрицу Якоби отображения ф:И" ~К" в точке х. Определеыые 1. Линейное отображение с»у = Ач(х)»»х приращения Ьх вектора и называется дифференциалом отображения ф и обозначается символом г(ф(х). Очевидно, что г(ф(х) — вектор с координатами гЬр»(х) = (гЬх, кгаб'р»(х)) 573 Т е о р е м а 3. Пусть ф — гладкое отображение выпуклого компакта Ве и т(х, ккх) = ٠— г(ф.
Тогда имеет место следующий равномерный предел ))г(х, Лх))) '=$ О при ))Лх)) -к О. )РП п0 Другими словами, существует числовая функция а(гах) — к О при Ьх -к О такая, что для всех х Е Пе справедливо неравенство ))г(х, ккх))) ( а(Ьх)()ккЦ. Д о к а з а т е л ь с т е о. Рассмотрим й-е координаты векторов Ьф и Нф. По определению имеем Ф» = (Дх,дгаг( рк(х)), а из теоремы 1 при некотором ~ получим йкук =- ук(х+ гкх) — ук(х) = (Ьх,йгаг(~рк(С)). Следовательно, Ьрк — йрк = (Ьх,йгап~ркЯ вЂ” йгЫ~рк(х)).
Далее, так как частные производные отображения ф непрерывны на компакте .0е, то в силу ях равномерной непрерывности на Ое будем иметь др.а др,(й)1 дх, дх, где ак(ккх) зависит только от ккх н ак(ккх) -к О при Ьх -к О. Отсюда, используя неравенство Коши, получим )Ьрк — йрк( ( Йккхц. чгпок(Ьх). Следовательно, ь а Иг(х,г~х)И ( ~~~ ~Ь~рк — йорк) < ))Ьх)) ~/п~ ак(гкх) = а(гКх)))ккх)), к ко Ккп причем а(Ьх) -к О при дгх -к О. Теорема 3 доказана. Лекнжи 6 ~ 12. ОБЪЕМ ОБЛАСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Докажем теорему об объеме области в криволинейных координатах.
Т е о р е м а 1. Пусть Я выпуклый иэмервмый по Жордаву компакт я В образ его прн гладком взаимно однозначном отображеввв ф. Тогда: Ц множество В измеримо по Жордалу; 2) д(В) < ) " ДЗ)((д, где У вЂ” определитель матрицы Якоби с( (якобяан) отображения ф. Напомним, что определение матрицы Якоби и дифференциала отображения дано в конце предыдущего параграфа.
Д о к а з а в1 е л ь с т в о. Ограничимся рассмотрением случая плоских областей Я СВэ. Заметим сразу, что так как модуль якобиана отображения ф является непрерывной функцией на Я, то эта функция интегрируема на Я. Пусть Р— некоторый стандартный квадрат, содержащий компакт Я. Пусть, далее, квадраты Р» ~ со стороной Ь составляют разбиение квадрата Р. Тогда множества Я»Х = Я О Р»у образуют разбиение г компакта (,) на выпуклые измеримые множества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
