Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Более того, в силу признака Вейерштрасса имеет место и равномерная сходимость по параметру А при его изменения на всей числовой оси. Поэтому возможно перейти к пределу под знаком несобственного интеграла, и мы получим равенство, утверждаемое в теореме. Теорема 3 доказана. Наконец, в качестве приложения теории интегралов Фурье докажем важную формулу Котельникова. Назовем функп,:'яю 2(х) сигналом, а ее преобразование Фурье д(у) спектром сигнала. Возникает задача восстановления сигнала по его спектру, т.е. функции по ее преобразованию Фурье. Часто известен спектр на конечном промежутке, т.е.
финитный спектр, и мы желаем восстановить сигнал, отвечающий этому спектру, по некоторому дискретному множеству значениЯ сигнала. На этот вопрос и дает ответ формула Котельникова. Пусть существуют следующие интегралы: ! д(у) =' у(у) = = / у(х)ес*асЕх, ~/25 1 ~у(х) = — / д(у)е гекс1у.
5/2гг .1 — а Разложим функцию д(у), определенную на [ — а, а) и периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 2а, в ряд Фурье. Имеем +сю д(у) = ~ е„ег""., где а с„= — ~ д(у)е '"" ° сгу = — ~, (и — ) . — а 532 Следовательно, получим Л (х) = — / ~ ~~~ — у, (и — ) е'о" ° е "оиру = — а =,1 Е А( ')1,-* .--Виу= н=-ао (пк) вгп(ах — пк) +сю -Е ~а а ах — гиг Если ряд Фурье функции д(у) при (у( ( а сходится равномерно, то его можно почленно проинтегрировать.
Поэтому мы получим Эта формула называется формулой Котельникова. Лекции 30 г 13. МЕТОД ЛАПЛАСА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ Лаплас разработал метод для изучения асимптотического поведения при и -ь оо интегралов вида ь .7(п) = / ((я)гг" (я)Ые, О где у(е) положительна при всех я б [а, 6]. Суть его метода состоит в следующем. Пусть у(я) и (с(е) гладкие функции и гг(я) имеет только один строгий максимум в точке я = с. Тогда при и -ь оо этот интеграл с большой точностью можно заменить на интеграл от этой же подынтегральной функции в некоторой достаточно малой окрестности точки я = с.
Но в ней можно воспользоваться разложениями Тейлора функций у(я) и (э(я) и затем последний интеграл достаточно точно вычислить. Здесь мы дадим изложение метода Лапласа в несколько нетрадиционной форме. Т е о р е м а 1. Пусть А, Лг, Лз — некоторые положительные постоянные, г'(я) — вещественная функция, непрерывная со своими проязводнымн до третьего порядка на отрезке [а, Ь], и прн всех я б [а, 6] справедливы неравенства О < Лг < — г (е) < АЛг )Р' (т)] < АЛз.
Пусть также существует ~очка с, а < с < Ь, такая, что г' (с) = О. Тогда справедлива формула ь ек(е) е (')(*= '2я ' «-Д ]р" (с)]1/г а В < Ве~(') Л ~ Л ~ + г з +В ппп,, е (')Л ~ + ппп —,,ек(')Л где  — некоторая абсолютная постоянная. ,В о к а г а яь е л ь с пг е о. Из условия теоремы следует, что функция г (в) являекся монотонной и, следовательно, обращается в 534 нуль не более чем в одной точке. Это и есть точка х = с.
Положим б = (ЛтЛз) 'Еб. Пусть сначала для точки с выполняется условие а + б < с < (/ — б. Тогда имеем с-6 с+б Ь ")*)/5= /.) Е ~/ =/,+/,)/.. а с-б с+6 Интегралы Е) и Ет оцениваются одинаково. По второй теореме о среднем имеем с-б < ~ /(е~(а1 1 (г' (г — 6)( а (Е,! = 1Е,( = < Еп(с+б) 1 (Р" (с + б) ~ ' Кроме того, справедливы неравенства с+б с+б Р (х)с(х = (/с' (х))/Ех > бЛы с с (Р (с+ б)( = !Р (с — Б)! > 6Л . Следовательно, (Еб ( < е~('1 —, (Ез( < е~('1 —, бЛт БЛх Воспользуемся разложением Тейлора функции Р(х) на (с — б, с+ 6). При некотором- с б (с — б, с + д) получим с+6 6 б / = Е ) )/*= / )* ")//=Е ~)*) с(а"' а '//— с-б б , )*) /,сбс.*//.,„).) ~,са * (,~ ех('1 — е у.— 2 „, е — сю б(Р' (с/()(а 535 с-6 / Р (х)е~(а( Р'(х) ь Р' (х)е~(а1 г '(х) < ес(с — б( 1 (Еб'(с — д)(' р — "зн ° +Вье~1') / е " Лзу~б)) = о = ~/2я яс +Взе~1') ~ — +Лзб~/ = е Р1с) Р1с) -4/5 1/5 = ь/2я „, + Ве Лз Лз где В, В1, Вз — некоторые абсолютные постоянные.
Если а < с < а+ б, то интеграл 11 оценивается так: !1' ~< а е 1*)с)х Аналогично, если 6 — б < с < Ь, то < Р(ь) )гс(Ь) / Отметим, что всегда имеет место оценка с ь < Р1с) — а ' 1 < Р(с) г а Поэтому )с ~ < )п( Р1а))о ( )) — 1 /2 Р(с)Л вЂ” /3) (13/ < пзьп(е~1~))г' (Ь)! Яке~1')Лз с ). Теорема 1 доказана полностью.
Пример. Найти асимптотическую формулу при Л -+ +со для Г(Л+ 1) = / 1 е с(1. о Приводя подынтегральное выражение к виду, данному в условии теоремы 1, получим. Л Л 2Л В(1)=Л)п1-1, ВЯ=--1, В (1)=- —, Г (1)= —. С 1г' 13 ' 536 ь 1 а ) а а с(х < —,е 1'). р (х)еР1с) ~"( ) — )р"( и В точке 1= Л функция Р(1) имеет максимум. Представим интеграл для Г(Л+ 1) в виде суммы трех интегралов: л12 гл Г(Л+ 1) = / + / + / = В1+!г+ Вз. О Л/2 2Л Интегралы на промежутках (О, Л/2), (2Л, +оа) оценим исходя из второй теоремы о среднем.
Получим !з «, 2(2Л)ле гл = На промежутке [Л/2,2Л) применим теорему 1. Будем иметь 2Л 16 Р "(1) = — < — =16Л,, 1з — Лг 4» 1 ГОЛ = — > — Г (1) > — =Л, Л 4Л гл 'й = ВВ В (-) + В (-) Таким образом, при Л вЂ” л +ос получим Г(Л + 1) = л/2яЛ вЂ” +  — Л21г, т.е. при Л -Л +со имеет место асимптотическая формула 'ЛЛ.
Г(Л + 1) = л/2яЛ ( — ) (1 + ВЛ л11о) е 537 Мы видим, что доказательство теоремы 1 основано на принципе локализации, т.е. на получении асимптотики интеграла в окрестности особой точки. Аналогичное применение принципа локализации к интегралам от тригонометрических функций называется методом стапнонарной фазы. Приведем формулировку этого метода в виде теоремы.
Следует отметить, что доказательство ее в основных чертах повторяет доказательство теоремы 1. О < Лт < Г (х) < Айз, [Г (х)) < АЛз. Пусть также существует точка с, а < с < Ь, такая, что Г (с) = О. Тогда справедлива формула ь сс)4+бк1с) е!Г19)!Ех †./2яп' е !Ех=..'2я п„, +Я, а где  — некоторая абсолютная постоянная. Заметим, что если при всех х Е [а, Ь] справедливы неравенства О < Лз < — Г (х) < АЛт, то из теоремы 2 следует формула для функции 0(х) = — Г(х), т.е.
мы получаем ссютветствующую формулу 6 для интеграла вида [ е б~1')!Ех. а ЕЕ о к и з и об е л ь с пб е о. Функция Г (х) обращается 'в нуль только в точке х = с, поскольку Г (х) является монотонной функцией ввиду поЛожительности Г (х) на отрезке [а,Ь]. Положим Ь = (ЛзЛз) 'Еб. Пусть сначала для точки с выполняется условие и+ Ь < с < Ь вЂ” Ь. Тогда имеем с-б с+б 6 а с-б с+б Оценим сверку интегралы [Е6[ и [Ет[. По второй теореме о среднем имеем с-б с-б Г (х) яп Г(х) Г'(х) Г (х) соз Г(х) Г (х) а с-б с-б Г (х) соз Г(х)!Ех Г (х) 9!и Г (х)!бх 1 [Г'(с — Ь) [ 1 [Г'(с — Ь) [ б! Т е о р е м а 2. Пусть А,Лз, Лз — некоторые положительные постоянные, Г(х) — вещественная функция, непрерывная со своими производными до третьего порядка на отрезке [а, Ь], и при всех х Е [а, Ь] справедливы неравенства 4 < — < (Г'(с — б)) ' „„бЛз Точно та же самая оценка имеет место и для величины )!з~.
По формуле Тейлора при некотором б Е (с — б, с+ б) получим с+б б / нг(с)б / бг(с+у)б ~ (с(с)+ с у + с у )( с-б б б . (с)', с~с"ссс, (с)','-.с" (,~ * 1) сс -б -б ебс (с) е'У с~с( — 2() б бу')г,~ + е у — 2 „, е с(у+ — сю б (бс" (с ) ) М с б б(ас+с (с)) б' 1 +Вб Лзу с(у = ~I2я „, + Ву ( — + Лзб о Р (х) соз г'(х) l Р (х) < —,е )г' (а)( с-б Аналогично, если Ь вЂ” б < с < Ь, то 4 )13) < —, (Р'(Ь)( Но так как всегда имеет место оценка ь ебг(')сбх < 2~(— (2 — ')(Л,' а то (1б) < ппп(4)Р (а)( ',8Лз ), 539 — + ВЛ где В, Ву, Вз,(), О < () < 1, — некоторые абсолютные постоянные. Если а < с < а+ б, то интеграл 1б оценивается по второй теореме о среднем. Имеем (Ез~ < бп)п(4(Р (а)(,8Л~ ).
Для завершения доказательства теоремы 2 осталось показать, что ь -Й ебк1'1Их < 2~ —. Е2 а Положим б = 2Лз . Будем считать, что 6 — а > 4б, так как в -! /с протявном случае тривиальная оценка интеграла, имеющая вид 6 — о, является достаточной. Представим интеграл в виде с-6 с+6 Ь ~"" > * = / -.- ~:.- / = ь -.-6 -.- ь. а с-б.
с+б Если а < с < с+ б или 6 — б < с < 6, то мы будем рассматривать только сумму двух интегралов: с+6 Ь с-б Ь (-~ ... /-~ а с+6 а с-б Так как для х б (а, с — д) или х б (с+ Ю, 6) имеем > Лт)х — с( > Лтд, (Р (х)( = Р (1)й с то 4 4 !еб~ < —, ~!з) < —. — Лтб' — Лтб Кроме того, тривиально получим ~Ет) < 26. Следовательно, ь еби<*)с(х < — + 26 < ВЛ вЂ” Лд — 2 а Теорема 2 доказана полностью. Пример. Найдем асимптотику функции Бесселя 1 Е 36(х) = — 11 сов(хе)пьс — Ьр)с(сс при х -ь+оо. а 540 рассмотрим интеграл — /( е' («1 4(у, Р'((«) = Й(г — ха1п42. о Имеем Ф Р Е (42) = й — хсоа«2, В («2) = ха1п(о, В (х) = хссах. Определим точку 225 из условия Р ((25) = О, т.е. соз уа = й/х.
Тогда Р (уо) = 1/х2 — й2. «14 3«14 « О «(4 5«(4 Оценивая первый и третий интегралы из второй теоремы о среднем, получим 4 4 В < < — (Р" (и/4)! (хт/2/2 — й) х ею(«(йр < В, х «(4 е( (~~4((о о где  — некоторая положительная постоянная. Для точек р проме- жутка (я/4, Зх/4) имеем 1/2 х > (г ((с)! = (хайна > х —, (г (42)) < х. Следовательно, из теоремы 2 найдем З«(4 е1(«(4+х(««11 е'~(«1 1(52 = 1/2х (. Вх-2!5 (Р«( 5))1(2 «1'4 т.е.
/2 со« (л/4+ й агссоз (й/х) — 1/х2 — (42) (х2 й2)1(4 541 Поскольку х -4 +ос, при достаточно больших значениях х имеем я'/4 < 225 < Зх/4. Позтому илн /2 соз(1г/4+ кИ/2 — х) А,(х) - )/— т' л ~/х В заключение заметим, что соединение методов Лапласа и стационарной фазы в теории функций комплексного переменного приводит к методу перевала. Важный вклад в разработку его внесли О.
Коши (СапсЬу О. Мето1ге зиг йиегз роюгз геапа1узе //цеичгм сагир(есее. Рагин 1889 — 1911. Т. П.), Риман Б. (О разложении ошношения двух гипергеометричеких рядов в бесконечную непрерывную дробь //Сочинения. М., 1948. С. 187 — 194), П. А. Некрасов (Ряд Лагранжа и приближенные выражения функций весьма больлаих чисел //Мат. сб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
